近代数学的兴起

第四章近代数学的兴起一、中世纪的欧洲二、向近代数学的过渡

1、代数学

2、三角学

3、从透视学到摄影学

4、计算技术与对数三、解析几何的诞生•公元5～11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，天主教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣．教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。•

由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。一、中世纪的欧洲•不过因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材．罗马人博埃齐（约480—524）根据希腊材料用拉丁文选编了《几何》、《算术》等教科书，《几何》内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据400年前尼科马科斯的一本浅易的著作编写的。一、中世纪的欧洲•这样简单的书籍竟然一直成为欧洲教会学校的标准课本。此外，这一时期还有英国的比德（674-735）和后来成为数皇的法国人热尔拜尔（约950～1003，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒）等人也讨论过数学，前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度—阿拉伯数字带入欧洲。一、中世纪的欧洲•直到12世纪，由于受翻译、传播阿拉伯和希腊著作的刺激，欧洲数学才开始出现复苏的迹象。1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界。•从此，欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们极大的兴趣；对这些学术著作的搜求、翻译和研究，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。一、中世纪的欧洲•文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊的地理位置和贸易联系而成为东西方文化的熔炉。•古代学术传播西欧的路线如图所示。一、中世纪的欧洲波斯希腊印度中国唐汉中国宋元巴格达北非西西里（意大利）西班牙西欧•数学著作的翻译主要有：英国的阿德拉特（约1120）翻译的《原本》和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的《天文学》；狄奥多修斯的《球面几何》以及其他著作；英国罗伯特翻译的花拉子米《代数学》等。•12世纪最伟大的翻译家杰拉德（约1114一1187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒玫的《大成》、欧几里得的《原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》以及阿基米德的《圆的度量》。•12世纪是欧洲数学的翻译时代。一、中世纪的欧洲•欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契（1170一1250）。他早年就随其父在北非师从阿拉伯入学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经》（1202，亦译作《算盘书》）。一、中世纪的欧洲一、中世纪的欧洲•这部很有名的著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程。特别是，书中系统介绍了印度—阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。•

1228年的《算经）修订版还载有如下“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对免子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？一、中世纪的欧洲裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……Un=Un-1+Un-2(n≥3)•《算经》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。一、中世纪的欧洲•

自然现象中的裴波那契数：•

向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。•

菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似的情形。•

一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。•

电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。•欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。•欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪。在文艺复兴的高潮中。数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调。一、中世纪的欧洲•达·芬奇（1452—1519）就这样说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱，他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩。因为人们的探讨不能称为科学的，除非通过数学上的说明和论证。”•伽利略干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”。科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向繁荣。以下简略介绍这一时期数学发展的重要方面。•文艺复兴运动：13世纪末，在意大利各城市兴起，以后扩展到西欧各国，于16世纪在欧州盛行的思想文化运动。是科学与艺术的革命时期。•文艺复兴时期在各领域取得很大成就，数学成就只不过是其中之一。一、中世纪的欧洲二、向近代数学的过渡

1、代数学•欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕．主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。•花拉子米的《代数学》被翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播，不过，直到15世纪，人们还以为三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。•第一个突破是波伦亚大学的数学教授费罗（1465-1526）大约在1515年作出的他发现了形如的三次方程的代数解法。按当时的风气，学者们不公开自己的研究成果，费罗将自己的解法秘密传给他的学生费奥。•

1535年，意大利数学家塔塔利亚（1499？—1557）也称自己可以解形如

的三次方程。怀疑之余，费奥向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。二、向近代数学的过渡•结果是，塔塔利亚很快解出形如两类型所有方程，而费奥只能解出后一类方程。•后来，塔塔利亚把解法传给了卡尔丹。卡尔丹违背诺言在1545年出版的《大法》中公布了解法。二、向近代数学的过渡（p,q>0）

实质是考虑恒等式若选取a、b，使3ab=p，a3-b3=q，不难解得a、b。（p,q>0）

•

《大法》所载三次方程•

三次方程解决后不久，1540年意大利数学家达科伊向卡尔丹提出一个四次方程的问题，卡尔丹未能解决，但由其学生费拉里（1522一1565）解决了。其解法也被卡尔丹写进《大法》中．•

荷兰人吉拉德（1593—1632）于《代数新发现》（1629）中又作了进一步的推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的根（复数）考虑在内，并包括重根，则应有n个很，这就是著名的“代数基本定理”。不过，吉拉德没有给出证明。•

卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x项的系数，等等，这种根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里（1638—1675）等人作出系统阐述•

在法国，数学家韦达（1540一1603）写了《分析引论》、《论方程的整理与修正》（1615）与《有效的数值解法》（1600）等方程论著作，其中包括给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。•

1637年，笛卡儿首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解．今天所说的因式分解定理，最早由笛卡儿在其《几何学》中提出，他说：f（x）能为（x－a）整除，当且仅当a是f（x）＝0的一个根．笛卡儿在《几何学》中也末加证明地叙述了n次多项式方程应有n个根的论断，以及今天所谓的“笛卡儿符号法则”：多项式方程f（x）=0的正根的最多个数等于系数变号的次数，负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数．•

文艺复兴时期有关代数方程的这些零星结果，是后来关于高次代数方程理论的一系列漫长而影响深远的探索的起点。•

代数上的进步还在于引用了较好的符号体系，这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至关重要．正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学．近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。•

在《分析引论》中，他第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量．他把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数．这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因共抽象而应用更为广泛。•

数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达．由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革．•

韦达原是律师与政治家业余时间研究数学．他曾在布列塔尼议会工作，后任那瓦尔亨利亲王的枢密顾问官．他在政治上失意的1584～1589年间，献身于数学研究，曾研究过卡尔丹、塔塔利亚、邦贝利、史蒂文（约1548～1620）和丢番图等人的著作，从这些著作特别是丢番图的著作中获得了使用字母的想法。•

韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德（1575—1660）的《实用分析术》所继承，特别是通过后者的著作使采用数学符号的风气流行起来．对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a,b,c,d…）表示已知量，后几个（x，y，z，w，…）表示未知量，成为今天的习惯．•

韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加．这一障碍随着笛卡儿解析几何的诞生也得到消除。•

到17世纪末．欧洲数学家已普遍认识到，数学中刻意使用符号具有很好的功效．并且使数学问题具有一般性．不过当时随意引入的符号太多，我们今天所使用的符号，实际是这些符号经过长期淘汰后剩下来的。文艺复兴时期出现的缩写代数符号航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展．早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角学主要是球面三角，后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．15、16世纪德国人开始对三角学作出新的推进，他们从意大利获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识．游学意大利、后来定居维也纳的波伊尔巴赫（1423—1461）曾经把托勒玫的《大成》译成拉丁文，并且编制了十分精确的正弦表．在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是波伊尔巴赫的学生雷格蒙塔努斯（1436—1476）的《论各种三角形》．雷格蒙塔努斯生于德国，曾经游历于意大利，他搜集、译注了托勒玫的《大成》，还翻译过阿波罗尼奥斯、海伦、阿基米德等希胎数学家的着作。1464年他撰写了自己的著作《论各种三角形》，该书主要从纳西尔·丁的著作中吸取养分，全书分五卷，前两卷论平面三角，后三卷论球面三角，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中，制定了多达5位的三角函数表，除正弦和余弦表外，还有正切表．在1450年以前，希腊、阿拉伯人著作中的三角方法很不严谨，雷格蒙塔努斯首次对三角学作出完整、独立的阐述，使其开始在欧洲广泛传播．2、三角学随后，维尔纳（1468—1528）著《论球面三角》（1514），改进并发展了雷格蒙塔努斯的思想．不过此时的三角学存在一个最大的困难，就是缺少一批公式，使用仅知的几个公式，计算十分困难，这主要由于雷格蒙塔努斯只采用正弦和余弦函数，而且其函数值限定为正数所致．哥白尼的学生雷提库斯（1514—1576）将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），而且还编制了间隔为10”的10位和15位正弦表三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作．他在《标准数学》（1579）和《斜截面》（1615）二书中．把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，其中包括他自己得到的正切公式：他还给出了解球面直角三角形的方法和一套公式，以及帮助记亿这些公式的今天所谓的“纳皮尔法则”．这些球面三角公式大都是托勒密建立的，但也有韦达自己提出的公式，如

尤为重要的是韦达将这套三角恒等式表示成了代数形式，尽管他所用的并不是现代符号．在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支．

4、从透视学到射影几何欧洲几何学创造性活动的复兴晚于代数学．16世纪欧洲效学家中很多人关心阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》第8卷的恢复与整理，圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其他高等曲线．光学本是希腊人的兴趣之一，也是由于天文观测的需要，它又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题．不过文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性．而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样一些问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质?

（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影，那么这两个物体有何共同的几何性质?

正是由于绘画、制图中提出的这类问题的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学．意大利人布努雷契（1377—1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1404—1472）的《论绘画》（1511）一书，则是早期数学透视法的代表作书中除引入投影线、截影等一些概念外，还讨论了截影的数学性质，成为射影几何学发展的起点．德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论.德沙格利用射影原理证明了，在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合关系．在对合概念的基础上，他引人共扼点与调和点组，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性．进一步，研究了极点与极带理论．他最后利用这些理论研究阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线．另一位法国数学家帕斯卡（1623—1662）16岁时就开始研究投射与取景法，他曾接受德沙格的建议．把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，后于1779年被重新发现．在射影几何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理圆锥曲线的内接六边形对边交点共线．对早期射影几何学有所贡献的还有画家出身的拉伊尔（P.deLa.Hire,1640—1718），他在这方面的工作也是受到德沙格的影响．德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别．但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点：（1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；（2）变换与变换不变性；（3）几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量．不过17世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代数方法处理数学问题—般更为有效，也特别容易获得实践所需的定量结果．而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用．因此，射影儿何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其他学科．德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现．计算技术与对数

16世纪前半叶，欧洲人像印度人和阿拉伯人一样，把实用的算术计算放在数学的首位．这是因为科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果；地理探险与海洋贸易需要更为准确的天文知识；以精确观测为基础的新天文学需要精密的天文数表，特别是三角函数表；日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计算技术，所有这些都对计算技术的改进提出了前所未有的要求．1585年荷兰数学家史蒂文发表的《十进算术》（LaDisme）系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制．这种十进制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要．为简化天文、航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．这种设想受到人们熟知的三角公式苏格兰贵族数学家纳皮尔（L.Napier,1550—1617）正是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》的小书中，阐述了他的对数方法．瑞士仪器工匠比尔吉（J．Burgi，1552—1632）1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算．他的出发点是斯蒂弗尔的级数的对应思想,属于算术性质而略异于纳皮尔的做法．不过他的发明迟至1620年才得到发表。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以拉普拉斯曾资誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”．可以说，到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型．文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路．3解析几何的涎生近代数学本质上可以说是变量数学．文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求：机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求推确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等，总之，到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题．这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的涎生．变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在乎面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系．每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标（x，y）．以这种方式可以将一个代数方程f（x，y）＝o与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果．借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊的阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵着这种思想．解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323？—1382），他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到函数的图象表示，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线，相当于横坐标与纵坐标．不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念．解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿（1596—1650）与费马（1601—1665）．他们工作的出发点不同，但却殊途同归．有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；曲线的分类等等．《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何学发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的．笛卡儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设想的一般方法为“通用数学”，并概述了这种通用数学的思路．在这里，笛卡儿提出了一种大胆的计划，即：任何问题数学问题代数问题方程求解．为了实施这一计划，笛卡儿首先通过“广延”（他对有形物广延的一种推广）的比较，将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应．这就是笛卡儿几何学的方法论背景．当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这正是《几何学》需要完成的任务．《几何学》开宗明义，在任意选取单位线段（广延单位）的基础上定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算．笛卡儿依下列次序对这一问题进行分类解答：（1）一、二次方程（2）三、四次方程（3）五、六次方程笛卡儿《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭，在这里