人教版(2024年)高考数学总复习考点规范综合练习合集(含答案解析)【可编辑打印】

人教版2024年高考总复习考点规范练习(含答案解析)目录考点规范练空间点、直线、平面之间的位置关系 考点规范练空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩固1.经过空间不共线的四点,可确定的平面个数是()A.1 B.4 C.1或4 D.1或32.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M4.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面6.l1,l2表示空间中的两条直线,p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.(多选)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A8.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.平行 B.相交C.是异面直线 D.垂直9.如图,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线上;

(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线上.

10.如图所示,OA,OB,OC为不共面的三条线段,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且OA1OA=OB1OB=OC1OC成立.11.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线;(2)EG与FH相交.二、综合应用12.给出以下四个说法,①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.313.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,则下列说法正确的是()A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行14.如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD.现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是()A.直线EF,HG有可能平行B.直线EF,HG一定异面C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上一点,F为棱AA1的中点,且CE=2C1E,AB=2,AA1=3,BC=4,则平面BEF截该长方体所得截面为边形,截面与侧面ADD1A1、侧面CDD1C1交线的长度之和为.

16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G,H分别是B1C1,C1D1的中点.(1)画出平面ACD1与平面BDC1的交线,并说明理由;(2)求证:B,D,H,G四点在同一平面内.三、探究创新17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台.

考点规范练空间点、直线、平面之间的位置关系答案解析1.C当这四个点在一个平面内时,确定一个平面;当三个点在一个平面内,另一个点在平面外时,确定四个平面.2.A由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,又EF⊂平面A1BCD1,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.3.D∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上,同理可知,点C也在γ与β的交线上.4.A由题意,根据直线和直线外的一点,有且只有一个平面,所以“这四个点中有三点在同一直线上”,则“这四个点在同一平面上”,反之不一定成立,所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分不必要条件,故选A.5.A连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,A1C1过点O,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.6.Al1,l2是异面直线⇒l1,l2不相交,即p⇒q;而l1,l2不相交⇒/l1,l2是异面直线,即q⇒/p.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.ABD对于选项A,由基本事实2知选项A正确;对于选项B,由基本事实3知选项B正确;对于选项C,l⊄α分两种情况:l与α相交或l∥α.当l与α相交时,若交点为A,则A∈α,故选项C错误;选项D中推理显然正确.8.D两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.9.(1)BD(2)AC(1)连接BD,若EH∩FG=P,则P∈平面ABD,且P∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈直线BD.(2)连接AC.若EF∩GH=Q,则Q∈平面ABC,且Q∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴Q∈直线AC.10.证明在△OAB中,因为OA1OA=OB1OB,同理可证A1C1∥AC,B1C1∥BC.所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.11.证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG.同理EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与FH相交.12.B①显然正确;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不正确;④空间四边形的四条边不共面.故只有①正确.13.C如图,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行,所以A错误;因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M,且点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N,且点N不在直线AC1上,所以直线MN与直线AC1是异面直线,所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M,且点M不在直线A1C上,所以直线MN与直线A1C是异面直线,所以D错误.14.C连接EH,FG(图略).∵BE=2AE,DH=2HA,∴AE∴EH∥BD,且EH=13BD又CF=2FB,CG=2GD,∴CFFB=CGGD=2,∴FG∥BD,∴EH∥FG,且EH≠FG.∴点E,F,G,H共面,且四边形EFGH是梯形.∴直线EF,HG一定相交,设交点为O,则O∈EF,又EF⊂平面ABC,可得O∈平面ABC,同理,O∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,∴O∈直线AC,即直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上,故C正确,A,B,D错误.15.五10+956如图,设平面BEF与棱C1D1,A1D1分别交于点G,则截面为五边形BEGHF.易知BF∥EG,BE∥FH,则∠ABF=∠EGC1,∠CBE=∠A1HF,所以可得C1EC1G=AFAB=322,A1FA1H=CECB=24,16.(1)解如图,设AC∩BD=M,C1D∩CD1=N,连接MN,∵点M,N在平面ACD1内,且也在平面BDC1内,∴平面ACD1∩平面BDC1=MN.(2)证明连接B1D1,因为G,H分别是B1C1,C1D1的中点,所以HG∥D1B1.又D1B1∥DB,所以HG∥DB,故B,D,H,G四点共面.17.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵A1G12AB,∴AA1与BG必相交设交点为P,则P同理设CH∩AA1=Q,则QA∴点P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH∥平面ABC,∴几何体A1GH-ABC为三棱台.

考点规范练空间直线、平面的平行一、基础巩固1.已知两条不同的直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥nD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n2.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.(多选)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,O为矩形对角线的交点,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是()A.OM∥PD B.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA4.(多选)下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是()5.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,且AP=a3,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=.6.已知平面α∥β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.

7.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一梯形,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.

8.如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,DC,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,平面PDA∥平面GEFH,求四边形GEFH的面积.10.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.二、综合应用12.(多选)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的是()A.平面EFGH∥平面ABCDB.直线PA∥平面BDGC.直线EF∥平面PBCD.直线EF∥平面BDG13.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为.

14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界).若C1P∥平面CMN,则线段C1P长度的取值范围是.

15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在线段AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.三、探究创新16.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

考点规范练空间直线、平面的平行答案解析1.D对于A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对于B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对于C,m与n垂直而非平行,故C错误;对于D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.A当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;反之m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.3.ABC由题意知,OM是△BPD的中位线,所以OM∥PD,故A正确;因为PD⊂平面PCD,OM⊄平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA相交,故D不正确.4.ADA中,如图①,连接BC,由已知得AC∥NP,BC∥MN,从而得AC∥平面MNP,BC∥平面MNP,于是有平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP.B中,如图②,连接BC,交MP于点O,连接ON,易知在底面正方形中O不是BC中点(实际上是靠近点C的四等分点),而N是AC中点,因此AB与ON不平行,在平面ABC内,AB与ON必相交,此交点也是直线AB与平面MNP的公共点,直线AB与平面MNP相交而不平行.C中,如图③,连接BN,正方体中有PN∥BM,因此点B在平面MNP内,直线AB与平面MNP相交而不平行.D中,如图④,连接CD,可得AB∥CD,CD∥NP,即AB∥NP,从而直线AB与平面MNP平行.5.22a3如图所示,连接AC.∵平面PQNM交正方体的上、下底面分别于PQ,MN,∴MN∥PQ.易知MN∴PQ∥AC.∵AP=a3,∴PDAD=DQCD6.245或24如图①,∵AC∩图①∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD.∴PA即6图②解得BD=24如图②,同理可证AB∥CD.∴PA即6解得BD=24.综上所述,BD=245或247.平行如图,取PD的中点F,连接EF,AF,在△PCD中,EF12CD∵AB∥CD,且CD=2AB,∴EFAB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴BE∥AF.又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.8.23如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M满足BM∥平面AD1C,由面面平行的性质可知,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内,即满足题意,过点B作与平面AD1C平行的平面,连接A1B,BC1,A1C1,则平面A1BC1∥平面AD1C,所以S△A1BC1=9.(1)证明∵BC∥平面GEFH,又BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,∴BC∥GH.又BC∥平面GEFH,BC⊂平面ABCD,且平面ABCD∩平面GEFH=EF,∴BC∥EF,∴GH∥EF.(2)解∵平面PDA∥平面GEFH,平面PAB∩平面PAD=PA,平面PAB∩平面GEFH=GE,∴GE∥PA.∵BE=14AB,∴GE=14PA=同理HF=14PD=17又由(1)知,BC∥GH,∴GH=34BC=6在四边形GEFH中,GE=HF=172,GH=6,EF=8,且EF∥GH四边形GEFH为等腰梯形,如图,过点G作GM垂直于EF于点M,过点H作HN垂直于EF于点N,在Rt△GEM中,GM=GE∴S梯形GEFH=12(GH+EF)·GM=10.证明(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,则AE必过交点O,且O为AE的中点.连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG.又DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,DE∩BD=D,所以平面BDE∥平面MNG.11.(1)证明如图,取BC的中点N,连接MN,C1N,∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴M,N,C1,A1四点共面.∵BE=3EC,∴E是NC的中点.又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,∴DE∥平面A1MC1.(2)解当AA1=1时,有AM=1,A1M=2,A1C1=2∴三棱锥A-MA1C1的体积VA-MA1C1=VC112.ABC作出立体图形,如图所示.连接E,F,G,H四点构成平面EFGH.对于A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD.又EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理,EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;对于B,连接AC,BD,DG,BG,设AC与BD的交点为M,则M为AC的中点,又G为PC的中点,所以MG∥PA,又MG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正确;对于C,由A中的分析知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故C正确;对于D,根据C中的分析可知EF∥BC,再结合图形可得BC∩BD=B,则直线EF与平面BDG不平行,故D错误.13.452如图,取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,所以H,F分别为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=14.[17,5]如图,取A1D1的中点Q,连接C1Q,过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于点E,连接C1E,则易知平面C1QE∥平面CMN,∴当点P在线段QE上时,C1P∥平面CMN,且当C1P⊥QE时,C1P的长度取得最小值,过点C1作C1O⊥QE,垂足为O.由题意可知C1D1=3,D1Q=4,∴C1Q=5.由AA1=6,AN=2NA1,得A1N=2,AN=4.∵QE∥MN,QD1∥MA,∴∠D1QE=∠NMA,∴△D1QE∽△AMN,∴ANAM=D1EQD1,∴D1E=AN=4,∴C1E=32+42=5,QE=42+∴线段C1P长度的取值范围是[17,5].15.解法一当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.证明如下:如图,在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1又因为AF∥A1C1,且AF=34A1C1所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.解法二当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证明如下:如图,在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FG∥AB.又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1.又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面A1ABB1.因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.16.(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,可得AB1∥DC1,A1D∥B1C.∵AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)解存在满足题意的点P.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,∵B1BCC1,∴BB1CP,∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,∴BP∥平面DA1C1.

考点规范练空间直线、平面的垂直一、基础巩固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直2.已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α B.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥β D.l∥m,m⊥α3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.如图,AB为圆锥底面直径,C是底面圆O上异于A,B的动点.已知OA=3,圆锥侧面展开图是圆心角为3π的扇形,则当PB与BC所成角为π3时,PB与AC所成角为A.π3 B.π6 C.π45.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

8.如图,在棱长为2a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中点,则平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为.

9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:.(用序号表示)

10.如图①,在平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=7,cos∠EDC=57.将△CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,且AP=3,得到如图②所示的四棱锥P-ABCE(1)求证:AP⊥平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,判断直线AB与l的位置关系,并说明理由.11.已知三棱锥P-ABC,PA=PB=AB=3,BC=4,AC=5,D为AB的中点.(1)若PC=3,求异面直线PD与BC所成的角的余弦值;(2)若二面角P-AB-C为30°,求AC与平面PAB所成的角的正弦值.二、综合应用12.(2022全国Ⅱ,理7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°13.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,若球O的体积为823π,则直线PC与平面PABA.31111 BC.31010 D14.(多选)如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,给出下列结论正确的是()A.PB⊥AEB.平面PAE⊥平面PDEC.异面直线PD与BC所成角为30°D.直线PD与平面PAB所成角的余弦值为1015.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别为线段CD,AB上的点,且BFBA=CECD=13,现将△ADE沿AE翻折成四棱锥(1)证明:AE⊥PF;(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°,设AA1=a,(1)求a的值;(2)求直线B1C1到平面A1BC的距离.三、探究创新17.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.

考点空间直线、平面的垂直答案解析1.D对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.D由α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A不可以;对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B不可以;对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C不可以;对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D可以.3.C因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.C设圆锥母线长为l,则l·3π=23π,解得∵PB=PC,且PB与BC所成的角∠PBC=π3∴BC=2.又OA=3,∴在Rt△ABC中,AC=22如图,作BD∥AC与圆O交于点D,连接AD,则Rt△ACB≌Rt△BDA,从而BD=AC=22,连接PD,则∠PBD为PB与AC所成角.在△PBD中,PD=PB=2,BD=22,可得PD⊥PB,∴∠PBD=π5.D∵m⊥β,l∥m,∴l⊥β.又l⊂α,∴α⊥β,故选D.6.A连接AC1,由BC1⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.7.DM⊥PC(或BM⊥PC)连接AC.∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.2连接MD,则M是BD的中点,连接DC1,取BC1的中点E,连接CE,DE,如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,则BD=DC1=BC1=22a,CC1=BC=2a,又E是BC1的中点,∴DE⊥BC1,CE⊥BC1.∴∠DEC或其补角就是平面DBC1与平面CBC1的夹角,即平面MBC1与平面CBC1的夹角.又DC⊥平面CBC1,∴DC⊥CE.在Rt△DCE中,DC=2a,CE=2a,∴tan∠DEC=2故平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为29.①③④⇒②(或②③④⇒①)逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.10.(1)证明在△CDE中,∵CD=ED=7,cos∠EDC=57∴由余弦定理得CE=2.连接AC,如图所示,∵CE=AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=3,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理,AP⊥AC.∵AC∩AE=A,AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,∴AP⊥平面ABCE.(2)解AB∥l.理由如下:∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE=l,AB⊂平面PAB,∴AB∥l.11.解(1)如图,取AC的中点E,连接DE,PE.∵D为AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC.∴∠PDE或其补角为PD与BC所成的角.由已知可得PE=112,DE=2,PD=3∴cos∠PDE=P∴PD与BC所成角的余弦值为4(2)如图,在△PDE中,过点E作EH⊥PD于点H,连接AH.∵PA=PB,D为AB的中点,∴PD⊥AB.∵AB=3,BC=4,AC=5,∴∠ABC=90°.又DE∥BC,∴AB⊥DE,∴∠PDE为二面角P-AB-C的平面角,即∠PDE=30°.∵AB⊥平面PDE,EH⊂平面PDE,∴EH⊥AB.又EH⊥PD,PD∩AB=D,∴EH⊥平面PAB.∴∠HAE为AC与平面PAB所成的角.在Rt△AHE中,∵EH=1,AE=52∴sin∠HAE=2∴AC与平面PAB所成角的正弦值为212.D如图,连接BD.B1D与平面ABCD所成的角为∠B1DB,B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A,则∠B1DB=∠DB1A=30°,设B1D=2,则AD=B1B=1.由B1D2=AD2+CD2+B1B2,得AB=CD=2,从而AB=2AD,A错;过点B作BE⊥AB1,垂足为点E,因为AD⊥平面AA1B1B,所以AD⊥BE,又AD∩AB1=A,所以BE⊥平面AB1C1D,所以AE为AB在平面AB1C1D内的射影,则AB与平面AB1C1D所成的角为∠B1AB,又AB=2,所以tan∠B1AB=BB1AB=12=22,所以∠B1AB≠30°,B错;因为AC=3,CB1=2,所以AC≠CB1,C错;由DC⊥平面BB1C1C,知B1C为B1D在平面BB1C1C内的射影,B1D与平面BB1C1C所成的角为∠DB1C,又sin∠DB1C=CDB113.A如图,设△ABC的中心为E,M为AB的中点,过点O作OD⊥PA,则D为PA的中点.由题意可得CM⊥平面PAB,∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角.∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴OD=AE=23CM=2∵43π·OP3=82π3,∴OP=2∴PM=PA2+A14.ABD如图,连接BD.根据正六边形性质得AB⊥AE,因为PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以PA⊥AE.因为PA,AB为平面PAB内两相交直线,所以AE⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,所以PB⊥AE,故A正确;根据正六边形性质得DE⊥AE,因为PA⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以PA⊥DE.因为PA,AE为平面PAE内两相交直线,所以DE⊥平面PAE.因为DE⊂平面PDE,所以平面PAE⊥平面PDE,故B正确;根据正六边形性质得AD∥BC,所以∠PDA为异面直线PD与BC所成角,因为PA=2AB=AD,所以∠PDA=π4即异面直线PD与BC所成角为45°,故C错误;因为AE⊥平面PAB,BD∥AE,所以BD⊥平面PAB,所以∠DPB为直线PD与平面PAB所成角,因为PA=2AB,所以可得PD=2PA,PB=52PA所以cos∠DPB=PBPD=52215.(1)证明连接DF交AE于点M,连接EF,如图.∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,BFBA∴四边形ADEF为边长为2的正方形.∴AE⊥DF,且DM=MF=2在四棱锥P-ABCE中,AE⊥PM,AE⊥MF,PM∩MF=M,∴AE⊥平面PMF.又PF⊂平面PMF,∴AE⊥PF.(2)解设点F到平面PAE的距离为d1,点B到平面PAE的距离为d,由(1)知∠PMF是二面角P-AE-B的平面角,∴∠PMF=2∵AE⊥平面PMF,AE⊂平面PAE,∴平面PMF⊥平面PAE.过点F作FH⊥PM于点H,∵平面PMF∩平面PAE=PM,∴FH⊥平面PAE.由(1)知在△PMF中,PM=MF=2,∴∠FPM=π6,PF=6,∴d1=FH=12∵AFAB=23,∴d=在Rt△APM中,可得PA=2,在△PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PA·FA·cos∠PAF,在△PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PA·AB·cos∠PAF,解得PB=10.∴sinθ=d∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为316.解(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC或其补角就是异面直线A1B与B1C1所成的角.如图,连接A1C,∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∴△A1BA≌△A1CA,∴A1B=A1C.∴∠A1BC为锐角,即∠A1BC=60°.∴△A1BC为等边三角形.∵AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC=2,∴A1B=1+a2=2,(2)易知B1C1∥平面A1BC,此时有直线B1C1上的任意一点到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离,设其为d.连接B1C,∵CA⊥A1A,CA⊥AB,AA1∩AB=A,∴CA⊥平面A1B1B,并且AC=1.△A1B1B的面积:S△A1B1B△A1BC的面积:S△A1BC=∵VB1-A1∴d=S△∴直线B1C1到平面A1BC的距离为317.(1)证明如图,取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC,DE=12BC因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HF∥BC,HF=12BC所以HF∥DE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形,所以EF∥HD.因为EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,所以EF∥平面A1BD.(2)证明在△ABC中,因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BCED.因为CO⊂平面BCED,所以CO⊥A1O.在△ABC中,由已知条件易得OB=OC=22,在△OBC中,BC=4,所以CO⊥BO.因为A1O∩BO=O,所以CO⊥平面A1OB.因为CO⊂平面A1OC,所以平面A1OB⊥平面A1OC.(3)解在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.如图,连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,由F为A1C的中点,OC⊥GF,得G为OC的中点.在△EOC中,因为OC⊥GE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.所以在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.

考点空间向量及其运算一、基础巩固1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能2.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC3.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M为BC的中点A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定4.已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为()A.-4 B.1 C.10 D.115.在空间四边形ABCD中,AB·CDA.-1 B.0 C.1 D.26.在三棱锥O-ABC中,M是OA的中点,P是△ABC的重心.设OA=a,OB=b,OC=c,则MP=()A.12a-16b+13c B.13a-C.-16a+13b+13c D.-a+137.已知点O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当QA·QB最小时,点Q的坐标是8.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,且AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+zOC,则9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,N是AB的中点,M是B1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M的坐标;(2)求线段MD,MN的长度;(3)判断直线DN与直线MN是否互相垂直,并说明理由.10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C⊥平面BC1D.二、综合应用11.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=π3,各棱长均为1,则下列结论正确的是A.{AC,AB.<AD,DDC.|BD1D.BD⊥平面ACC1A112.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AFA.a2 B.12a2 C.14a2 D.313.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;(2)求cos<BA1,(3)求证:A1B⊥C1M.14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.(1)设AA1=a,AB=b,AC=c,用向量a,b,c表示BC1,并求出(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.三、探究创新15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥PD;(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.

考点空间向量及其运算答案解析1.B由题意,得c垂直于由a,b确定的平面.∵d=λa+μb,∴d与a,b共面.∴c⊥d.2.AC因为AP·AB=0,故A正确;BP=(3,-3,-3),AP·BP=3+6-3=6≠0,故B不正确;BC=(6,1,-4),|BC|=62+12+(-4)2=53,故C正确;AP=(1,-2,1),BC3.C∵M为BC的中点,∴AM=∴AM·=12AB·∴AM⊥AD,即△AMD为直角三角形.4.D∵点P(x,-1,3)在平面ABC内,∴存在实数λ,μ,使得AP=λAB+μ∴(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),即x可得x=11.5.B如图,令AB=a,AC=b,AD=c,则AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.6.C如图,取AB的中点D,连接CD,MC,OD,则点P在CD上,且CMP=MC+CP=(OC-OM)+23CD=OC-12OA+23(OD-OC)=c-12a+23OD-237.43,43,83设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),λ∈R,则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ).故QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=所以当λ=43时,QA·QB取得最小值-23,此时OQ8.15由题意知空间四边形OABC为正四面体.OG=OM+MG=OA+23AB+12MC∵OA·OB=OA·OC=OB·OC∴|OG|2=OG2=16OA+13OB+12OC∴|OG|=5.9.解(1)∵D为坐标原点,∴点D的坐标为(0,0,0).由|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,得点A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),∵N是AB的中点,M是B1C1的中点,∴点N(2,1,0),M(1,2,3).(2)|MD|=(1|MN|=((3)直线DN与直线MN不垂直.理由:由(1)中各点坐标得DN=(2,1,0),MN=(1,-1,-3),∴DN·MN=(2,1,0)·(1,-1,-3)=1∴DN与∴直线DN与直线MN不垂直.10.证明(1)CA1=CB+BA+∴CG即A1,G,C三点共线.(2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=∵CA1=a+b+c,B∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)∴C即CA1⊥BC1.同理CA1⊥BD,又BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面BC1D.11.ACD对于A,由BB1∥CC1所以{AC,AC1,BB对于B,因为∠A1AD=π3,所以∠ADD1=2π3,所以<AD,DD1>=π对于C,|BD1|2=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BA·AD+2BA·DD1+2所以|BD1|=2,故C对于D,设BD交AC于点O,连接A1O,A1D,A1B,如图,由题意可得四边形ABCD为菱形,A1D=A1B,所以BD⊥AC,BD⊥A1O,又AC∩A1O=O,所以BD⊥平面ACC1A1,故D正确.12.C如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.AE=12(a+b),故AE·AF=12(a+b)·12c=14(=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a13.解如图,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得点B(0,1,0),N(1,0,1),∴|BN|=(1-(2)依题意得点A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2|BA1|=6,|C∴cos<BA1(3)证明:依题意,得点C1(0,0,2),M12,12,2,A1B=(-1,1,-2),∴A∴A1B⊥C1M.14.解(1)BC1=BB1+B1C1=BB1+A1C1-A1B1=AA1+AC-AB=a+c-b.又a·b所以|BC1|=(a+(2)因为AB1=a+b,所以|AB因为AB1·BC1=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+所以cos<AB1所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为615.解∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意得点B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)证明:∵BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2∴BE·PD=0,∴BE(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由点F在棱PC上,设CF=λCP=(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1∴BF=BC+CF=(1-2λ,2-2λ∵BF⊥AC,∴BF·AC=2(1-2λ)+2(2-2λ)解得λ=34,∴|PF|=1-34|PC|=1考点立体几何中的向量方法一、基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x).若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2 B.-2 C.2 D.±22.已知平面α的一个法向量为n=(1,-3,0),则y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6 B.π3 C.π43.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=2,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1) B.2C.22,24.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.12 B.22 C.135.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面6.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,则()A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为60°D.AB与CD所成的角为60°7.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值是.8.(2021全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.(1)求证:B1C1∥平面DEF;(2)求EF与AC1所成角的大小;(3)求点B1到平面DEF的距离.二、综合应用10.(多选)如图,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥平面ABC,AB=2,BC=23,AC=4,点A到平面PBC的距离为455,A.PA=4B.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32πC.直线AB与直线PC所成角的余弦值为2D.AB与平面PBC所成角的正弦值为211.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为33,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由13.(2022全国Ⅰ,理18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.三、探究创新14.如图①,在等边三角形ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如图②所示.(1)若异面直线BE与AC垂直,请确定图①中点D的位置;(2)证明:无论点D的位置如何,平面ADE与平面ABE夹角的余弦值都为定值,并求出这个定值.

考点立体几何中的向量方法答案解析1.D当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±22.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>=m·n|m||n|=-32×1=-3.C设M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),则AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则n令b=1,则可取n=(1,1,2).又AM∥平面BDE,所以n·AM=0即2(x-2)+2=0,得x=22.所以4.C如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),从而AE=(0,1,0),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c).则n令a=2,则可取n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为h=|5.B以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=(13,13,-13),BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A16.ABD取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD.又AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC,故A正确.设正方形的边长为a,则AD=DC=a,AE=22a=EC由题意知∠AEC=90°,则在Rt△AEC中,可得AC=a.∴△ACD为等边三角形,故B正确.由已知得AE⊥平面BCD,则∠ABD为AB与平面BCD所成的角,为45°,故C错误.以E为坐标原点,EC,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,22a,B0,-22a,0,D0,22a,0,C22a,0,0.∴AB=0,-22a,-22a,DC=22a,-22a,0∵cos<AB,DC>=∴<AB,DC>=60°,故D7.63如图所示,建立空间直角坐标系,则有D12,0,0,C(1,1,0),S可知AD=12,设平面SCD的法向量n=(x,y,z),因为SD=所以n·SD=0,n·DC=0,即x2-z=0,x令x=2,则y=-1,z=1,所以可取n=(2,-1,1).设平面SCD与平面SAB的夹角为θ,则cosθ=|8.解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽Rt△ABM,∴AD∴12BC2=1,∴(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴、y可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(-2,0,1),AM=-22,1设平面AMP的法向量为m=(x1,y1,z1),则m令x1=2,则y1=1,z1=2,可取m=(2,1,2).设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2),同理可取n=(0,1,1).则cos<m,n>=m设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sinθ=19.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC.∵D,F分别是AC,AB的中点,∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.又B1C1⊄平面DEF,DF⊂平面DEF,∴B1C1∥平面DEF.(2)解根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则点C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).∴EF=(-1,1,-1),AC1=(-2,0,∵EF·AC1=2+0∴EF⊥AC1,∴EF与(3)解设向量n=(x,y,z)是平面DEF的法向量,DE=(1,0,1),DF=(0,1,0).由n⊥DE取x=1,则z=-1,∴可取n=(1,0,-1).设点B1到平面DEF的距离为d,∵DB1=(-1,2,2),∴d=|DB1·n|10.ABD因为AB=2,BC=23,AC=4,所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.又因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,从而BC⊥PB.设PA=a,根据等体积法得VP-ABC=VA-PBC,即13×12×2×23解得a=4,所以PA=a=4,故A选项正确;三棱锥P-ABC的外接球的半径与以BC,BA,AP为邻边的长方体的外接球的半径相等,因为三棱锥P-ABC的外接球的半径为22,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π,故B选项正确;过点B作PA的平行线BD,则BD⊥平面ABC,所以以点B为坐标原点,BC,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(23,0,0),A(0,2,0),P(0,2,4),所以AB=(0,-2,0),PC=(23,-2,-4),所以cos<AB,PC>=AB·PC|AB||PC|=4可得BC=(23,0,0),BP=(0,2,4),AB=(0,-2,0).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则m令z=1,则可取m=(0,-2,1),设AB与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<m,AB>|=|AB·m||m||AB|=411.16如图,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,连接OA,OB,取AB的中点F,连接CF,OF,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角.设AB=1,则CF=32,OF=CF·cos∠CFO=12,OC=22,则建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则E0,-22,0,M24,0,24,A22,0,0,N0,2故cos<EM,AN12.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.(2)解存在.取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD与平面ABCD垂直,且交线为AD,所以PO⊥平面ABCD.因为AO,CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO,PO⊥OA.因为AC=CD,所以CO⊥AD.故PO,CO,OA两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).所以AP=(0,-1,1),DC=(2,1,0),DP=(0,1,1).设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则DC令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一个法向量为n=(1,-2,2).设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1],使得AM=λAP因此点M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以要使BM∥平面PCD,当且仅当BM·n=0,所以(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0即-1+4λ=0,解得λ=14.所以在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,13.(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E为AC的中点,AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解如图,连接EF,由(1)知AC⊥平面BED.∴EF⊥AC,∴当△AFC的面积最小时,EF最小.在△BDE中,若EF最小,则EF⊥BD.∵AB=CB=2,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=2,BE=3∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴DE2+BE2=BD2,∴BE⊥DE.由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,则以E为原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,∴点A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),E(0,0,0),∴AB=(-1,3,0),AD=(-1,0,1),DB=(0,3,-1),ED=(0,0,1)设DF=λDB=(0,3λ,-λ),则EF=ED+DF=(0,3∵EF⊥BD,∴EF·DB即3λ-(1-λ)=0,解得λ=1∴点F0设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=-x+3y∴n=(3,1,3)为平面ABD的一个法向量.设CF与平面ABD所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,CF>|=3故CF与平面ABD所成的角的正弦值为414.解在图②中,分别取DE的中点O,BC的中点F,连接OA,OF.由题意以O为原点,OE,OF,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,可建立空间直角坐标系,如图所示.图①图②设OA=x,0<x<23,则OF=23-x,OE=x3∴B(2,23-x,0),Ex3,0,0,A(0,0,x),C(-2,2AC=(-2,23-x,-x),BE(1)∵异面直线BE与AC垂直,∴AC·BE=x2-103x+解得x=63=23(舍)或x=4∴图①中,ADAC即图①中点D在边AC的三等分点处且靠近点C.(2)平面ADE的一个法向量为n=(0,1,0).AE=设平面ABE的法向量为m=(a,b,c),则AE令a=1,则可取m=1设平面ADE与平面ABE的夹角为θ,则cosθ=|m∴无论点D的位置如何,平面ADE与平面ABE夹角的余弦值都为定值5

考点直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()A.30° B.60°C.150° D.120°2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k23.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转90°所得的直线的方程为()A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=04.已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),直线l2的方程为2x+y-1=0,直线l3的方程为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10 B.-2 C.0 D.85.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.[34,4] B.[-4,3C.(-∞,-4]∪[34,+∞) D.[-36.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

7.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,则m=.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,则m=.

8.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.

9.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.10.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,-1),AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC.(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求BC所在直线的方程.二、综合应用11.已知集合A={(x,y)|x+ay-a=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B=⌀,则实数a的值为()A.3 B.-1 C.3或-1 D.-3或112.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=2-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线A.150° B.135° C.120° D.不存在13.设光线l从点A(-4,3)射出,经过x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的横坐标为,若该入射光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为.

14.已知函数y=ex的图象在点(ak,eak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5=15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.16.已知动直线l0:ax+by+c-3=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,求12a三、探究创新17.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若f(π3-x)=f(π3+x),则直线ax-by+c=0A.π4 B.π3 C.2π18.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.4x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0

考点直线的倾斜角与斜率、直线的方程答案解析1.B设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y=3x+a,则k=tanα=3.故α=60°2.D直线l1的倾斜角是钝角,则k1<0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数.又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2>k3>0,所以k1<k3<k2.3.D由已知得直线2x-y-2=0的斜率为2,与y轴交于点(0,-2),所求直线与直线2x-y-2=0垂直,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线的方程为y+2=-12x,即x+2y+4=4.A因为l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=-2,因为l2⊥l3,所以-1n×(-2)=-解得n=-2,所以m+n=-10.5.C如图所示,∵kPN=1-(-2)1-(-3)=∴要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,∴k≥34或k≤-6.3x-2y=0或x-y+1=0当直线过原点时,方程为y=32x,即3x-2y=0当直线l不过原点时,设直线方程为xa-y将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.7.-13∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,∴m+31=2∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,∴1×(m+3)+(-1)×2m=0,解得m=3.8.x+y-3=0验证知点M(1,2)在圆C内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,∵kCM=4-23-1=1,∴∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0.9.解设点A(xA,yA)在直线l1上,点B(xB,yB)在直线l2上.由题意知xA+xB2=3,yA+yB2=0,则点B得2xA则所求直线的斜率k=163-0故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.10.解(1)∵点B(5,3),D(3,-1),∴线段BD的中点M的坐标为(4,1).∵AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC,∴kAC=-1.∴对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.(2)由x+y-5=0,x∴kAD=-1-323-72=5.∵BC∥∴BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.11.A因为A∩B=⌀,所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0没有交点,即直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0平行,所以1·(2a+3)-a·a=0,解得a=-1或a=3.当a=-1时,两直线为:x-y+1=0,-x+y-1=0,此时两直线重合,不满足题意.当a=3时,两直线为:x+3y-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行,满足题意.所以a的值为3.12.A由y=2-x2,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,2为半径的圆的一部分显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=|-2k|1+k2,弦长|AB|=22-|-2k|1+k22=22-2k21+k2,所以S△AOB=12×|-2k|1+k2×22-2k213.-1-3由点B(0,33)关于x轴的对称点为B'(0,-33),可得直线AB'的斜率为3+方程为y=-33x-33,令y=0,可得x=-即光线l与x轴交点的横坐标为-1.由直线AB'可得入射角为90°-30°=60°,则折