安徽省合肥市庐阳区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B.C、

D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每-小题,

选对得4分，不选、选错或选出的代号超过-一个的（不论是否写在括号内）一律得0分

1.下列图形是中心对称图形的是（）

2.将二次函数的图象向右平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（）

2

A.y=小（x-2）2B.y——（x+2）2C.-2D.y—^r+2

2222

3.函数的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（）

X

A.-2B.-1C.0D.1

4.如图，△A3C的三个顶点都在方格纸的格点上，则sinA=（)

A4B-v*D4

5.如图，△ABC内接于。0,且。0的半径为2,若NACB=45°,则AB为（）

A.2B.V2C.4D.2&

6.如图，在△ABC中，AC=2,ADLBC,且C£）=2BO,E为AD中点,连接BE,贝UBE

为（）

A.1B.5/2C.3D.2

2

7.如图，在△ABC中，8。平分/ABC交AC于点。.过点D作DE〃BC交AB于点E,若

AE：BE=3：2,且△4OE的面积为3,则△8C。的面积为（）

8.如图，四边形ABC。内接于O。，延长QC、AB交于点E,若点C为的中点，且A8

=5,BE=3,则CE的长为（）

>E

A.4B.C.2V3D.715

9.如图，点4在反比例函数y=K_l二，点B在x轴上，连接AB交y轴于点E,将A8沿x

轴向右平移至C£）,其中C在x轴上，。在y轴上，连接CE,若△CDE的面积为3,则

%的值为（）

10.如图，在中，ZACB=90°,NA=30°,BC=2,。为4c上任一点，尸为

AB中点，连接BD,E在BD上,且满足cN=DE,BD,连接EF,则EF的最小值为（）

22

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）已知史士=工，则t=.

a2a

12.（5分）点A（-上，巾），B（0,）2）在抛物线y=-7+x+c上，则yi，”的大小关系

2

是.

13.（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》，中记载了一个这样的问题：“今有圆材埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺四寸，间径几何？”意思是：有一

圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深。E=1寸，锯道长AB

=14寸（1尺=10寸）.则这根圆形木材的直径是寸.

14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，0A=08,且/4OB=30°,其中点8在y轴上，

将aAOB绕点O逆时针旋转120°得到△C。。，连接BD与AC交于点E,与OC交于点

F.

（1）四边形。4E。的形状是；

（2）若B点坐标为（0,-2）,则EF的长为_______.

三、.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）计-算：A/12-tan60°+J^cos45°.

16.（8分）某二次函数的图象的顶点为（2,-2）,且它与），轴交点的纵坐标为2,求这个

函数解析式.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）如图，已知△ABC的顶点A、8、C的坐标分别是（-1,-1）,（-4,-3）、（-

4,-1).

（1）作出△ABC绕点。逆时针旋转90°得到的△481C：

（2）请写出旋转后的△4BiCi的三个顶点的坐标.

18.（8分）如图1所示，为了进一步提升教学效果，某校更换了一批最新的投影仪设备.工

人师傅们在安装投影仪时也有一段小插曲.如图2所示，AB为教室的高，C3为黑板的

宽（点C、。均在AB上）.为了能不遮挡学生看屏幕的视线，投影仪必须安装在点E处,

其中CELA8,且CE=1.2米.由于投影仪质量太大，横轴（“）不足以支撑它的重量,

于是工人师傅们想用一些铁丝（E尸）来加以固定，其中点尸在教室的高A8上，工人师

傅在安装时发现当NCEF=30°时，点尸的固定系数较差.通过实践发现，当点尸向上

移至点G处且/CEG=40°时固定系数最好，请求出工人师傅应该将固定点F向上平移

多远距离可到达点G处（即：求FG）.（其中sin40°—0.64,cos40°^0.77,tan40°弋

0.84,最后结果精确到0.1）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）如图，直线y=ax+6与反比例函数），=K。＜0）的图象相交于点A、点8,与

x

X轴交于点C,其中点4的坐标为（-1,2）,点B的横坐标为-2.

（1）求出一次函数和反比例函数的关系式；

（2）当x<0时，根据图象写出反比例函数大于一次函数的x的取值范围.

20.（10分）如图，AB为。。的直径，C为上一点，连接AC、BC、OC,过点B作8G

_LOC交OC于点E,交AC于点F,交（30于点G.

（1）求证：ZCAB=ZCBG；

（2）求证：3C2=A8・CE.

六、（本题满分12分）

21.（12分）如图，△AC。和△ABE均为等腰直角三角形，其中AC=AZ）=2,AB=AE=2^

/BAE=ND4C=90°，点B在C。的延长线上，连接CE.

（1）填空：点4到BC的距离为；

（2）求△ABC的面积；

（3）求tan/CBE.

七、（本题满分12分）

22.（12分）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，某市政府加大各

部门和各单位的对口扶贫力度.某单位帮扶某村完成一种农产品的销售工作，其成本为

每件10元，销售过程中发现，该产品每天的销售量y(件)与销售单价X(元/件)之间

存在如图所示的一次函数关系.

(1)请求出y与x之间的函数解析式；

(2)该农产品的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

八、(本题满分14分)

23.(14分)如图1,在中，/ACB=90°,AC=8C=1,。为A8上一点，连接

CD,分别过点A、B作BMLCD.

(1)求证：AN=CM；

(2)若点。满足班)：A£>=2：1,求。M的长；

(3)如图2,若点E为A8中点，连接EW,设sin/M4O=A,求证：EM=k.

2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B.C、

D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每-小题,

选对得4分，不选、选错或选出的代号超过-一个的（不论是否写在括号内）一律得0分

1.下列图形是中心对称图形的是（）

【分析】一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

2.将二次函数的图象向右平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（）

2

A.y=』（x-2）2B.（x+2）2C.y—Ax2-2D.y--kx2+2

2222

【分析】抛物线y=W的顶点坐标为（0,0）,向右平移2个单位，所得的抛物线的顶

2

点坐标为（2,0）,根据顶点式可确定所得抛物线解析式.

【解答】解：依题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为（0,0）,平移后抛物

2

线顶点坐标为（2,0）,

又因为平移不改变二次项系数，

...所得抛物线解析式为：y=L（x-2）2.

2

故选：A.

3.函数的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则&可能为（）

X

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根据反比例函数的性质列出关于2的不等式，求出女的取值范围即可.

【解答】解：•••反比例函数了=上史的图象中，在每个象限内y随x增大而增大,

X

"+1V0,

解得k<-1.

观察选项，只有选项A符合题意.

故选：A.

4.如图，△48C的三个顶点都在方格纸的格点上，则siM=（）

A.AB.返c.返D.逅

2235

【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可

得答案.

AC=VCD2+AD2=V22+42=2^

由锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，得

.=型=号=在，

AC2A/55

故选：D.

5.如图，/XABC内接于。0,且。。的半径为2,若NACB=45°,则AB为（)

c

A.2C.4D.2y

【分析】连接OA,OB,根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得NAOB

=90°,又OA=O8=2,根据勾股定理即可求出A8.

【解答】解：如图，连接OA,0B,

，N4O8=90°,

"：0A=0B=2,

,，MB=VOA2+OB2=2^2,

故选:D.

6.如图,在△ABC中，AC=2,AD1BC,且C£>=28。，E为AO中点，连接8E,则BE

为（)

A.1B.V2C.旦D.2

2

【分析】根据题意证明△BDESACDA.进而可得结果.

【解答】解：为4。中点,

：.AD=2DE,

,:CD=2BD,

.BD=DE=1

「瓦AD2"

；ZEDB=ZADC,

:ABDEsACDA.

-BE_1

AC2

■：AC=2,

；.BE=1.

故选：A.

7.如图，在△ABC中，BD平分/ABC交AC于点。.过点。作力E〃BC交AB于点£,若

AE：BE=3：2,且△A£>£；的面积为3,则△BCD的面积为（）

【分析】先由。E〃BC证明△ADEs/\ACB,由此得△ADE与aACB的面积之比为：9：

25,再由AE：BE=3：2得△AOE与△OEB的面积之比为：9：6,故△AOE与△OC8

的面积之比为：9：10,即可得到答案.

【解答】W：VAE：BE=3：2,

：.AE：3A=3：5,

'JDE//BC,

，缸ADEsXMB

...△AQE与AACB的面积之比为：9：25,

"：AE：BE=3：2,

.♦.△ACE与△OEB的面积之比为：9：6,

.♦.△AOE与△OCB的面积之比为：9：10,

「△AOE的面积为3,

.•.△8CD的面积为也，

3

故选：D.

8.如图，四边形48co内接于OO,延长OC、A8交于点E,若点C为。E的中点，且AB

=5,BE=3,则CE的长为()

【分析】先由圆周角定理得/D+/ABC=180°,从而得NQ=NCBE,即可证明出△EBC

sA£DA.再由CE=DE得2cE2=AE'BE,即可求出CE.

【解答】解：..•四边形ABC。内接于OO,

/.ZD+ZABC=180°.

'：ZCBE+ZABC^ISO°,

二ND=NCBE.

"：NE=NE,

：./\EBC^/\EDA.

•CEBE

"AE"DE"

"：CE=DE,

：.2CE1=AE-BE=(5+3)X3=24.

：.CE=2-/j.

故选：C.

9.如图，点A在反比例函数y=区上，点B在x轴上，连接AB交y轴于点E,将A8沿x

X

轴向右平移至CD,其中C在x轴上，。在y轴上，连接CE,若△COE的面积为3,则

上的值为（）

【分析】过点A作轴于点H,利用△£）后（7的面积推出平行四边形ABCZ）的面积,

从而得到矩形AHOO的面积，利用反比例函数系数大的几何意义求出k的值.

【解答】解：过点A作AHLr轴于点H,

平移至CD,

四边形ABC。是平行四边形，四边形A”。。是矩形，

的面积是3,

S。ABCD=2S&DEC=6,

S矩形AHOD=S。ABCD=6,

；.|川=6,

•.•函数图象过第二象限，

'.k--6.

故选：C.

10.如图，在Rt/ViBC中，NACB=90°,NA=30°,BC=2,。为4c上任一点，F为

AB中点，连接BD,E在8。上，且满足CD2=DE,BD,连接EF,则EF的最小值为（）

【分析】先证明通过△CDEsaBOC说明NBEC=90°,取BC中点Q,则EQ=1BC

2

=1,FQ=1AC=43,再由E、F、Q三点共线时，E尸可以取到«-1,即可得到答案,

2

【解答】解：在△<:£»和△BOC中，

•：C0=DE*BD,

•CDDE

••=,

DBDC

"：ZEDC=ZCDB,

：./^CDE^/\BDC,

：.ZDEC=ZDCB=90°,

：.ZBEC=1S0°-/£>EC=90°,

如图，取BC中点Q,则EQ=』BC=1,

2

:尸为A5中点，

•**FQ=-^AC=

2

当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到、石-1，

最小值为1.

故选:A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.(5分)已知三也=工，则电

a2a2

【分析】根据已知条件得出?+二=工，再代入求出答案即可.

aa2

【解答】解：•.•三也=工，

a2

.,•包+2=工，

aa2

即i+k=Z,

a2

・

・・b-_----7_1i-—----59

a22

故答案为：

2

12.(5分)点A(-A,y\),8(0,”)在抛物线y=-/+x+c上，则yi,”的大小关系

2

是>1<丫2.

【分析】首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断力,

”的大小关系.

【解答】解：•.•抛物线产-/+X+C,

.•.抛物线开口向下，对称轴为直线X=--1一=1,

2X(-1)2

;-A<o<A,

22

故答案为y\<y2-

13.（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》，中记载了一个这样的问题：“今有圆材埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺四寸，间径几何？”意思是：有一

圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB

=14寸（1尺=10寸）.则这根圆形木材的直径是51寸.

【分析】由题意得。E_LA8,由垂径定理可得AQ=3£>=2A8=7寸，设半径OA=OE=

2

r寸，则OD=r-l,在n△049中，根据勾股定理得出方程，解方程即可解决问题.

【解答】解：由题意可知OELAB,

；OE为。0半径，A8=14寸，

:.AD=BD=1AB=I寸，

2

设半径OA=OE=r^,

・；ED=1,

：.OD=r-1,

则Rt^OAO中，根据勾股定理可得：（*1）2+72=凡

解得：r=25,

木材直径为2X25=50（寸）；

故答案为：50.

14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，OA=OB,且408=30°,其中点B在y轴上，

将△AOB绕点0逆时针旋转120°得到△COZ）,连接BD与AC交于点E,与0C交于点

F.

（1）四边形OAEO的形状是菱形；

（2）若8点坐标为（0,-2）,则E尸的长为2-2返

3'

【分析】（1）结论：四边形OAED是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

（2）证明EC=FC,求出OF,可得结论.

【解答】解：（1）结论：四边形OAEC是菱形.

理由：由旋转的性质可知，/AOC=480。=120°,

VZBOC=90°,

AZAOB=ZCOD=30°,

'：OA=OB=OC=OD,

：.ZOAC=ZOCA^ZOBD=ZODB=30°,

：.4AOB=/OBD,ZDOC^ZOCA,

：.OA//BD,OD//AC,

四边形OAED是平行四边形，

'：OA=OD,

四边形OAE£＞是菱形.

(2)过点。作。H_LOC于4.

,:B(0,-2),

：.OB=OD=OC=2,

VZDHO=90a,ZDOH=30°,

：.DH=1-OD^\,

2

；NFOD=NFDO=30°,

；.NDFH=NFOD+NFDO=60°,

：.DF=—地一=当应，

sin6003

：.OF=DF=?>U,

3_

CF=OC-OF=2-型1,

3

'CEF//OA,

：.ZFEC=ZOAC=30°,

:./FEC=NFCE=30°,

：.EF=CF=2-空1.

三、.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）计算：A/12-tan600+J^cos45°.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式计算得出答案.

【解答】解：原式=2«-«+MX返

2

=2遮-F+1

=V^i.

16.（8分）某二次函数的图象的顶点为（2,-2）,且它与），轴交点的纵坐标为2,求这个

函数解析式.

【分析】根据顶点坐标设二次函数的解析式为y=“（x-2）2-2,将（0,2）代入解析

式,求出a即可.

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x-2）2-2,

将（0,2）代入，得4a-2=2,

解得a=l,

二次函数的解析式为丫=（x-2）2-2.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）如图，已知AABC的顶点A、8、C的坐标分别是（-1,-1）、（-4,-3）、（-

4,-1).

（1）作出△ABC绕点。逆时针旋转90°得到的

（2）请写出旋转后的△AIBICI的三个顶点的坐标.

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点Ai、Bi、Ci即可;

（2）利用（1）中所画图形写出△AiBiG的三个顶点的坐标.

【解答】解：（1）如图，为所作；

（2）Ai（1,-1）,Bi（3,-4）,Ci（1,-4）.

18.（8分）如图1所示，为了进一步提升教学效果，某校更换了一批最新的投影仪设备.工

人师傅们在安装投影仪时也有一段小插曲.如图2所示，AB为教室的高，CD为黑板的

宽（点C、。均在AB上）.为了能不遮挡学生看屏幕的视线，投影仪必须安装在点E处,

其中CELAB,且CE=1.2米.由于投影仪质量太大，横轴（CE）不足以支撑它的重量,

于是工人师傅们想用一些铁丝（EF）来加以固定，其中点F在教室的高A8上，工人师

傅在安装时发现当/CE广=30°时，点尸的固定系数较差.通过实践发现，当点尸向上

移至点G处且NCEG=40°时固定系数最好，请求出工人师傅应该将固定点尸向上平移

多远距离可到达点G处（即：求尸G）.（其中sin40°弋0.64,cos40°^0.77,tan40°弋

0.84,73^1.73,最后结果精确到0.1）

【分析】在Rt^FCE和RtZ\CGE中，利用三角函数得出C凡CG,进而解答即可.

【解答】解：在RtZ\FCE中，TtanBO。=史，

CE

.•.CF=CE・tan30°,

在RtZ\CGE中，Vtan400="，

CE

二CG=CE・tan40°,

FG=CG-CF=CE'tan40°-CE*tan30°=CE（tan40°-tan30°）=«1.2X（0.84-1.73

xA）=«0.3（〃?）.

3

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）如图，直线y=ar+6与反比例函数y=K（xVO）的图象相交于点A、点8,与

x轴交于点C,其中点A的坐标为（-1,2）,点B的横坐标为-2.

（1）求出一次函数和反比例函数的关系式；

（2）当x<0时，根据图象写出反比例函数大于一次函数的x的取值范围.

【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解

析式，由点8的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点8的坐标，再根

据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

(2)观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出反比例函数大于一次函数

的x的取值范围.

【解答】解：(1)♦.•点A(-1,2)在反比例函数产K(x<0)的图象上，

X

：.k=-1X2=-2,

...反比例函数解析式为)，=-2.

X

•.•点8在反比例函数y=-2的图象上，且点B的横坐标为-2,

X

・••点B的坐标为(-2,1).

将A(-1,2)、B(-2,1)代入得|一比+已=2,

I-2k+b=l

解得：(k=l,

lb=3

，一次函数的解析式为y=x+3.

(2)观察函数图象可知：反比例函数大于一次函数的x的取值范围为x<-2或-l<x

<0.

20.(10分)如图，AB为。。的直径，C为上一点，连接AC、BC、OC,过点B作BG

LOC交OC于点E,交AC于点F,交。0于点G.

(1)求证：ZCAB=ZCBGi

(2)求证：BC2=AB'CE.

c

G

【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理即可证明NC48=NC8G；

（2）由AB为OO的直径，NACB=NCEB=90°证明出即可得到BC?

=AB/CE.

【解答】（1）证明：如图，连接CG,

*：OCA.BG,

・・.c为BG中点，CG=CB，

：.ZCGB=ZCBG,

・・•史所文寸圆周角为NCA8和NCGB,

：・NCAB=NCGB,

：.ZCAB=ZCBG；

(2)证明：・・・A3为。。的直径，

AZACB=90°,

VZACB=ZCEB=90°,

：・NCAB=NCBE,

:ACEBS/XBCA,

•・•—CE~BC)

BCAB

：.BC2=AB'CE.

六、(本题满分12分)

21.(12分)如图，△4C。和△ABE均为等腰直角三角形，其中4c=40=2,AB=AE=2旄,

ZBAE=ZDAC=90°，点8在CO的延长线上，连接CE.

(1)填空：点A到8c的距离为_血_；

(2)求△A8C的面积；

(3)求tanNCBE.

【分析】(D过点A作AF_LCO于凡根据等腰直角三角形的性质解答即可；

(2)根据勾股定理得出BF,进而利用三角形面积公式解答即可；

(3)根据等腰直角三角形的性质得出AB=AE,AD=AC,利用SAS证明△BA。和△EAC

全等，进而利用全等三角形的性质和三角函数解答即可.

【解答】解：(1)过点A作AFLCZ)于F,

•••△4CO是等腰直角三角形，4c=40=2,

；.AF=

...点A到BC的距离为：

故答案为：、历；

(2)在RtZ\48尸中，

*'AB=2^5'4/=

BF=VAB2-AF2=7（2V5）2-（V2）2=3^2,

•.♦△AOC为等腰直角三角形，AFLCD,

:.CF=DF=AF=M，

:.BC=BF+CF=，M，

•11r-r-

-fBC'AF=yX4^2X72=4-

••SAABC

（3）:△ABE、△AOC为等腰直角三角形，

，NBAE=ND4C=90°,AB=AE,AD=AC,

：.ZBAD+ZDAE=90°,ZDAE+ZCAE=90°,

:.NBAD=NCAE,

在△84。和△E4C中，

，AB=AE

•ZBAD=ZEAC-

AD=AC

:.ABAD丝AEAC（SAS）,

:.BD=CE,NABD=NAEC,

：/l=/2,且/A8O+/l+/BAE=180°,/AEC+/2+/BCE=180°,

：.ZBCE=ZBAE=^°,

,:BD=BC-CD=BC-2CF=2&,

：.CE=242>

；.tanNCEB=豆。.

BC2

七、（本题满分12分）

22.（12分）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，某市政府加大各

部门和各单位的对口扶贫力度.某单位帮扶某村完成一种农产品的销售工作，其成本为

每件10元，销售过程中发现，该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间

存在如图所示的一次函数关系.

（1）请求出y与x之间的函数解析式；

（2）该农产品的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【分析】(1)利用待定系数法求解可得；

(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据“总利润=每件的利润X销售量”可

得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.

【解答】解：(1)设y与x的函数关系式为将(20,100),(25,