2023年长沙市重点高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A.2B.272C.2A/3D.1

2.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

俯视图

4

若a=log23,b-log47,c=0.7,则实数的大小关系为（

A.a>b>cB.c>a>bC.h>a>cc>h>a

4.已知向量1=（百,1）,5=（百,一1）,则］与5的夹角为（）

5.已知函数“X）是R上的偶函数，g（x）是R的奇函数，且g（x）=/（x-l）,则“2019）的值为（）

A.2B.0C.-2D.±2

6.已知函数/G）="sinx-百cosx的图像的一条对称轴为直线％=▼，且八力/（々）=T，则后+x,|的最小值

6

为（）

71乃24

A.-----B.0C.—D.—

333

7.若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2—的焦点，则加=（）

11

A.-B.——C.2D.-2

22

8.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,SO所成的角的余弦值为（）

A1RV2rV3n2

3333

9.等比数列｛4｝的前〃项和为5“，若。〃>0,q>l,/+%=20,a2a6=64,贝!|85=（）

A.48B.36C.42D.31

10.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的

用水量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为（）

A.10B.50C.60D.140

11.已知向量力=（1,机），=（3,-2）,且（M+石）1.5,则"z=（）

A.-8B.-6

C.6D.8

22

12.已知双曲线C：千-*13>0,6>0）的焦点为吊尸2,且c上点p满足两•朋'=0,冏=3,|朋|=4,

则双曲线。的离心率为

A.B.75C.-D.5

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于

第二张卡片上的数的概率为.

14.在区间［-6,2］内任意取一个数毛，则与恰好为非负数的概率是.

15.已知随机变量X服从正态分布N(4,/)，P(X<6)=0.78,则P(X<2)=.

16.函数/(x)满足/(x)=/(x-4),当xe|-2,2)时，/(x)=<2'+"+a，若函数/(x)在［0,2020)

\\-x,a<x<2

上有1515个零点，则实数。的范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，%_L平面PC。,底面A8CO满足AO〃BC,AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=9Q°,E为AO的中点，AC与BE的交点为。.

(1)设〃是线段BE上的动点，证明：三棱锥"-PCD的体积是定值;

(2)求四棱锥尸―ABC。的体积；

(3)求直线8c与平面PBD所成角的余弦值.

18.(12分)等差数列｛%｝中，4=1,4=2%.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)设bn=2%,记Sn为数列也｝前〃项的和，若S,,,=62,求机.

19.(12分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400

元可以抽奖两次，依次类推).抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同

的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次

大(如1,2,5),则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖，奖金

20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

(1)某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；

(2)赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

20.(12分)改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

(I)求“的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

(II)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别

有关；

(in)在(II)的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数x的分布列及期望.

®n(ad-bc)2“一,,

附：K-=-------------------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+cl)

P(K2>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

x=fcosa

21.(12分)在直角坐标系中，曲线G的参数方程为..a为参数，0Ka<〃)，点”(0,—2).

y=-2+，sma

以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为0=4及cos(e+?j.

(1)求曲线G的直角坐标方程，并指出其形状；

(2)曲线G与曲线C，交于A,B两点,若'+」一=姮，求Sina的值.

\MA\\MB\4

22.（10分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和

国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，

为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比

较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光

照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：

（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说

出你的决策方案并说明理由；

（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元庙.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；

若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该

蔬菜每年产出茗次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同

的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；

（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大

棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X,求X的分布列及期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AO,算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为AO=26

D

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

2.C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为G，所以该几何体的体积

V=-xix2x2x—x73=l,故选C.

322

3.A

【解析】

将“化成以4为底的对数，即可判断〃力的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出4c与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得"=log23=log49>b=log47.

又因为c=0.74<0.7°=l=log44<log47=/>,故a>6>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

4.B

【解析】

由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.

【详解】

解：由题意得，设M与日的夹角为。，

八a-b3-1\_

二・COS0-LILI=---

HW2x22

由于向量夹角范围为：owew乃,

：.0=-.

3

故选：B.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.

5.B

【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于g(x)与“》-1)关系，转换成关于“X)的关系式，通过变形求解出“X)的周期,

进而算出〃2019).

【详解】

g(x)为R上的奇函数，，g(0)=/(-1)=0,g(—x)=-g(x)

・••/(-l)=0J(r-l)=-/(I),,-./(-x)=-/(^-2)

而函数是R上的偶函数，=x),.•./(力=一)(%-2)

•・•/(x-2)=-/(x-4),.1./(%)=/(x-4)

故/(x)为周期函数，且周期为4

・•・"2()19)="-1)=0

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.

6.D

【解析】

运用辅助角公式，化简函数/(X)的解析式，由对称轴的方程，求得4的值，得出函数“X)的解析式，集合正弦函数

的最值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(x)=asinx-gcosx=Ja2+3sin(x+J)(夕为辅助角)，

由于函数的对称轴的方程为x=,且/(-7)=7+7，

6622

即E+；="2+3,解得4=1,所以/(x)=2sin(x—H),

223

又由/(X)•/(/)=T，所以函数必须取得最大值和最小值，

57r71

所以可设玉=2k3T---GZ,x=2k27r,kGZ,

6262

2万

所以归+工2|=2攵］乃+2攵2乃+飞-,攵£2,

当K=&=0时，|石+/|的最小值故选D.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函

数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

7.B

【解析】

计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.

【详解】

故根=—'.

y=2/可化为产-y,焦点坐标为

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

8.C

【解析】

试题分析：设AC、3。的交点为。，连接E。，则NAEO为AE,SO所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，

则4争3小0=生，所以cosNA物型螳盛.

zV3.2./1\2/V2、2

(丁。)+(3。)一(丁a)J3

——/---弋,故C为正确答案.

2x(*a).qa)

考点：异面直线所成的角.

9.D

【解析】

试题分析：由于在等比数列｛4｝中，由=64可得：/为=a2a6=64,

又因为出+4=20,

所以有：%，为是方程-—20%+64=0的二实根，又4＞。，q＞l,所以为＜%，

故解得：%=4,%=16,从而公比q=J%=2,%=1；

'2-1

故选D.

考点：等比数列.

10.C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为(0.05+0.01)x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为2x200=60,故选C

11.D

【解析】

由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】

•:a~(l,ni),b=(3,-2),.'.a+b=(4,机-2),又(万+5)

.♦.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=L

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

12.D

【解析】

根据双曲线定义可以直接求出利用勾股定理可以求出c,最后求出离心率.

【详解】

IEF,I

依题意得，2a=\PF\-\PF^i

2|秋|=J|P小|PE『=5,因此该双曲线的离心率e=」；1=5.

|PR-尸耳

【点睛】

本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3

8

【解析】

基本事件总数“=4x4=16,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求

出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率.

【详解】

从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数“=4x4=16,

抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：

(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为p=^=|.

168

故答案为：—

8

【点睛】

本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型.

1

14.-

4

【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出恰好为非负数”的概率.

【详解】

当朝是非负数时，/e[0,2],区间长度是2-0=2,

又因为[-6,2]对应的区间长度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好为非负数”的概率是PW.

o4

故答案为y

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

15.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=N对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P(X<2)=l-P(X<6)=0.22

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

16.--,0

_2」

【解析】

由已知，“X)在［—2,2)上有3个根，分2>a21,0<。<1,-l<cz<0,—2<aWT四种情况讨论/(x)的单调

性、最值即可得到答案.

【详解】

由己知，/(x)的周期为4,且至多在［-2,2)上有4个根，而［0,2020)含505个周期，所以在［-2,2)上有3个

2

根，设8(幻=2/+3*2+。，g(x^6x+6x,易知g(x)在(一1,0)上单调递减，在(7,-1),(1,物)上单调递增,

又g(-2)=。-4<0,g(l)=a+5>0.

若2>。》1时,在(a,2)上无根，/(x)在［-2,a］必有3个根，

。+1>0

即〈八，此时Q£0；

a<0

若0<a<1时,/(x)在(a,2)上有1个根，注意到/(0)=。>0,此时/(x)在［—2,。］不可能有2个根，故不满足;

/、f/(-I)>01

若—1<。40时，要使“X)在［—2,0有2个根，只需匕,，、八，解得二

J(a)W02

若—2<aW—l时，/(x)在［-2,0上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；

综上，实数。的范围为一』4aW0.

2

故答案为：-;,0

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)VPYBCD=2及(3)当

【解析】

(1)因为底面A8C。为梯形，且BC=ED,所以四边形8CDE为平行四边形，则8E〃CZ),

又BEa平面PCD,CDu平面PCD,所以BE||平面PCD,

又因为“为线段3E上的动点，△PCD的面积是定值，从而三棱锥”-P8的体积是定值.

(2)因为平面PCO,所以Q4_LCD,结合BE〃CD,所以AP_L5E,

又因为AB_L3C,AB=BC^-AD,且E为40的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以跖J_AC,结合

2

APr>AC=A,则BE1平面APC,连接尸。，则

因为PAL平面PCD,所以抬_LPC,

因为AC=Ji48=a4尸，所以ABAC是等腰直角三角形，0为斜边AC上的中点，

所以尸OJ_AC,且ACIBE=O,所以PO上平面ABCD,所以尸。是四棱锥P—ABCD的高，

又因为梯形A3。的面积为L(8C+A£>)XAB='X(2+4)X2=6,

22

在RtAAPC中，尸。=6，所以梯祢Bc/P0=gx6x夜=2拉・

(3)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-肛z,如图所示，

贝!IB,0,0）,C（0,啦，0）,。（-2y/2，应，0），尸（0,0,夜）,

则SC=（-72,&,0）,而=（&0,-点），两=（-2&,72,-72）,

n-PB=0[Ou—41w=0[u=w

设平面RBZ）的法向量为〃=（",%卬），贝l"_，即｛，则｛

v=3w

n-PD=0-2V2M+V2V-V2W=0l

令w=l,得到〃=(1,3,1),

设3。与平面尸3。所成的角为。，则sina=|cos(元用|=|兰'抨二|=庠,

所以cosa=Jl-sin2a=上"1,

11

所以直线叱与平面的所成角的余弦值为答.

18.(1)an=n(2),77=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差〃后可得通项公式;

(2)由等差数列前〃项和公式求得S“，可求得加.

【详解】

解：(1)设｛q｝的公差为d,由题设得

an=1+(〃-1)J

因为4=24，

所以l+(6_l)d=2[l+(3_l)d]

解得d=l,

故见=〃.

(2)由(1)得d=2".

所以数列｛2｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以s“==2"T—2,

"1-2

由S,“=62得2"用一2=62,

解得m=5.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前〃项和公式，解题方法是基本量法.

5049

19.(1)分布见解析，期望为二；(2)

3216

【解析】

(I)先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.

【详解】

(1)由题意知，随机变量X的可能取值为10,20,40

C31c31

且P(X=40)='=z，P(X=20)=X=z，

/leO/LO

2

所以P(X=10)=l-P(X=40)—P(X=20)=—，

3

即随机变量X的概率分布为

X102040

211

rp

366

所以随机变量X的数学期望£(X)=10X2+20X'+40X2=^.

3663

(2)由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A,

因为60=20x3=40+10+10,

所以P⑷电十4|)2♦条

【点睛】

本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考

查数学建模的核心素养.

2

20.(I)a=0.016.0.2(II)见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关(皿)见解析，y

【解析】

(I)直接根据频率和为1计算得到答案.

(II)完善列联表，计算6=9>7.879，对比临界值表得到答案.

(m)X的取值为。,1,2,,计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.

【详解】

(I)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=0.16+0.04=0.2.

(ED

安全意识安全意识合

强不强计

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

计

2(16x46—4x34)2x100一。“

K-=-----------------------------=9n>7.879，

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关

cm)x的取值为i,2,

尸2。)噬嘿尸(X=l)=管啜尸-2)啜喉

所以X的分布列为

X012

12323

P

199595

4403~、八3262

期望E(X)=—+—=-.

95955

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21.(1)(x-2)2+(y+2)2=8,以(2,—2)为圆心，2及为半径的圆；⑵sina=—

4

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状;

(2)联立直线参数方程与C,的直角坐标方程，根据直线参数方程中/的几何意义结合—L—+—^=业求解出

\MA\\MB\4

sincr的值.

【详解】

解：(1)由。=4/cos16+(),得。=4cos6-4sin。，所以"=4pcos。一4Psind,

即f+y?=4x—4y,(x-2)2+(y+2)2=8.

所以曲线G是以Q,-2)为圆心，2a为半径的圆.

x=Zcosac.

(2)将〈..代入(x—2)2+(y+2)2=8,

y=-2+tsina

整理得八一4.cosa-4=0.

设点A，'所对应的参数分别为乙，t29

则八+12=4cosa,印2=一4.

11|M4|+|M8|同+/2|_『T2|_-4v2_Jl6cos2a+16_VF7,

|MA|\MB\一|MA||MB\一|心|-4-4-4-~4~'

解得cos2<z=!，则sina=Jl-cos2a=Y^5.

164

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根