2023年江苏省常州市常州高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在K上的偶函数/(x)满足+=一力，当时，/(x)=—x+1,函数g(x)=/T

(-l<x<3),则函数/(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

A.2B.4C.5D.6

2.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100h〃/儿现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的车辆数和行驶速度超过904”?〃

的频率分别为()

频率

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

3.已知集合知={(X,月］》+丁<4在、yeN*},则集合M的非空子集个数是()

A.2B.3C.7D.8

4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下

图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方

5.已知双曲线C：「一与=1(a>0,/>>0)的焦距为8,一条渐近线方程为y=&,则。为()

ah

2222

A.工-汇=1B.工-二=1

412124

22?2

C.工-二=1D.£-匕=1

16484816

JT3

6.在直角AABC中，ZC=y,AB=4,AC=2,若AD=；AB,则丽.而=()

A.-18B.-6y/3C.18D.60

7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”*礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，贝11“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

8.已知复数z=l-i,I为z的共枕复数，贝()

z

3+i1+il-3z1+3/

A.——B.——C.----D.----

2222

9.设函数/(x)=ln(x-l)的定义域为。，命题人VxeD,的否定是()

A.VxeO,/(x)>xB.3xoeD,/(JQ))<X0

C.X/x^D,/(x)>xD.3x0eZ),/(x0)>x0

10.已知向量&=(-1,2),5=(x,x-l),若(5—2&)//@,贝"=()

12

A.-B.-C.1D.3

33

11.如图，在平行四边形ABCO中，对角线AC与8。交于点。，且通=2的，则历=()

D

C

1一2—2—1—

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

2—1—1——2—

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

12.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形ABC的斜边BC、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为,，记NA8C=e,则

4

cos2a+sin2a=（）

8

D.-

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y<x

13.若实数羽)'满足约束条件x+yN4,设z=3x-2)，的最大值与最小值分别为"&,贝ij_=.

-〃

x<3

14.记等差数列｛%｝和也｝的前〃项和分别为S“和7；,若m=*万，则/•=.

15.已知A(—4,0),P(a,a+4),圆(Lf+yZ：*直线尸加，PN分别与圆O相切，切点为M,N,若标=丽,

典IIARI的最小值为.

16.AB,。三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,

现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在8学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数/(x)=lnx-o(4—l).

(1)若函数y=/(x)在(1，依)是单调递减的函数，求实数。的取值范围；

(2)若拉>m>0,证明：2+ln〃<2j4+ln〃？.

Vm

M

18.(12分)已知(x+1)"=%+%(x—1)+%(工一I)?+。3(工―I)，■1--F6Zrt(x-1)9(其中/zeN*)

Sn=4+见+/+•,•+a”.

⑴求S"；

⑵求证：当时，S”>(〃-2)2"+2〃2.

19.(12分)已知数列｛4｝满足％=2,a,用=2a,+2"(〃eN*),其前〃项和为S”.

(1)通过计算/，/，玄，猜想并证明数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足仇=1,加=』；a(〃eN*),c“=S/2—，］(〃wN*),若数列匕｝是单调递减数列，

求常数f的取值范围.

20.(12分)在直角坐标系X0y中，直线/的参数方程为「，.a为参数，0(a<»).在以。为极点，X轴

y=l+fsma

正半轴为极轴的极坐标中，曲线C：Q=4cos6.

7t

(1)当。=一时，求C与/的交点的极坐标；

4

(2)直线/与曲线。交于A,B两点,线段A8中点为求的值.

21.(12分)已知数列｛。”｝和也｝满足：/=2,々=一1,a„=2a„_x-b„_x,b“=2b,neN*,n>2.

(1)求证:数列｛4-4｝为等比数列;

3"

(2)求数列-----卜的前八项和S”.

22.(10分)已知/(另二炉+加一。2工+2.

(1)若a#0,求函数/(x)的单调区间：

(2)若不等式2》111》《/'(》)+。2+1恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由函数的性质可得：/(力的图像关于直线x=l对称且关于)'轴对称，函数g(x)=e*"(-l<x<3)的图像也关

于x=l对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，则“X)与g(x)的图像所有

交点的横坐标之和为4得解.

【详解】

由偶函数“X)满足/(l+x)=/(l-力，

可得/(x)的图像关于直线x=1对称且关于轴对称，

函数g(x)=/T(-1<A;<3)的图像也关于x=l对称，

-1：

函数y=/(x)的图像与函数g(x)=e*"(-l<x<3)的图像的位置关系如图所示，

可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，

则/(%)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

2.B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过9(%〃///的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率为0.06x5=0.3,

...在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90切?/〃的频率为：(0.05+0.02)x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.C

【解析】

先确定集合M中元素，可得非空子集个数.

【详解】

由题意“={(1,1),(1,2),(2,1)},共3个元素，其子集个数为2^=8,非空子集有7个.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有〃个元素的集合其子集个数为2"，非空子集有2"-1个.

4.D

【解析】

由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.

【详解】

由题,窗花的面积为122-4xl=140,其中小正方形的面积为5x4=20,

„.er-_ix0140—206

所以所求概率P=———=

故选:D

【点睛】

本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.

5.A

【解析】

由题意求得C与2的值，结合隐含条件列式求得/,加，则答案可求.

a

【详解】

由题意，2c=8,则c=4,

又2=百，且。2+52=,2,

a

解得。2=4,分2=12.

22

双曲线C的方程为二—匕=1.

412

故选：4

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.

6.C

【解析】

在直角三角形ABC中，求得cosNC46="=上，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量

AB2

积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值.

【详解】

冗

在直角AABC中，NC=—,AB=4,AC=2,,

2

…八AC1

cosNCAB==—，

AB2

__3__

若A5=1A耳，则①•而=（而一女）.（阳一记=南•福一而•而一前•通+/2

3—23—————2351

^-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题.

7.C

【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有国=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，贝!1“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有厝=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A；=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8.C

【解析】

求出I，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

1+z2-il-3z

1+z-2'

故选：C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共朝复数，属于基础题.

9.D

【解析】

根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】

因为P：Vxe£>,,/■(%)«x是全称命题，

所以其否定是特称命题，即mroe。，/(毛)〉毛.

故选：D

【点睛】

本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10.A

【解析】

利用平面向量平行的坐标条件得到参数X的值.

【详解】

由题意得，b—2a=（2+x,x—5）,

・.,（5-2@//力，

2（2+x）+x—5=0,

解得X=；.

故选A.

【点睛】

本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.

11.C

【解析】

画出图形，以丽,而为基底将向量前进行分解后可得结果.

【详解】

画出图形，如下图.

选取血，而为基底，则无后=［不5=；痣=!（4方+4方），

/.ED=AD-AE=Ab--（AB+Ab}=-AD--AB.

3、>33

故选C.

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会

给解题带来方便.

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

12.D

【解析】

ATi

根据以直角边AC、45为直径的半圆的面积之比求得一=一，即tana的值，由此求得sina和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

1AC11.12

由于直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为一，所以一=一，即tana=一,所以sina=-^,cosa=一至，

4AB22J5J5

~,4cl28

所以cos-a+sin2a=m+2xx-j==-.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

2

【解析】

画出可行域，平移基准直线3x-2y=0到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得‘的比值.

n

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，当直线z=3x-2y过点（3,1）时，z取得最大值7；过点（2,2）时，z取得最小值

2,所以二：.

n2

【点睛】

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画

出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行

域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

11

14.—

5

【解析】

13（q+%3）

结合等差数列的前“项和公式，可得?=粤==工，求解即可.

力713bl13佃+%）几

【详解】

_Eq+%)13佃+九)

由题意,SG

2=13%,"='；"='3",

S3〃+5%13Q73x13+511

因为h=-7,所以U==亶r=£♦

Tn〃+7b113b7T[313+75

故答案为:，.

【点睛】

本题考查了等差数列的前〃项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

15.2夜

【解析】

由证=而可知R为中点，设「（毛,为）,加（不,），"（工2，%），由过切点的切线方程即可求得

PM:X[X+y]y=x：+y；=4,pN:3+y2y=4,2小,%）代入玉/+YX）=4,工2%+y2yo=4,则

〃（石,凶），MW，%）在直线内+»0=4上，即可得MV方程为书）+必=4,将玉）=。，%=。+4,代入化简

可得a（x+y）+4y—4=0,

则直线MN过定点Q（-1,1）,由OR_LMN则点R在以OQ为直径的圆T：[+；）+（丁一；）=g上，则

14穴1,桢=47一L即可求得・

【详解】

如图，由法=而可知R为MN的中点，所以OR上MN,PR1MN,

设尸（如%），'（孙％），则切线PM的方程为y-x

即PM:X]X+yy=x：+y；=4,同理可得PN:x2x+y2y=4,

因为PM,PN都过「（毛,治），所以x/o+XX）=4,々/+%为=4,

所以"（马,％）在直线町）+»。=4上，

从而直线MN方程为xxQ+yy0=4,

因为内)=〃，%=〃+4,所以ar+(a+4)y=4=>a(x+y)+4y_4=0,

即直线MN方程为a(x+y)+4y-4=0,

所以直线MN过定点Q(-1,1),

(1V(1v1

所以R在以OQ为直径的圆T：x+七+y-l=1±,

\2)\2)2

所以|AR|n“n=AT—r=^—¥=2VL

故答案为：2庭.

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线方程，定点和圆上动点距离的最值问题，考查学生的数形结合能力和计算能

力，难度较难.

16.100

【解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.

【详解】

X

设抽取的样本容量为X,由已知，30=240X------------,解得X=1OO.

160+240+400

故答案为：100

【点睛】

本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a>2(2)证明见解析

【解析】

⑴求出导函数/‘(X),由r(x)wo在。,+8)上恒成立，采用分离参数法求解;

(2)观察函数/(X),不等式凑配后知，利用。=2时可证结论.

【详解】

(1)因为y=/(x)在(1,”)上单调递减，

[2

所以/'(x)=7-即。之五在上恒成立

22

因为〉=下在（1，包）上是单调递减的，所以一尸€（0,2）,所以

7x

n

（2）因为〃,相>0,所以一>1

m

由（1）知，当。=2时，丁=/（力在（1,内）上单调递减

所以小卜一⑴

区-]<0

即In2-2

mm)

所以2+ln〃<+Inm.

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数

的特例得出不等式的证明.

18.(1)3〃一2"(2)见解析

【解析】

(1)取％=1,则％=2"；取％=2,则4+4+4+/■*---卜。〃=3",

Sn=a1+%+/+•,•+=3〃-2"•

22

⑵要证sn>(n-2)2"+2n,只需证3">(〃-1)2"+2n,

当“=4时，81>80；

假设当〃=伙％24)时，结论成立，即3'>伏一1)2"+2/，

两边同乘以3得：>3[(A:-1)2A+2k2~\=k2k+'+2(k+1)2+[(Z:-3)2k+4k2-4k-2]

而(氏一3)2"+4/一4%—2=/-3)2*+4伏2-%-2)+6=伏-3)2"+4伏一2)(左+1)+6>0

>((k+1)-1)2A+I+2(%+1,,即〃=%+1时结论也成立，

...当4时，3">5-1)2"+2〃2成立.

综上原不等式获证.

19.(1)a“=(〃+l)-2"T,证明见解析；(2)

【解析】

(1)首先利用赋值法求出去墨墨的值，进一步利用定义求出数列的通项公式;首先利用叠乘法求出数列的通

项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数r的范围.

【详解】

(D数列｛凡｝满足4=2,=2q+2"(〃eN*),其前〃项和为S,,.

2

所以4=2〃]+2=6,a3=2a2+2=16,

则4=2,a=3,冬=4,

2°222

所以猜想得：a„=(n+\).2"-'.

证明:由于a“+i=2凡+2",

所以4彳=&+2，

2'用2"2

则：爵啖弓(常数)，

所以数列｛会｝是首项为1，公差为;的等差数列.

所以祟=l+；("-l)=g+]，整理得勺=(〃+1)・2"0

(2)数列｛/｝满足4=1,%=£b“(〃eTV*),

n+2

所以墨二n

〃+2

b,b2_n-in-22\_

则

加*…4〃+l〃43

所以"=高.贝a=〃&'(高7'

7?4?

所以C.一C“=2"+l(---r)-2"(---0=2-(---2t---+r),

n+2n+1及+2n+i

Ao422/72

所以...——t---------<0,整理得〃+2几+1/?+3〃+22

〃+2n+1〃+%

2211

由于〃+*+3..6,所以3/3,即

n〃+—+33

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的

应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型.

20.(1)(0,0),；(2)2及

【解析】

TT

(1)依题意可知，直线/的极坐标方程为。=一(2GR),再对「分三种情况考虑;

4

(2)利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.

【详解】

1T

(1)依题意可知，直线/的极坐标方程为。=—(peR),

4

当n>o时，联立解得交点口血,?],

p=4cosa

当0=0时，经检验(0,0)满足两方程，(易漏解之处忽略夕=0的情况)

当「<0时，无交点；

综上，曲线C与直线/的点极坐标为(0,0),I?”

(2)把直线/的参数方程代入曲线C,得»+2(sina-cosa)f-2=0,

可知G+q=0，A12=-2，

所以|AB|=1।一胃=-4格=2血.

【点睛】

本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、

分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

12

21.(1)见解析(2)

【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到45^=3，由此证得数列为等比数列.

4-1一""-I

(2)由(1)求