2023年忻州市高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数y=sin（3x+0）的图象沿x轴向左平移g个单位长度后，得到函数/（x）的图象，贝！|“e=，，是"/（x）是

偶函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

Q

A.PA,PB,PC两两垂直B.三棱锥P-A8C的体积为§

C.\PA\=\PB\=\PC\=yf6D.三棱锥P-A8C的侧面积为3石

22

3.过双曲线0一与=13>0,。>0）的左焦点/作直线交双曲线的两天渐近线于两点，若3为线段必的中

a'b~

点，且（。为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

A.V2B.百C.2D.6

22

4.若双曲线。：二一二=1的焦距为4石，则。的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

4m2

A.2B.4C.V19D.2M

5.马林・梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费

马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如

（其中P是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）

S=2»-l

「否

菊

6.已知直四棱柱ABC。-ABC。的所有棱长相等，NABC=60°,则直线BQ与平面ACQ4所成角的正切值等

于（）

710

~1~

7.已知复数z满足z•严2。=1+产19（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（

8,若函数/（x）=e'的图象上两点M,N关于直线y=x的对称点在g（x）=，a-2的图象上，则。的取值范围是

B.(-00,e)D.(O,e)

9.在ZVLBC中，角AB。所对的边分别为a,4c,已知4〃以）585111。=，品，则3=（）

兀—54_71c冗>兀-4

A.一或一B.-C.—D.一或一

664363

10.已知集合M={x[T<x<2},N={X|X2-%-6<0},则McN=

A.{x|-4<x<3}B.[x\-4<x<-2jC.{x\-2<x<2}D.{x|2<x<3}

11.已知双曲线C:，-1=l（a>0/>0）,。为坐标原点，£、网为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F2G1OG,

且遥IOGRG6I，则该双曲线的渐近线方程为（

也B.y=±与

C.y=±xD.y=土Ox

2

12.已知双曲线C:4-E=l(a>0)的一个焦点与抛物线f=8y的焦点重合，则双曲线C的离心率为()

a3

A.2B.6C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图梯形A5CD为直角梯形，AB±AD,CDLAD,图中阴影部分为曲线y=f与直线%=%+2围成的平面图形,

向直角梯形ABCD内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是

14.已知/(x)=x|x|,则满足了(2xT)+/(x)N0的x的取值范围为.

15.已知x〉0,y>0,x+3y=5到，则x+2y的最小值是

16.过圆f+丁+2尤-4y=0的圆心且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)«3x的解集：

⑵若/(x)2-x-11对任意xeR恒成立，求k的取值范围.

18.(12分)唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7

大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的

篇数，得到下表：

爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计

篇数100645599917318500

含，，山，，字的

5148216948304271

篇数

含“帘”字的

2120073538

篇数

含，，花，，字的

606141732283160

篇数

(1)根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类

别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

(2)已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，贝!某字”为“某类别”的关键字；

②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的长2的观测值越大，排名就越靠前；

设“山”“帘”“花,，和“爱情婚姻,，对应的K2观测值分别为％,及2，%•已知K"0”16,%"31.962,请完成下面列联

表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.

属于“爱情婚姻''类不属于“爱情婚姻”类总计

含“花”字的篇数

不含“花”的篇数

总计

crl\CLCL—f/CJ

附：K-=-------------------------,其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k]0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

19.(12分)设S,为等差数列｛%｝的前〃项和，且4=5,S6+S5=2S4+35.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若满足不等式丸.(0)”+(-1)13<0的正整数〃恰有3个，求正实数2的取值范围.

20.(12分)已知函数=+

(I)当。=2时，解不等式f(x)N4.

(II)若不等式/(x)22。恒成立，求实数”的取值范围

21.(12分)如图，在三棱柱ABC—AUG中，ACLBC,AB±BB,,AC=8C=8片，。为AB的中点，且COJ.必.

AA\

;CG

Bi

(1)求证：平面ABC；

(2)求锐二面角c—DA-G的余弦值・

22.(10分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。中，A/WO为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角

ZBCD=120°,PCLBD,平面尸8。平面ABC。，"为必中点.

(1)求证：DM//平面PBC；

(2)若PDLPB,求二面角C—Q4—8的余弦值大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

求出函数y=/(x)的解析式，由函数y=/(x)为偶函数得出9的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断

即可.

【详解】

将函数,y=sin(3x+p)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为

■/、■(兀、

/(x)=sin3xd•—\+(p=sin3xd---\-(p,

若函数y=/(x)为偶函数，则1+8=而+[(攵GZ),解得e=Z%+2(keZ),

326

TT

当Z=o时，(p=z

6

因此，“夕=$”是“y=f(x)是偶函数”的充分不必要条件.

6

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数,

考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.

2.C

【解析】

根据三视图，可得三棱锥P-48c的直观图，然后再计算可得.

【详解】

解：根据三视图，可得三棱锥P-A8C的直观图如图所示，

其中。为AB的中点，PZ)，底面ABC.

114

所以三棱锥尸-ABC的体积为一x-x2x2x2=一，

323

.-.|AC|=|BC|=|PZ)|=2,|AB|=yj\ACf+\BCf=2V2,.♦.|OA|=|O8|=|DC|=0,

/.IPA|=|PB|=|PC|=«+(可=6

-,-\PAf+\PBf^\ABf,.-.PA,PB不可能垂直，

即PA,PB,PC不可能两两垂直，

S2?

SPBA=2V2X2=2V2,SAPBC=SAPAC=IX^(V6)-lx2=V5.

.•・三棱锥P-ABC的侧面积为2小+2也.

故正确的为C.

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.

3.C

【解析】

b

由题意可得双曲线的渐近线的方程为y^±-x.

a

•••3为线段E4的中点，03,“4

OA=OF=c,则AA0F为等腰三角形.

二/BOF=ZB0A

由双曲线的的渐近线的性质可得ZBOF=ZxOA

:.ZBOF=/BOA=ZJCOA=60°

.,.-=tan60°=V3,即/=3片.

a

二双曲线的离心率为e=£==网=2

aaa

故选C.

点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角

形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出区。，代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。，4c的齐次式，转化为a，c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不

等式），即可得e（e的取值范围）.

4.B

【解析】

根据焦距即可求得参数”，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

22

因为双曲线C:土-与=1的焦距为4后，

4nr

故可得4+根2=修近），解得〃7?=16,不妨取m=4；

又焦点网2技0）,其中一条渐近线为y=-2x,

由点到直线的距离公式即可求的d=E画=4-

小

故选：B.

【点睛】

本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

5.C

【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.

【详解】

解：模拟程序的运行，可得：

p=l,

s=l,输出S的值为1,

满足条件底7,执行循环体，p=3,S=7,输出S的值为7,

满足条件PW7,执行循环体，p=5,5=31,输出S的值为31,

满足条件PW7,执行循环体，p=7,S=127,输出S的值为127,

满足条件PW7,执行循环体，p=9,S=51L输出S的值为511,

此时，不满足条件底7,退出循环，结束，

故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图，属于基础题.

6.D

【解析】

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AO所在直线为）'轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.求解平面ACG4的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱A8CO-AfC。，NABC=60°，取8C中点E,

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AO所在直线为）’轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

设AB=2,则4(0,0,0),4(0,0,2),B(收-10),C(V3,l,0),C,(6,1,2),

BCx=(0,2,2),AC=(6,1,0),瓯=(0,0,2).

设平面ACC14的法向量为百=(X,y,Z),

n-AC=>/3x+j=0,

则〈一取x=l,

n-AA,=2z=0,

得〃=(1，一石，0).

设直线BC、与平面ACC.A,所成角为。,

故选：D

【点睛】

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

7.A

【解析】

由虚数单位i的运算性质可得z=l-i,则答案可求.

【详解】

解：:Z4=1,

--2020-4x5051-2019产504+3

••I=I=1>I

贝！Iz•严2°=1+产19化为z=一，

...Z的虚部为一1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.

8.D

【解析】

由题可知，可转化为曲线g(x)=ox-2与y=lnx有两个公共点，可转化为方程5-2=Inx有两解，构造函数

〃(x)=2±l吧，利用导数研究函数单调性，分析即得解

x

【详解】

函数/(x)="的图象上两点N关于直线y=x的对称点在y=lnx上，

即曲线g(x)=/ix-2与y=lnx有两个公共点，

即方程以-2=lnx有两解，

r2+lnx-f

即13。=-------有两解，

X

A,/、2+lnx

令h(x)=-------,

则当0<尤<，时，hf(x)>0；当工〉,时，/iz(x)<0,

ee

故尤=：时必幻取得极大值力也即为最大值，

当x-0时，h(x)-»-oo；当xf+oo时，//(%)-0,

所以()<a<e满足条件.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

9.D

【解析】

根据正弦定理得到4sin8cos8sinC=百sinC，化简得到答案.

【详解】

由4bcos8sinC=Cc，得4sinBcosBsinC=V5sinC，

.••sin28=^,•••2B=g或?，=f或g.

23363

故选：D

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

10.C

【解析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】

由题意得，M=|x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},贝！）

McN={H-2cx<2}.故选C.

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

11.D

【解析】

根据与GLOG,先确定出GE，G。的长度，然后利用双曲线定义将卡|OGHG£|转化为a,6,c的关系式，化简

后可得到2的值，即可求渐近线方程.

a

【详解】

be

因为月^LOG,所以|G周=］四十="|OG|=J?二P"=a,

又因为6|OG|=|G耳I，所以指可=口同，所以振叵可=|百^+石同，

所以诟『=+钛所以2耳),

6||GF21，6a2=b+4c?+2/?x2cxcos(18()o-NGK

所以6片=h2+4c2+2Z?x2cx所以。2=2〃,2=&,

a

所以渐近线方程为y=±JIr.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.

12.A

【解析】

根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得/+3=4,解

可得。=1,由离心率公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，抛物线f=8y的焦点为(0,2),

22

则双曲线与—二=1的焦点也为(0,2),即c=2,

a13

则有/+3=4,解可得。=1,

双曲线的离心率0=£=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.一

5

【解析】

联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出S.BCD，最后根

据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】

y=x2fx=2fx=—1

解：联立)解得“或，，即3(2,4),C(-l,l),0),A(2,0),

y=x+2[y=41y=l

22]2139]]5

**•S阴影=J[(x+2)—xx+2x——x|^=—,SAHCD=(l+4)x3x—=—

—i

9

2

3

故答案为：-

【点睛】

本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.

1、

14.[§,+℃)

【解析】

将/(x)写成分段函数形式，分析得/(x)为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

gg*fX2,X>0

根据题意，f(x)=x\x\=<2，

~x~,x<0

则/(X)为奇函数且在R上为增函数，

贝！17(2*T)+f(x)>0=J/(2x-1)>-f(x)>f(-x)=2x-1>-x,

解可得应即x的取值范围为J,+oo);

33

故答案为：+8).

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析/(X)的奇偶性与单调性.

15,

5

【解析】

1\(13、

因为x+2y==-+-(x+2y),展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.

5yx)

【详解】

由x+3y=5孙，得一+—=5,

y%

所以x+2y=,(L+3](x+2y)='(5+'+"]z』(5+2g.竺)=亥+1,

当且仅当x=Cy,取等号.

51yx)51yxJ5\yx5

故答案为：或+1

5

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.

16.3x一2y+7=0

【解析】

根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.

【详解】

J+丁+2x—4y=0圆心为(-1,2),

所求直线与直线2x+3y=0垂直,

设为3x-2y+C=0,圆心(—1,2)代入，可得。=7,

所以所求的直线方程为3x-2y+7=0.

故答案为：3x-2y+7=0.

【点睛】

本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)[2,-H»).(2)(-00,2].

【解析】

(1)通过讨论x的范围，分为x>4,x<-2,—2WxW4三种情形，分别求出不等式的解集即可；

33

(2)通过分离参数思想问题转化为人41+=：+1-——,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到人的范围.

x-lx-\

【详解】

(1)当x>4时，原不等式等价于x+2+x—4W3x,解得戈》—2,所以x>4,

2

当x<—2时，原不等式等价于一x—2—x+4W3x,解得所以此时不等式无解,

当一2WxW4时，原不等式等价于x+2-x+4W3x,解得xN2,所以2WxW4

综上所述，不等式解集为[2,+8).

(2)由/(x)>^|x-l|,得|x+2]+|x—4|2左,_1|,

当x=l时，620恒成立，所以女GR；

|x+2|+|x-4|_|x-l+3|+|x-l-3|

当XH1时,

II—一FT

3、

因为1+--=2

x-1+Tx-\)

当且仅当(l+w/w)

NO即xN4或xW-2时,等号成立,

所以左<2；

综上人的取值范围是(—00,2].

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.

18.(1)该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为

694

—；属于“其他”类别的概率约为一(2)填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”,

271271

【解析】

(1)根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；

(2)根据统计图表完成列联表，算出K?观测值，查表判断.

【详解】

(1)由上表可知，

该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小

属于“山水田园”类别的概率约为上69乙；属于“其他”类别的概率约为4一；

271271

(2)列联表如下:

属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类共计

含“花”的篇数60100160

不含“花”的篇数40300340

共计100400500

500X140002

计算得:»45.037;

100x400x340x160

因为％2,网＞3.841,k,＜3.841,所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”

是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；

又因为网＞%,故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.

【点睛】

本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与

计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.

19.(1)an=2n+l；(2)[4,5).

【解析】

(1)设等差数列｛a,,｝的公差为4,根据题意得出关于为和△的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通

项公式可得出数列｛《,｝的通项公式；

(-1)"+

(2)求出S“，可得出彳＜,可知当〃为奇数时不等式不成立，只考虑〃为偶数的情况，利用数列单

调性的定义判断数列也“｝中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数％的取值范围.

【详解】

(1)设等差数列｛”“｝的公差为”,

&=%+d=5

q+d=5

,6x5.「5x4,JA4x3八整理得

6q+-2-4+5q+-葭d=214〃14——d1+353q+13d=35

解得q=3,d=2,因此，=q+(〃—l)d=3+2(〃-1)=2〃+1；

+a“)〃(3+2〃+l)

⑵="+2〃，

22

(一1)”・〃(〃+2)

满足不等式X•(0)”+(-1广,S„<0的正整数”恰有3个,得(可

由于九>0,若〃为奇数，则不等式4<不可能成立.

(-1)〃・〃・(〃+2)

只考虑〃为偶数的情况，令2

2k(2k+2)_k(k+l)(左+1)依+2)

则%1b2k+2

2k2*-22k~'

(&+1)(2+2)2&伏+1)_(>+1)(2-1)

；・b^k+2-b2k

当左=1时，b4-b2>0,则打<%;

当Z=2时，b6-b4=0,则%=4；

当Z23时，b2k+2-b2k<0,则%>〃>4o>….

所以，b2<b4=b6>bs>bw>---,

又勿=4,仇=4=6,々=5,b

lQ4

因此，实数2的取值范围是［4,5).

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

一、1-7；(II)(-8,；.

20.(I)----，SJCxN—>

22

【解析】

试题分析：⑴根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；(2)根据绝对值不等式的性质得/(力耳。-1|,因此将问

题转化为|。一1|22。恒成立，借此不等式即可.

试题解析:

/、x<1|l<x<2x>2

⑴由…得,心"或11.4或《

[2x-3>4

i、7

解得：x<—,或x2—

22

17

所以原不等式的解集为G，^x>~\.

22

(H)由不等式的性质得：/(x)>|a-l|,

要使不等式/(x)22a恒成立，贝!],一1,2a

当a40时，不等式恒成立；

当[>()时，解不等式|。一1122a得0<a《g.

综上a4-.

3

所以实数a的取值范围为卜吗.

21.(1)证明见解析；(2)叵.

5

【解析】

(1)证明CDLAB后可得平面从而得星，结合已知得线面垂直;

(2)以C为坐标原点，以C8为％轴，CG为>轴，C4为z建立空间直角坐标系，设CG=2,写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为AC=BC,D为BC中点,

所以又ABO^D^D,

所以CD,平面A44B,又881U平面

所以g8,又ABHCD=D,

所以耳8,平面ABC.

(2)由已知及(1)可知C8,CG，C4两两垂直，所以以C为坐标原点，以CB为x轴，eg为)，轴，C4为z建

立空间直角坐标系，设CG=2,则

C（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,0,2）,C,（0,2,0）,A（0,2,2）,0（1,0,1）.

设平面。C4的法向量1=(4y”zj,则

X-cD=oM+马=0一,、

即《[2%+24=。'令Zi则&=（L1T）；

-CAt=0

设平面0G4的法向量后=(%,%，Z2)，则

%•G。=o-2y+z=0—/、

即《K=022，令=，则〃2=（2/，。），

%・C]A=o

_勺•〃2_3_VL5

所以cos（〃|,%

|&|同百x6