2023年浙江省杭州市余杭高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（9+的展开式中/的系数是40,则实数机=（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.若x,y满足约束条件<x+y42,,则z=4x+y的取值范围为（）

x+l>0,

A.[-5,-1]B.[-5,5]C.[-1,5]D.[-7,3]

3.设全集凡集合M={x|x<l},N={x|x>2},则（漕全）cN=（）

A.{x|x>2}B.{x|x>l}C.{x[l<x<2}D.{x|x>2}

4.已知公差不为0的等差数列{4}的前〃项的和为S“，q=2,且%%，为成等比数列，则Sg=（）

A.56B.72C.88D.40

5.已知偶函数/（x）在区间（—8,0]内单调递减，a=/（log近百），b^f\sin

,贝！I。，b,

c满足（

A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.c<b<a

v2

6.若双曲线鼻一二=l（a>0]>0）的渐近线与圆（x—2）+V=i相切，则双曲线的离心率为（）

ab

2y/3

D.73

亍

7.一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有"地，依次记为4，A?,…A”（4为A地，A”为B地）.从4地出

发时，装上发往后面1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各

地的邮件各1件，记该邮车到达4，a,…A,各地装卸完毕后剩余的邮件数记为处(％=1,2,-,/?).则为的表达式为

().

A.k(n-k+\)B.k(n-k-l)C.n(n-k)D.-k)

Inx

8.已知函数/(x)=—j-d+2ex-a(其中e为自然对数的底数)有两个零点，则实数。的取值范围是()

x>0

9.已知。，b,ceR,a>b>c,a+b+c^O.若实数x,y满足不等式组<x+y<4,则目标函数z=2x+y

bx+ay+c>0

()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，有最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

10.已知四棱锥S-ABCD的底面为矩形，SA_L底面ABCD,点E在线段3c上，以AD为直径的圆过点E.若

SA=6AB=3，则MED的面积的最小值为()

97

A.9B.7D.

22

/、z.

11.已知复数Z1=l+ai(aeR),z2=l+2i(i为虚数单位)，若/为纯虚数，贝!|"=()

Z2

11

A.-2B.2C.一一D.-

22

12.已知函数/(x)=sin(2x+1^,则函数/(x)的图象的对称轴方程为()

冗JI

A.x=k兀-----GZB.x=k兀+—,keZ

44

1,,-1.TV,_

C.x=—K7r,KeZD.x=—k兀

224

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设复数z满足(l+i)z=4-2i,其中i是虚数单位，若三是z的共匏复数，则三=

14.在等比数列｛4｝中，a3a4%=64,4=8,贝ij4=.

y>0

15.若实数x，)'满足不等式组2x-y+3N0,贝ijz=2y—x的最小值是一

x+y-l<0

16.已知实数'J满足⑵Jyf+4/=/,则2x+)的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵，，智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵”的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人？

(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？

n(ad-be?

(a+h)(c+d)(a+c)(8+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)在极坐标系中，已知曲线G:°cos。—GQsin8—l=0,C2:p=2cos^.

(D求曲线G、C?的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线G、C?交于A、B两点,求两交点间的距离.

19.(12分)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x-l)2+y2=[.直线/经过点P(皿0),且倾斜角为丁，以。为极点,

O

X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)写出曲线C的极坐标方程与直线/的参数方程；

(2)若直线/与曲线C相交于A，B两点，且4HpM=1,求实数加的值•

20.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点~在轴正半轴上，圆心在直线y=gx上的圆E与x轴相切,

且E,歹关于点M(—1,0)对称.

(1)求E和「的标准方程；

(2)过点M的直线/与E交于AB,与「交于C,D,求证：|CO|>0|AB].

21.(12分)如图，四棱锥Q-ABC。中，底面43CD是菱形，对角线AC,3。交于点O,M为棱的中点，

MA=MC.求证：

(1)PB//平面AMC；

(2)平面尸或)_1_平面AMC.

22.(10分)如图，已知四边形ABCQ的直角梯形，AD//BC,AD1DC,AD=4,DC=BC=2,G为线段A。

的中点，PGl¥ffiABCD,PG=2,M为线段AP上一点(M不与端点重合).

(1)若=

(i)求证：尸"平面BMG；

(ii)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;

(2)否存在实数2满足两=九而，使得直线心与平面BMG所成的角的正弦值为典，若存在，确定的/I值,

5

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用通项公式找到X’的系数，令其等于“0即可.

【详解】

15555

二项式展开式的通项为=C；(/7)5T(如2y=〃/最龙广"令2「一万=5,得厂=3,

则原5=-1。%5,所以疝仁=一10,解得〃2=-1.

故选：c

【点睛】

本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

2.B

【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线y=-4x+z的截距取最值得点，相应坐标代入z=4x+y即可求得取值范围.

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线z=4x+y经过点时，z取得最小值一5；经过点3(1,1)时，二取得最大值5,故-5领£5.

故选：B

【点睛】

本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.

3.A

【解析】

先求出必用，再与集合N求交集.

【详解】

由已知，Q,M={x|xNl},又已={川%>2},所以aMcN={x|x>2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

4.B

【解析】

蜡=。臼u>3+2d)2=4©+8"),将q=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前〃项和公式计算即可.

【详解】

由已知，裙=%。9，6=2,故(4+21)2=4(4+8d),解得。=2或4=0(舍),

故4=2+(〃—l)x2=2〃，S8=8("；"8)=4(2+2X8)=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

5.D

【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数/(x)在［(),”)内单调递增，再由log戊K>sin(-即可判定大小

【详解】

因为偶函数/(%)在(一20］减，所以/(%)在［0,欣)上增，

2

log桓G>1,sin(—a.

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

6.C

【解析】

利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立”,仇。间的关系.

【详解】

甲

由已知，双曲线的渐近线方程为法士⑥=0,故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1,即

yla2+b2=1,

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立女。三者间的方程或不等关系，本题是一道基础

题.

7.D

【解析】

根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，该邮车到第左站时，一共装上了(〃-1)+(〃-2)+……(〃-幻="甘上3件邮件,

需要卸下1+2+3+……也-1)="*D件邮件，

(2n-l-k)xkkx(A-l)....

贝ni！l|见-----=---------一

故选：D.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.

8.B

【解析】

求出导函数/‘(X),确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围.

【详解】

1-Inx

f'M=-2(x-e),当xe(0,e)时，八x)〉0,/(x)单调递增，当xe(e,+8)时，ff(x)<0,f(x)单调

2

X

1

递减，.••在(0,+00)上/(x)只有一个极大值也是最大值/(e)=—+/9-Q,显然X.0时，/(幻—TO,Xf4W时,

e

f(x)T-00,

11

因此要使函数有两个零点，则=—+/9>0,・・・。</9+—・

ee

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围.

9.B

【解析】

判断直线版+纱+。=0与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.

【详解】

由a+Z?+c=0,a>b>c,所以可得a>0,c<0.

,C-,C1cc11cc

a>b=>a>—a—c—>-2,b>c—a—c>c—<—/.-2<—<——<—<2,

aa2a22a

hc

所以由〃x+a)，+c=0ny=--%--,因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图

aa

所示:

由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.

故选：B

【点睛】

本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.

10.c

【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到BE,EC之间的等量关系，再用5E,EC表示出♦S£D

的面积，利用均值不等式即可容易求得.

【详解】

设=EC=y,则BC=A£>=x+y.

因为S4_L平面ABC。，EDu平面ABC。，所以SALE。.

又AELED,SAoAE^A,所以“，平面S4E,则E£)_LSE.

易知A£=Jf+3,ED=6+3.

在RtAA£D中，AE1+ED1AD1,

BPx2+3+y2+3=(x+y)2,化简得孙=3.

在RtASE。中，S£=&+i2,吊0=正+3=栏+3.

所以SASE。=；SE•£■£)=〈小/+^^+45-

22Vf

当且仅当％=#，＞=等时等号成立，所以SASE°《；J36+45=g.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判

定和性质，属中档题.

11.C

【解析】

/\Z1

把马=1+5（。£A），Z2=l+2，代入,，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.

Z2

【详解】

VZj=\+ai{cie7?),z2=1+2z,

_z,_=_1_+_a_i—_(_1_+__a_i_)(_l_-__2_i)—_1_+__2_。+_a__-_2z.

---

z2l+2i(l+2z)(l-2i)55

z,

•••,为纯虚数,

Z2

1+2Q=0解得。=」.

。一2。02

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.

12.C

【解析】

/(x)=cos2x,将2x看成一个整体，结合y=cosx的对称性即可得到答案.

【详解】

由已知，/(x)=cos2x,令2x=k兀,k^Z»得x=肛％eZ.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cosx的性质，是

一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.l+3i

【解析】

由于z=-j~-=--------------=1-31,贝"z=l+3i.

1+12

14.1

【解析】

Q4

设等比数列｛4｝的公比为夕，再根据题意用基本量法求解公比，进而利用等比数列项之间的关系得出=得=于=1即

可.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为。.由。3a两=64，得(为丫=64,解得。4=4.又由%=8,得4=&=2.则

=£±=±=1

cf221

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

15.-1

【解析】

作出可行域，如图:

由2=2丁一%得丫=!X+,2,由图可知当直线经过人点时目标函数取得最小值，A(1,0)

22

所以Zmin="

故答案为-1

16.布

【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.

【详解】

,、，，(2x-y+2y)~

(2x-v)"+4y-1>-----------/r

根据柯西不等式：2,故2x+ysj2,

3也_^2_

当2x-y=2y,即''8,4时等号成立.

故答案为：用.

【点睛】

本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)多2350人；(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【解析】

(D根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小

爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵''的女性的人数，即可求得答案；

(2)根据列联表和给出的公式，求出AT?，与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：(1)由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，

由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，

估计购买“小爱同学”的女性有空"x55=7150人.

100

估计购买“天猫精灵''的女性有担如x40=4800人.

100

则7150-4800=2350,

•••估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵''的女性多2350人.

⑵由题可知，^=200X(45X4()-60X55)；=45II>384I>

105x95x100x100

...有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.

18.(1)J:x——1=0表示一条直线，。2：(*-1)2+产=1是圆心为(1，°)，半径为1的圆；(2)2.

【解析】

(1)直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线G的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线

"2_22

G的形状，在曲线的方程两边同时乘以「得。2=22cos，，由'可将曲线C,的方程化为直角坐标方

pcosO=x

程，由此可判断出曲线的形状；

(2)由直线G过圆C2的圆心，可得出AB为圆G的一条直径，进而可得出|AB|.

【详解】

(1)「G:夕cos。一J§psin6—1=0,则曲线G的普通方程为x—Gy—l=o，

曲线G表示一条直线;

由。2：P=2cos。，得p2=2pcos。，则曲线G的直角坐标方程为/+丁=2%,即(x—1『+丁=1.

所以，曲线G是圆心为。，0)，半径为1的圆；

(2)由(1)知，点(1,0)在直线X—右y—1=0上，，直线G过圆的圆心.

因此，4?是圆G的直径，，|AB|=2xl=2.

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属

于基础题.

[百

x=m+——t

2(，为参数)；(n)m=1或机=i+Q或/〃=1—JL

y--t

V2

【解析】

试题分析：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查

学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用x2+y2=22,x=QCOS。化简表达式，得到曲

线C的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出加的值.

试题解析：(1)曲线球普通方程为:(x-l)2+y2=i,即l+y2=2x,即p2=2pcos。,

即曲线C6勺极坐标方程为:夕=2cos6.

G

x=m-\---1

直线/的参数方程为｛2«为参数).

1

y=2(

(2)设A3两点对应的参数分别为小小将直线/的参数方程代入f+y2=2x中，

得产+(国一百)f+加2—2加=0,所以A>0,32=机2—26，,八>()=一1<m<3

由题意得M-2加卜1,得m=1,1+&或1-V2符合题意

考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.

20.(1)(x+2)2+(y+l)2=l,x2=4y；(2)证明见解析.

【解析】

分析：(1)设「的标准方程为x2=2py,由题意可设E(2a,a).结合中点坐标公式计算可得「的标准方程为

x2=4y.半径r=|4=l,则E的标准方程为(x+2)2+(y+lp=l.

（2）设/的斜率为％,则其方程为＞=攵（》+1）,由弦长公式可得=联立直线与抛物线的方程有

2

x-4kx-4k=0.设。（七,,）,。（々,必），利用韦达定理结合弦长公式可得=而11|西一々|

=4〃不屈.则除=2（%芈凶＞等2.即181＞何明.

详解：（1）设「的标准方程为f=2py,则尸0,5

2a+0,

因为关于M（—1,0）对称，所以，

-+a

2—=0,

2

所以F的标准方程为V=4y.

因为E与x轴相切，故半径r=同=1,所以E的标准方程为（x+2『+（y+l）2=l.

（2）设/的斜率为A,那么其方程为y=A（x+l）,

则E（-2,-1）到/的距离d=半二,所以|AB|=241-/=2值£.

yjk+1Y《+l

x2=4y,

由，/,、消去,并整理得：x2-4kx-4k=0.

y=Zr（x+l）

设。■,凶）,。（々,必），则X+/=4左,%％2=一4〃，

那么ICDHA/PTIW-引="2+1・+*2)2-4%%2=41心+1.&2+k.

|CD|216(公+1)俨+Q2俨+1)2(公+9拉_

所以可—5E—=k>「•

公+i

所以|C£>|2>2|A网2,Bp|CD|>V2|AB|.

点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|A5|=X1+

M+P，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

21.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)连结根据中位线的性质证明PB//QM即可.

(2)证明4。，8。,47，9再证明4。_1平面9叉)即可.

【详解】

解：(1)证明：连结

AB

是菱形ABC。对角线AC、BD的交点,

.•・O为80的中点，

是棱尸。的中点，

:.OM//PB,

OMu平面AMC,PB<z平面AMC,

.•./^//平面人同。，

(2)解：在菱形A3CO中,ACLBD,且。为AC的中点,

\-MA=MC,

：.AC±OM,

•：OMcBD=O,

.•.4。_1平面。3。，

;ACu平面AMC,

，平面PBD1平面AMC.

【点睛】

本题主要考查了线