2023年河北省石家庄市高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/(x)为定义在R上的偶函数，当xe(-LO)时，〃力=3'+，则/(嚏3|)=<)

A.-2B.3C.-3D.2

2.为了得到函数一泊,—7)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()

A.向左平移营个单位长度B.向右平移丁个单位长度

o6

C.向左平移专个单位长度D.向右平移专个单位长度

3.已知向量B满足|万|=1,151=2,且汗与5的夹角为120。，则,-3同=()

A.而B.737C.2V10D.743

4.已知三点A(l,0),B(0,73),C(2,百)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()

5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点口作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点A作

AF\

准线的垂线，垂足为〃.若tanNA/7/=2,则—()

BF\

543

A.-B.-二.一D.2

432

6.已知角a的终边与单位圆Y+y2=i交于点,则cos2a等于()

1721

A.-B.一一C.——D.-

9933

7.已知{《,}为等比数列，%+4=-3,。4“9=-18,则4+%=（）

2121

A.9B.-9C.——D.——

24

8.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合1（40与）中的元素共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

1JI

9.44cos2a=——”是"a=Z〃+—,左€2”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

10.已知定点A5都在平面e内，定点是a内异于A,B的动点，且PCJ.AC,那么动点C在平

面a内的轨迹是（）

A.圆，但要去掉两个点B.椭圆，但要去掉两个点

C.双曲线，但要去掉两个点D.抛物线，但要去掉两个点

11.已知双曲线=-二=13>0力>0）的左右焦点分别为耳（-，,0）,6（c,0）,以线段片工为直径的圆与双曲线在第

a"b~

二象限的交点为P,若直线PF，与圆E:x—£+y2=幺相切，则双曲线的渐近线方程是（）

I2）,16

A.y=±xB.y=±2%C.y=+\[3xD.y=±\/2x

12.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.27万B.28%C.29%D.30%

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（1+9）（1+%）6展开式中的系数为.

14.已知函数/（x）=axlnx-bx（a,Z>GR）在点（e,/（e））处的切线方程为y=3x-e,则a+Z>=.

15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀

率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是

16.的展开式中二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数〃x）=e'（x—1）—ge*,fl<0.

（1）求曲线y=/（x）在点（O,/（O））处的切线方程;

（2）求函数“X）的极小值;

（3）求函数/（力的零点个数.

18.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x

与烧开一壶水所用时间》的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

目10（为一可、力10吗-访）c1010

XyW之（%-元）（y•-刃Z（叱-访）（y-田

/=!/=1/=!/=1

1.4720.60.782.350.81-19.316.2

]110

表中吗=~T，=—

XiI。/=l

（1）根据散点图判断‘法与哪一个更适宜作烧水时间）,关于开关旋钮旋转的弧度数》的回归方程

类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量f与旋转的弧度数K成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知X为多少时，烧开

一壶水最省煤气？

附：对于一组数据（如W）,（%，%），（“3，匕），…，（练，匕），其回归直线U=4+应的斜率和截距的最小二乘法估计值分

别为/=+------------，a=v-pu

/=1

x=Zcosa,x=sin0,

⑼⑴分）已知曲线G的参数方程为yw,"为参数）’曲线C,的参数方程为,---------（，为参

y=，l+cos20,

数）.

（1）求G与Q的普通方程;

⑵若G与相交于A,B两点,且=求Sina的值.

20.（12分）如图，在正四棱柱A5CO—A4CQ中，已知AB=1,叫=2.

（1）求异面直线AC与直线A2所成的角的大小;

（2）求点。到平面AB1。的距离.

c,若^E/jcsinA=〃+c2-a-

21.（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,

3

（I）求角A；

（II）若c=5,cosB=—,求b.

7

22.（10分）设函数八x^j^-dxsinx-Mcosx.

（1）讨论函数1x）在［-兀，兀］上的单调性；

（2）证明：函数*x）在R上有且仅有两个零点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

2

判断-1<logs-<0,利用函数的奇偶性代入计算得到答案.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

2.D

【解析】

通过变形/(X)=sin(2犬一看卜sin

2(%--),通过“左加右减”即可得到答案.

【详解】

71

根据题意fM=sin[2x-(J=sin2(%--),故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移卷个单位长度可得到函数y=sin12》-看)的图象，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

3.D

【解析】

先计算£石，然后将|£-3可进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得:

a-^=|a||^|cosl20"=lx2xf-^---1

36)=a—6ah+9b=1+6+36=43

贝!j卜-3©=A/43.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

4.B

【解析】

因为外接国的圆心在直线3。的垂直平分线上,即直线r=1±

可设国心P(l,p),由P4=P屈导：|p|=J1+(P-,得「=2^/3

~1~

国心坐标为P(1，竽)

■12x/21

所以国心到原点的距离|0尸|=।1T————--

93

选B.

考点：圆心坐标

5.C

【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得AAF”为等腰三角形，设准线与X轴的交点为例，过点b作尸C_L47,再由三角

函数定义和几何关系分别表示转化出班|=西士西，

I.„iplana

H用=就［西，结合比值与正切二倍角公式化简即可

【详解】

如图，设准线与x轴的交点为过点F作/CL47.由抛物线定义知|A川=|AH|,

MF

所以ZFAH=7T-2a=ZOFB,,\BF,\=~\\~\!~-=—厂P^------

1cos(»-2a)cos(乃一2a)

I।|C目|C"|tanaptana

/\r---------------=---------------=---------------

1sin(%-2a)sin(/r-2a)sin(万一2a)

A尸|_tana_tana_tan2a-1_3

所以

BF\tan(7一2a)-tan2a22

故选:C

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题

6.B

【解析】

先由三角函数的定义求出sine,再由二倍角公式可求cos2a.

【详解】

解：角a的终边与单位圆/+>2=1交于点吗,为

1

cost?=一,

3

cos2a=2cos2a-1=2x--1=——,

⑴9

故选：B

【点睛】

考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.

7.C

【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出生，/，便可得出等比数列的公比，再根据等比数列的性质即可求出出+”「

【详解】

4=-6%=3

4+9=5+8,，%佝=%%=-18,又为+%=-3,可解得，嗔或,

%=3%=-6

设等比数列{4}的公比为夕，则

当时,/=5=_],%+%=今+必43=[+3><(_£|=5；

5=3%2q--

3

当1%一：时，<7=-=-2a2+an=^+a^=-^-+(-6)x(-2)=^-.

a8=-6%q-22

故选：c.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

8.A

【解析】

试题分析：。=473={3,4,5,7,8,9},4门3={4,7,9},所以。004^^6)={3,5,8},即集合C0(Ac8)中共有3个

元素，故选A.

考点：集合的运算.

9.B

【解析】

先求出满足cos2。=-，的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

127r7T1TC

由cos2a=——得2a=2ATT±——，即a=k乃士一，k&Z,因此“cos2a=——“是"a=Z乃H——，keZ”的必要

23323

不充分条件.

故选:B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

10.A

【解析】

根据题意可得AC_L8C,即知C在以48为直径的圆上.

【详解】

PB±a,ACcza,

：.PB±AC,

又PCLAC,PBcPC=P,

AC1平面PBC,又BCu平面PBC

AC1BC,

故C在以AB为直径的圆上，

又C是e内异于A,8的动点，

所以C的轨迹是圆，但要去掉两个点A,8

故选：A

【点睛】

本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.

11.B

【解析】

2-2FE1

+y2=巴相切于点"，根据题意，得到EM//PG，再由台m=了，根据勾股定理

H16FiF\4

求出。=2a,从而可得渐近线方程.

【详解】

设直线尸产2与圆E：(x—|)+y2=^相切于点M,

因为APKE是以圆。的直径大月为斜边的圆内接三角形，所以/耳「招=90',

又因为圆E与直线「鸟的切点为"，所以EM//PK，

F,E1..b

又蔗="所以|P用=4qi,

因此|P闾=2a+A,

因此有户+(2。+与2=4,2,

所以方=2a,因此渐近线的方程为y=±2x.

故选B

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

12.C

【解析】

作出三棱锥的实物图尸-ACD,然后补成直四棱锥P-ABCD,且底面为矩形，可得知三棱锥P-ACD的外接球和

直四棱锥P-ABC。的外接球为同一个球，然后计算出矩形A8CZ)的外接圆直径AC,利用公式2H=JPB?+AC?

可计算出外接球的直径2H,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.

【详解】

三棱锥P-ACD的实物图如下图所示：

可知四边形ABCO为矩形，且AB=3,BC=4.

矩形ABCD的外接圆直径AC=4AB，BC2=5,且PB=2.

所以，三棱锥三一ACD外接球的直径为2R=1PB〜AC?=亚，

因此，该三棱锥的外接球的表面积为4万4=乃、(2/?)2=297.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.30

【解析】

先将问题转化为二项式(l+x)6的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数分别等于

2,4,求出特定项的系数.

【详解】

由题可得：1+F(l+x)6展开式中的系数等于二项式(l+x)6展开式中X的指数为2和4时的系数之和，

\x/

r

由于二项式(1+xp的通项公式为Tr+i=Qx,

令r=2,得(l+x)6展开式的V的系数为C：=15,

令厂=4,得(l+x)6展开式的/的系数为C：=15,

所以1+—(1+x)'、展开式中炉的系数15+15=30,

\x)

故答案为30.

【点睛】

本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题.

14.0

【解析】

由题意/(e)=2e,/(e)=3,列方程组可求a,。，即求a+力.

【详解】

•.•在点(e,/(e))处的切线方程为y=3x-e,

/(e)=2e,代入/(x)=izxlnx-fex得a-/?=2①.

又■：f(x)=a(1+Inx)(e)=2a=3②.

联立①解得：a=\,b=-\.

:.a+b=O.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15.②③

【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女

生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关

系，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

16.5670

【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.

【详解】

二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为C04=5670.

故答案为：5670

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)、=一1；(2)极小值一1；(3)函数y=/(x)的零点个数为1.

【解析】

(1)求出/(0)和/'(0)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)利用导数分析函数y=/(x)的单调性，进而可得出该函数的极小值；

(3)由当xWl时，〃x)<0以及〃2)>0,结合函数y=/(x)在区间(0,+8)上的单调性可得出函数y=/(x)的

零点个数.

【详解】

(1)因为/(x)=e*(x-l)-ge"/,所以/"(%)=%"-比".

所以〃0)=—1,/(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线为y=-lt

(2)因为/1'(%)=xe'-xe"=x(e*-e"),令./(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下：

X(-00,0)a(«,0)0(0,4-of)

尸⑴+0—0+

“X)/极大值极小值

所以，函数y=/(x)的单调递增区间为(YOM)和((),+8),单调递减区间为(。,0),

所以，当x=o时，函数y=/(x)有极小值/(o)=—1；

(3)当XW1时，/(力<0,且/(2)=/一发">/一2>0.

由⑵可知，函数y=/(x)在(0,+。)上单调递增，所以函数y=/(x)的零点个数为1.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属

于中等题.

18.(1)选取y=c+4更合适；(2)>=5+乂；(3)x=2时，煤气用量最小.

x2X2

【解析】

(1)根据散点图的特点，可得y=c+4更适合；

x

(2)先建立y关于卬的回归方程，再得出y关于％的回归方程；

(3)写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.

【详解】

(1)选取y=c+4更适宜作烧水时间》关于开关旋钮旋转的弧度数X的回归方程类型；

%.

(2)y=c+dw

10

.E(吗一记)(％-刃］62

由公式可得：-------------=-=20,

/—\2(J.01

2(叱-町

i=l

2=》一加=20.6-20x0.78=5,

所以所求回归直线方程为：丁=5+与20；

X

(3)根据题意，设t=kx,k>0,

120、c20k、c匚―2OT

则煤气用量S="=Ax5H—r-5kxH-------22.5/cx------=203

\x)xVx

当且仅当5日=、一时，等号成立，

X

即x=2时，煤气用量最小.

【点睛】

此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解,结合基本不等式求最值.

2

19.(1)y=xtana+l,%+2_=|(y.o)(2)0

【解析】

(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；

(2)把直线的参数方程代入G的普通方程，化为关于，的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时f的几何意义求

解.

【详解】

x-tcosa

(1)由曲线G的参数方程为｛,.。为参数)，消去参数乙可得y=xtanc+l；

y=l+/sina

x=sin。______2

由曲线C,的参数方程为〈.---------为参数)，消去参数凡可得了=7^^乒，即/+2_=1(、.0).

y=A/l+cos262

x=tcosa.v2

(2)把i.。为参数)代入/+2_=i,

y=l+/sin6Z2

得(1+cos2a)r+2/sina-1=0.

."2sina-1

==

+-2T~，他T

•**A1~+cos~a1~+cos~a•

4

••.IAB1=1A-/2I=«*)-他二(-2sinay+_=叵.

V1+cos~a1+cosa

解得：cos2a=h即cosa=±1,满足△>0.

...sina=0.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数/的几何意义的应用，是中档题.

/onA

20.(1)arccos———；(2)—.

103

【解析】

(1)建立空间坐标系，通过求向量而与向量码的夹角，转化为异面直线4c与直线AA所成的角的大小；(2)

先求出面Ag。的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可.

【详解】

以4为原点，44,4AA所在直线分别为X，%z轴建系，

设a(0,0,0),C(l,1,2),40,0,2),D\(0,1,0)

所以而=(1,1,2)，可=(0,1,-2)

cos〈而，碣〉=若骂lxl+2x(—2)V30

|AC||AD,|V6xV5lo-

所以异面直线AC与直线A2所成的角的余弦值为叵，异面直线AC与直线A2所成的角的大小为arccos我.

1010

(2)因为函=(0,1,—2),西=(—1,1,0),设”=(x,y,z)是面Ag。的一个法向量,

H-AZ),=0y-2z=Q1，一1

所以有,令x=ly=lz=—,故〃=(1］，5),

胪瓯=0-%+y=09

lxl+2x1

4

又配=(102