数学高考的命题趋势与解题分析专家讲座课件

数学高考的命题趋势与解题分析

1备战高考的思路高中课标的理念日常教学的要点目录2重视以标命题扭转刷题现象强调为国选才3备战高考的思路《中国高考评价体系》

发布会合影42021年3月6日，习近平参加全国政协十三届四次会议的医药卫生界教育界联组会52023高考数学一结束，一众数学难的话题陆续爆出。这两年，高考数学难度切实提升，让老师、家长和学生感受到高考改革不是喊口号，是实实在在在发生。教育真的在变，高考的选拔性被强化，做为基础性学科的数学，需要提升难度对学生进行筛选。6高考数学为什么会有一定难度数学作为基础学科，是我们国家战略发展（芯片、航空动力、高端医疗装备等）的重要所需。是未来培养高科技人才的基础，高考一定是要把真正的人才给筛选出来的所以，数学需要有一定的难度。高考强调选拔特点和我们国家的发展有关，而这种选拔性的指向就是创新型人才。创新人才有很多的标识，但是数学肯定是基础之一。高考数学难说明我们更注重基础学科人才的选拔。7数学好（不等同于数学成绩好）的同学，数学高考分数高，总分高，容易上好的大学。这正是高考要选拔的结果，以后的高考是要精选人才，让有潜力的学生上好的大学。有的考生反映数学难，是因为考生还没有适应当今高考的命题趋势。他们仍然停留在死记硬背，机械刷题上。我们现在的高考主要考查的是学生的逻辑思维能力，考查的是学生现实解决问题的能力，题目是现实情境、数学情境命题，所以考生靠机械刷题是不能完全适应这样高考命题趋势的，总感觉题目都是没有做过的类型，总感觉题目太新颖。8考分高的生源不一定是数学好的学生。高考数学对于学生真实的数学能力的判断力较弱。一个人有较差的记忆力不妨碍其成为优秀的数学家。高考数学与真正的数学没关系。9教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析10一、发挥基础学科作用，助力创新人才选拔充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。二、创设自然真实情境，助力应用能力考查在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。1112132023年南昌市二模理16

点的轨迹2022年北京高考极值的定义14设f(x)定义在[a,b]上，.则“f(x)在[a,x0]单调递增，[x0,b]单调递减”是“x0为f(x)的极大值点”的（

）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15含参数的集合的表示含参数的函数的表示16高考不改革，既不会减负，也不有利于学生的发展！试题太难、太易都不行，区分度要与录取层次相匹配！数学的极限思维！17备考（往回看）网上的分析“专家”的讲座18备考（向前看）官方的文件文章（说话听声，锣鼓听音）（言外之意，弦外之音）数学的特点自己的研究（交流是重要的）中共中央、国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》（2020年10月）：20.深化考试招生制度改革。稳步推进中高考改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。19不要盲目崇拜高考题，不是所有的高考题都是好题情境不妥定义不当内容不平衡计算量过大综合的生硬202023新高考一卷，多选题11为什么D是错误的选项？概念混乱21错前后不一致222011年山东卷文22.

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

.如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D(﹣3，m)．(Ⅰ)求m2+k2的最小值；（不是几何量）(Ⅱ)...232021天津卷导数零点与极值点是不同的不是所有的答案都是要学习的g(x)=f(x)-a,g’(x)=f’(x)想象不能代替证明只能用于启发思路24判定极值的高阶导数泰勒展开二级结论...《课标》实施建议P97数学教师要努力提升数学专业素养理解与高中数学关系密切的高等数学的内容，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质。不是学的知识越多越好252023新高考二卷瑕疵过度分析26F’与G同号27第2问可以不用凸函数！2023新高考一卷282023新高考一卷两次最值292022北京高考第3问可以不用二元函数！大道至简！302022全国甲卷（理科）<3132目前，高考的依据就是《中国高考评价体系》+《课标》33整体把握课程抓住数学本质发展核心素养34数学课标的理念高中数学课标组合影立德树人、素质教育18大：教育是民族振兴和社会进步的基石19大：建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程20大：教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑习近平总书记在北京师范大学接见数学科学学院的王梓坤院士35核心素养主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。36理性思维让一个人在思想上变得清晰，在感觉上变得敏锐，

在行动上找到方向。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。37抽象：现实→数学。数量与数量关系；图形与图形关系。

数学具有一般性。学习过数学的人抽象能力强。推理：数学→数学。得到并且验证数学的结果：命题。

数学具有严谨性。学习过数学的人推理能力强。模型：数学→现实。用数学的语言讲述现实世界的故事。

数学具有应用性。学习过数学的人会一般性思考。3839A.D.亚历山大洛夫

（苏联数学家、物理学家）结论的明确性（王梓坤）弗朗西斯·苏

（美国数学协会主席）数学能培养技能;更善于思考，更有毅力;感觉到宇宙的真理。教数学的目的不是让所有人都成为数学家，它真正的目的是培养一种思维习惯，无论人们日后从事何种行业，这些思维习惯都能让他们受益。一、课标的基本理念41我们通常把数学知识当作数学，这其实是一种误解，学习数学，不应以懂多少数学公式为目标，而是要锻炼解决问题的过程中所用到的思维方法，也就是数学思维。有数学思维的人，不仅做事有条理，而且擅长独立思考，更能多角度开辟思维点，进行逆向思考。街头骗局(山东卫视我是先生之顾沛）南开大学教授首届“国家级教学名师”42朋友买披萨43王元买瓜王元院士和夫人到魏歪脖瓜棚买西瓜：大瓜3元，小瓜1元（小瓜半径是大瓜的2/3）。球体体积公式是小瓜半径设为2R，体积是4/3*pi*8*R3=8k；大瓜半径为3R，体积是4/3*pi*27R3=27k。小瓜单位体积价钱为1/8k，大瓜单位体积价钱为3/27k=1/9k。1/8>1/9，小瓜比大瓜贵！中国科学院院士（1980），中国数学会理事长（1988-1991），证明了哥德巴赫猜想中的“3＋4”和“2＋3”44非诚勿扰得到最佳人选的概率：

问题是如何选择r才能使P(r)最大?女嘉宾应记住100个人中前37个男嘉宾中最优秀的一个，并拒绝他们。之后只要遇到相当的或更好的，必须以迅雷不及掩耳盗铃之势猛扑之！这样你遇到最佳男嘉宾的概率最大。4546数学素养之间的关系数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析数学抽象10.4550.4820.4760.4480.449逻辑推理0.40810.4080.6230.7900.450数学建模0.3320.23110.2570.3370.336直观想象0.5290.6660.46110.5410.569数学运算0.5200.8260.5360.58010.494数据分析0.1610.2370.2060.2420.2441数学六个核心素养的非对称相关系数六个核心素养之间均具有显著的相关性，其中逻辑推理和数学运算的相关性最大，并且数学运算对逻辑推理的影响比逻辑推理对数学运算的影响更大。数学建模与数据分析对于其他四种素养的依赖程度明显大于其他四种素养对于它们的依赖程度，说明数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算是基本的素养。47北京师范大学数学科学学院本科生的研究表明：数学建模竞赛名次好的同学纯数学课程成绩一定好；纯数学课程成绩好的同学数学建模竞赛名次不一定好。481939年他发表了一篇文章《无为知识的无所不为》，指出Faraday和Maxwell研究电磁学，不过是出于科学上的好奇心，接着Hertz发现了电磁波。这些科学家并不重视电磁在人类社会的应用，但是他们的工作却是如此重要，不单单是理论科学划时代的成就，同时也是近代文明的一大贡献。普林斯敦高等研究所第一任所长A.Flexner曾很自豪地说：我们在这里研究的是无用之学！49纯数学的重要性千禧年大奖难题是对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题，更重要的是它们的破解极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。千禧年大奖难题是七个由美国克雷数学研究所于2000年5月24日公布的数学难题。每解破一题的解答者，会得到奖金100万美元。50庞加莱猜想（1904）：每一个单连通的闭3维流形同胚于球面,即该流形与球面之间存在1-1的连续映照.佩雷尔曼（2002）解决庞加莱猜想所用的工具，并非拓扑学知识，而是独辟蹊径利用微分几何学的新知识来证明(Ricciflow)。5152庞加莱猜想可以帮助天文学家探索宇宙的形状，应对未来的危机。地球是什么形状的？你一定会说是球体，因为我们已经可以跳出地球，从宇宙中拍摄照片了。可是，如果我们从没离开地球，还能研究地球的形状吗？同样，我们不可能离开宇宙，能研究宇宙的形状吗？这就是庞加莱猜想要讨论的问题。庞加莱猜想为何价值100万美元？宇宙到底是什么形状？李永乐数学的重要性（课标的第一段）【2023年3月开始修订】数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学实力往往影响着国家实力，几乎所有的重大发现都与数学的发展与进步相关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。数学教育的重要性（课标第二、三段）牛津学者：揭秘数学教育

缺乏对个体大脑发育和

未来成就的影响55拿破仑：一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。《2025年的数学科学》数学攸关一国经济社会乃至国家安全的现实利益如果不重视数学理论知识的存储，将会给美国带来重大损失北京大学数学教授，1991年当选中国科学院数学物理学部委员（院士）。1993年获第三世界科学院数学奖，1995年当选第三世界科学院院士。同年获何梁何利科技进步奖。张恭庆（第7届中国数学会理事长）：

世界强国与数学强国（2014年）数学实力往往影响着国家实力，世界强国必然是数学强国。数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求。英国、法国、德国、俄罗斯、美国都是世界大国，也是数学强国。

56李大潜（第3-4届中国工业与应用数学学会理事长）《为什么要学数学？因为这是一场战略性的投资》数学是一类常青的知识数学是一种科学的语言数学是一个有力的工具数学是一个共同的基础数学是一门重要的科学数学是一门关键的技术数学是一种先进的文化复旦大学数学教授，中国科学院院士（1995）、第三世界科学院院士（1997）、法国科学院外籍院士（2005）、欧洲科学院院士（2007）和葡萄牙科学院外籍院士（2008），国际工业与应用数学大会苏步青奖得主（2015）57数学素养就是高考分数，更是发展潜力58人的发展是长线的任务，不能被带节奏，但可以充分借助有利条件59课标修订（2023草案）：学业质量学业质量内涵学业质量是学生在完成本学科课程学习后学业成就的综合表现，体现课程目标的达成程度，反映核心素养发展状况。学业质量标准是依据学科核心素养水平划分，结合结构化课程内容，描述学习结果的典型表现，整体标识和刻画学业质量的不同水平。60课标修订（2023草案）：学业质量学业质量描述情境与问题解决（四能）知识与体系构建（四条主线）思维与交流表达（核心素养）态度与价值判断数学学业质量标准依据数学学科核心素养的水平，从四个方面分三个水平，整体标识和描述数学课程目标的达成程度。61以水平二为例能够在关联的情境中，发现和提出基本问题；能运用数学概念准确描述给定问题的条件和结论；能识别基本问题的变形，综合利用数学知识与思想方法分析和解决基本的数学问题和实际问题，以及简单的开放问题；能反思一类问题解决的过程，总结一类问题解决的经验。能够在关联的情境中，类比基本函数模型刻画变化规律；能运用基本函数模型分析和解决基本的数学问题和实际问题；能从不同角度描述抽象函数的概念、性质及其联系；能在关联情境中，运用定性和定量思想方法研究函数变化规律，解决基本数学问题和实际问题。62（续）在关联情境中，能建立物体形状与抽象基本图形的联系；能选择不同的思想方法（坐标几何、向量几何和综合几何等）研究基本图形的性质、位置关系和度量关系；能运用“数形结合思想”解决基本数学问题和实际问题。（续）能在关联的情境中，选择合适的概率模型、统计方法和随机变量等思想方法研究随机现象、求解随机事件的概率；能运用数据分析的思想方法解决基本统计问题；能选择恰当的统计模型解决基本统计问题。（续）能在关联的情境中，运用数学建模的思想方法建立数学模型解决实际问题，并能结合实际要求对结果进行检验，完善模型，得到基本合乎实际要求的结果；能运用数学探究的思想方法解决基本的数学问题。（续）能准确描述四条主线之间的关系，综合运用四条主线解决问题。63在关联的情境、问题解决和知识体系建构过程中，能够倾听、阅读和交流问题解决的思路和步骤，能举一反三拓展解决问题范围；能用数学语言准确、清晰表达解决问题的这些思路、步骤、证明或结果；能多角度探索数学的概念、性质、关系等的内涵和外延，准确地阐述内容的前后关联、主线之间的相互联系等；形成和发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养。在关联情境的问题解决和体系构建过程中，能分析、表达问题解决和体系构建的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值；形成理性思维、批判质疑、勇于探究、严谨求实、乐学善学、勤于反思等的态度。6465课标修订（2023草案）：学业水平考试与高考命题的建议命题原则普通高中数学学业水平考试与数学高考应坚持育人导向。考试命题应依据数学学业质量标准和课程内容，强化对数学学科核心素养的考查。按照数学学业水平考试与数学高考对学业质量的不同水平要求，在课程标准规定的范围内，整体客观考查学生数学学科核心素养的达成程度。要充分发挥考试对教学的正向引导作用。数学高考与学业水平等级性考试应适应选拔人才的不同需要。确保试卷的政治性、科学性、公平性和规范性。坚持改革创新，优化试卷结构，创新试题形式，在注重基础性的同时，关注综合性、应用性，增强探究性、开放性。66设计思路依据数学学业质量内涵的描述，按照学业质量的不同水平，构建基于数学学科核心素养的测试评价框架。六个数学学科核心素养；高中数学课程的四条内容主线；数学学业质量的四个方面。要创设适宜情境，设置合理问题，关注思维过程，强调数学本质，注重通性通法，重点考查学生在以下方面的表现：运用数学课程所学的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，发现、提出、分析和解决问题，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。67试题命制（1）命题指向根据命题蓝图，把试题所要考查的数学学科核心素养及其水平具体化，明确数学学科核心素养的主要表现，重点围绕情境与问题解决，知识与体系构建，思维与交流表达三个方面确定水平要求。68（2）情境设置试题情境包括生活情境、数学情境、科学情境、文化情境等。生活情境要符合真实性，数学情境要反映数学本质，科学情境要关注数学内涵，文化情境要体现数学的文化价值。试题情境设置要注意：情境中的问题可转化为数学问题；符合数学必备知识和关键能力的考查要求；适当控制阅读信息量和运算复杂性；兼顾各类情境，避免单一化。69（3）问题设计问题设计要充分体现数学学科特点，注重数学的一般性、严谨性及应用性；要突出数学本质，注重通性通法，淡化特殊技巧。问题设计要紧密结合试题情境，有利于展现思维过程。同一情境下的问题之间要有层次性和内在逻辑。问题要明确，表述要准确、严密、简洁和规范。70（4）评分规则选择题和填空题根据结果给分。解答题应根据解答步骤分步赋分，结合解题步骤的难易，思维的层次等合理赋分。不同解法应同等评价，根据试题所考查的数学知识和学科核心素养在不同解法所对应的步骤，赋予相同的分数，体现各种解法的对等性。对于开放性和探究性试题，要充分考虑多种可能的解答结果，遵循满意原则和加分原则，针对不同解法、不同结果给出典型的赋分案例。理解核心概念倡导通性通法掌握理性思维71高中教学的要点高中数学教材组合影72著名的数学家,数学教育家赫斯（R.Hersh）认为：数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么,而在于数学到底是什么；如果不重视数学的本质问题,便解决不了关于教学上的争议。

高中数学课标前组长、高中教材（北师大版）前主编、北京师范大学原数学系主任基本概念大数学家苏步青：正确地理解数学的基本概念之所以重要，是因为它是掌握数学基础知识的前提。李邦河院士：数学根本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！7475正弦函数

y=sinx,x∈(-∞,+∞).-1≤sinx≤1sinx的最大值是1，最小值是-1sinx的值域是[-1,1]填空题.下列叙述正确的是().A.①②;B.③②;C.②③;D.①③.76在x=0附近是正的极值的局部性2018年全国理科377通性通法本质上是关于sinα和cosα的二元方程组的求解2021八省市适应性高考将区间分成三段讨论，通过构造两个辅助函数，用导数、二阶导数研究单调性获得最小值证法1.78将区间分成三段讨论，通过构造一个辅助函数，用导数研究单调性获得最小值证法2.79对于可导函数来说，函数的最小值=min{区间端点的函数值，导数零点的函数值}这是求最小值的通性通法（科学的套路）导数的零点无法具体求出80我们的证法.北师大版教材（选择性必修第二册第78页）81要用通性通法（自然的思路解题），而不是老套路！最大值（函数在整个定义域上的整体性质）设y=f(x)的定义域是D,x0∈D。若f(x0)≥f(x),x∈D,则称x0是f(x)在D的最大值点。单调递增（函数在某个区间上的整体性质）设y=f(x)的定义域是D,区间I⊆D。若对于任意的x1<x2，都f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上单调递增。极大值（函数在某点附近的局部性质）设y=f(x)的定义域是D,x0∈D。若存在包含x0的开区间(a,b),使得f(x0)>f(x),x∈(a,b),则称x0是f(x)的极大值点。基本概念82函数的最值点附近不一定有单调性！例如：x=0是f(x)的最小值点，不是极小值点，并且在包含x=0的任何开区间内都没有单调性。因此通过单调性来研究最值不一定行的通，更重要的是不简明（绕远的套路）。单调性只是研究最值的方法之一。8384函数的极小值点附近不一定“左降右升”！对于可导函数，在极小值点附近，其导数不一定左侧小于0，右侧大于0。单调性也只是研究极值的一种方法。例如：x=0是f(x)的极小值点，但在x=0的左侧总有导数大于0的点，右侧总有导数小于0的点。85f(x)的图像f’(x)的图像86函数在某点的导数大于0，也不一定在附近单调增加！例如：f’(0)=1，但在x=0的两侧总有导数为-1的点。87f(x)的图像f’(x)的图像888990解.研究函数主要是考虑特殊点的函数值以及相关的单调性x>-1时是正的91由于较长时间应试教育的作祟，育书不育人、求学不读书的现象比比皆是。说的是素质教育，行的是应试教育，对分数顶礼膜拜；说的是阅读重要，行的是题海战术，对考点奉若神明。批判性思维是思维中最高级也是最核心的能力，一定要把它摆在思维品质和思维能力的领域来考虑。教育家于漪:老师不缺教学技巧，而缺思想与批判性思维理性思维（有罪推断）92中文台首播时间：周六19:00-19:30；重播时间：周日04:30，14:00，16:00，23:00资讯台首播时间：周六23:00-23:30；重播时间：周日02:30，周一13:30新闻鉴证组（凤凰卫视）93你看到的只是一个观点，不一定是事实，更不一定是真理对的给出证明，错的给出反例空间向量数量积分配律在现行的教材中，空间向量的教学内容通常被安排在平面向量和立体几何之后，空间向量数量积的定义和运算性质都是通过类比平面向量的情形获得的，并没有给出严格的证明．94由于任意两个向量是共面向量，所以空间向量数量积的交换律、（关于数乘的）结合律，本质上和平面向量情形是一致的。但是，一般都没有注意到（关于加法的）分配律是关于三个向量的，具有空间的特色，因而没有给出具体明确的证明。95平面情形96在上面的证明过程中用到了线面垂直的判定定理．做为应用，如果又利用空间向量数量积的分配律证明线面垂直的判定定理，那么就会产生逻辑循环的错误.空间情形97数量积的分配律98雨中行（数学建模）问题提出：下雨天没伞，快跑和慢走哪个淋雨更少？“雨中行”的无风模型：在无风的雨中行走时，慢跑相对来说淋雨量最小，并不是越快淋雨量越小。99100也谈“雨中行”101茶水温度问题102描点作图一次函数二次函数三次函数指数函数指数函数103三次函数指数函数有较好的拟合6.4或6.7分钟104拟合的程度不是衡量模型好坏的标准！五次函数可以严格通过已知的6个点！n次函数可以严格通过已知的n+1个点！三次函数的拟合好于指数函数的拟合105模型背后的牛顿冷却定律：温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递系数。记T(t)是物体在t时刻的温度，Tc是环境的温度，T1是物体的初始温度，k是热传递系数，则茶水温度模型必须是上述形式的指数函数！106107数据分析解决问题的结构图两位射击选手丙丁各射击七次，其射击环数分别为：3，5，,6，7，8，9，10；3，7，7，7，7，7，10.

教练如何选择？两组数据的平均数都是7；丙丁的方差分别为6，4.57数据丁的的离散程度小，丁的发挥更稳定，应选择丁.数据分析甲99710879899乙10710107710889射击选手的遴选甲、乙两人是某射击队的射击选手，教练收集了他们平时训练中的10次成绩，以此为依据来选拔参加市锦标赛的人选。下表记录了射击成绩（单位：环）：据以往市锦标赛的结果统计显示，平均成绩保持在8环以上便可以保证拿到奖牌。为了保证此次比赛稳妥地拿到奖牌，教练应该选择谁参加比赛？说明理由；若是想要冲击冠军，教练应该选择谁参加比