2024届安徽省池州市数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析

2024届安徽省池州市数学九年级第一学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（）A．10% B．20% C．25% D．40%2．抛物线的项点坐标是（）A． B． C． D．3．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x2+2x+1 C．x2﹣2x+1 D．x（x﹣2）﹣（x﹣2）5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（）A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝37．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y1），D（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定8．抛物线如图所示，给出以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是()A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2 C．–2<x1<3<x2 D．x1<–2<x2<310．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．当x＞2时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3） D．图象与x轴有两个交点11．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）12．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______．14．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．15．如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，且为的中点，与相交于，若，则线段的长度为________.16．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则__________．17．当时，函数的最大值是8则=_________.18．计算：_____________．三、解答题（共78分）19．（8分）（问题情境）（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD²=AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC²=AB·AD．（结论运用）（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若，求OF的长．20．（8分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．（1）求直线和反比例函数的表达式；（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；（3）结合图象，请直接写出不等式≥ax+b的解集．21．（8分）为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；（2）请将两个统计图补充完整；（3）若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人.22．（10分）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示）．23．（10分）如图，中，，，为内部一点，．求证：．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．25．（12分）2019年鞍山市出现了猪肉价格大幅上涨的情况，经过对我市某猪肉经销商的调查发现，当猪肉售价为60元/千克时，每天可以销售80千克，日销售利润为1600元（不考虑其他因素对利润的影响）：售价每上涨1元，则每天少售出2千克；若设猪肉售价为x元/千克，日销售量为y千克．（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若物价管理部门规定猪肉价格不高于68元/千克，当售价是多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润是多少元．26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围；动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】2019年水果产量=2017年水果产量，列出方程即可.【详解】解：根据题意得，解得（舍去）故答案为20%，选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.2、D【分析】由二次函数顶点式：，得出顶点坐标为，根据这个知识点即可得出此二次函数的顶点坐标．【详解】解：由题知：抛物线的顶点坐标为：故选：D．【点睛】本题主要考查的二次函数的顶点式的特点以及顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．3、B【分析】根据判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，

∴，

故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．4、B【分析】原式各项分解后，即可做出判断．【详解】A、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；

B、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；

C、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；

D、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，

故选：B．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．5、B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．6、D【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．【详解】解：∵b2＝4a，∴，∴∵，∴y最小值＝，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.7、A【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y1）距对称轴的距离比D（5，y2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，∵C（－5，y1）距对称轴的距离比D（5，y2）距对称轴的距离小，∴y1>y2，故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．8、D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，再根据与x轴的交点坐标代入分析即可得到结果；【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴ab＜0，故①②正确；当x=-1时，，故③正确；当x=1时，根据图象可得，故④正确；根据函数图像与x轴有两个交点可得，故⑤正确；故答案选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．9、B【解析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.10、B【分析】根据二次函数的性质对进行判断；通过解方程﹣（x﹣2）2﹣3＝0对D进行判断即可.【详解】∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3，即,无解，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．11、D【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．12、D【分析】根据图象与x轴有两个交点可判定①；根据对称轴为可判定②；根据开口方向、对称轴和与y轴的交点可判定③；根据当时以及对称轴为可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．【详解】解：①根据图象与x轴有两个交点可得，此结论正确；②对称轴为，即，整理可得，此结论正确；③抛物线开口向下，故，所以，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以，故，此结论错误；④当时，对称轴为，所以当时，即，此结论正确；⑤当时，只对应一个x的值，即有两个相等的实数根，此结论正确；综上所述，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、π﹣【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案为：π﹣．【点睛】本题主要考察扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键.14、【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．考点：相似三角形的判定与性质．15、【分析】根据旋转的性质可知△ACC1为等边三角形，进而得出BC1=CC1=AC1=2，△ADC1是含20°的直角三角形，得到DC1的长，利用线段的和差即可得出结论．【详解】根据旋转的性质可知：AC=AC1，∠CAC1=60°，B1C1=BC，∠B1C1A=∠C，∴△ACC1为等边三角形，∴∠AC1C=∠C=60°，CC1=AC1．∵C1是BC的中点，∴BC1=CC1=AC1=2，∴∠B=∠C1AB=20°．∵∠B1C1A=∠C=60°，∴∠ADC1=180°-（∠C1AB+∠B1C1A）=180°-（20°+60°）=90°，∴DC1=AC1=1，∴B1D=B1C1-DC1=4-1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出△ADC1是含20°的直角三角形是解答本题的关键．16、1【分析】根据在平面直角坐标系中的点关于原点对称的点的坐标为，进而求解．【详解】∵点与点关于原点对称，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点的特征，即两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．17、或【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向分类讨论决定取值，列出关于a的方程，即可求解；【详解】解：函数，则对称轴为x=2，对称轴在范围内，当a＜0时，开口向下，有最大值，最大值在x=2处取得，即=8，解得a=；当a＞0时，开口向上，最大值在x=-3处取得，即=8，解得a=；故答案为：或；【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.18、1【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．【详解】解：===1故答案为1.【点睛】本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；

（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC²=AB·AD；

（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO•BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF•BE，

∴BO•BD=BF•BE，

即，而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；

在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．20、（1）y＝x﹣1；y＝；（1）点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0），（11，0）；（3）0＜x≤2【解析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，利用勾股定理看求出OC的长，分OC＝OP和CO＝CP两种情况考虑：①当OP＝OC时，由OC的长可得出OP的长，进而可求出点P的坐标；②当CO＝CP时，利用等腰三角形的性质可得出OD＝PD，结合OD的长可得出OP的长，进而可得出点P的坐标；（3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式≥ax+b的解集．【详解】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1．当x＝2时，y＝x﹣1＝1，∴点C的坐标为（2，1）．将C（2，1）代入y＝，得：1＝，解得：k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝．（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，则OD＝2，CD＝1，∴OC＝．∵OC为腰，∴分两种情况考虑，如图1所示：①当OP＝OC时，∵OC＝，∴OP＝，∴点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0）；②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，∴OP＝1OD＝11，∴点P3的坐标为（11，0）．（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝的图象在直线y＝x﹣1的上方，∴不等式≥ax+b的解集为0＜x≤2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．21、(1)200；（2）答案见解析；（3）240人．【分析】（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人；由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%；由10÷5%即可求得总人数为200人；（2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人，由此可得喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，由此在图1中补出表示A的条形即可；②由80÷200×100%可得喜欢A项运动的人所占的百分比；由30÷200×100%可得喜欢D项运动的人所占的百分比；把所得百分比填入图2中相应的位置即可；（3）由1200×20%可得全校喜欢“排球”运动的人数.【详解】解：（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人，由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%，∴这次抽查的总人数为：10÷5%=200（人）；（2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人，∴喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，②喜欢A项运动的人所占的百分比为：80÷200×100%=40%；喜欢D项运动的人所占的百分比为：30÷200×100%=15%；根据上述所得数据补充完两幅图形如下：（3）从抽样调查中可知，喜欢排球的人约占20%，可以估计全校学生中喜欢排球的学生约占20%，人数约为：1200×20%=240（人）.答：全校学生中，喜欢排球的人数约为240人．22、扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44．【解析】试题分析：设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．试题解析：设扇形OAB的圆心角为n°弧长AB等于纸杯上开口圆周长：弧长CD等于纸杯下底面圆周长：可列方程组，解得所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即S纸杯表面积==考点：锥的侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式．23、详见解析【分析】利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，即可得出结论；【详解】解：，，又,，，又，．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠PBC=∠PAB是解本题的关键．24、（1）直线CD与⊙O