矩-协方差矩阵

§4矩、协方差矩阵2§4矩、协方差矩阵

二、协方差矩阵定义：二维随机变量(X1,X2)二阶混合中心矩有四个〔如果存在的话〕： c11=E{[X1－E(X1)]2} c12=E{[X1－E(X1)][X2－E(X2)]} c21=E{[X2－E(X2)][X1－E(X1)]} c22=E{[X2－E(X2)]2}那么称为(X1,X2)的协方差矩阵．二、协方差矩阵〔续〕定义：设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)二阶混合中心矩cij=E{[Xi－E(Xi)][Xj－E(Xj)]}=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,…,n都存在，那么n阶方阵称为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵．对称矩阵

利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度定义为n

维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的概率密度定义为二维正态分布的性质 假设(X1,X2)~N(m1,m2,s12,s22,r)，那么两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于参数r．两个条件分布都是正态分布．有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布．Cov(X1,X2)=rs1s2，从而rX1X2=r． r=0X1和X2相互独立X1和X2不相关注意：一般n维正态随机变量的性质请参看课本P.1362、n维正态分布的性质第四章随机变量的数字特征§5矩返回主目录10n维正态变量具有以下四条重要性质：例设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的任意线性组合是正态分布.解:X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即Z~N(E(Z),D(Z))所以Z~N(5,32)故Z的概率密度是第四章随机变量的数字特征§5矩例1返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征§5矩返回主目录第四章随机变量的数字特征§5矩返回主目录第四章随机变量的数字特征§5矩例2解：返回主目录第四章随机变量的数字特征§5矩求随机变量和的密度函数和，及和的相关系数(2)问和是否独立？为什么？解〔1〕由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此有第四章随机变量的数字特征随机变量和的相关系数第四章随机变量的数字特征§5矩〔2〕由题设第四章随机变量的数字特征1阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。2要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。4引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。5要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。6给出了矩与协方差矩阵。作业：第四章小结返回主目录2024/1/5课件结束!23复习思考题41.表达E(X)和D(X)的定义。244.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；(2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=μ2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.设X和Y为两随机变量，且D(X)=6,D(Y)=7,那么D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方差都不小于零相矛盾，为什么？257.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi,i=1,2,…,100,由题意知, Xi～N(50,2.52),Y=∑Xi,那么Y～N(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X,由题意知X～N(50,2.52)。 假设将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，那么： E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002