辽宁省锦州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

2022～2023学年度第一学期期末考试高二数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）度A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.【详解】将直线SKIPIF1<0的方程变形为SKIPIF1<0，该直线的斜率为SKIPIF1<0，因此，该直线的倾斜角为SKIPIF1<0度.故选C.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题.2.算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（）A.6 B.8 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示SKIPIF1<0个不同整数.所以，根据分类加法计数原理，一共可表示SKIPIF1<0个不同整数.故选：B.3.如图，在四面体SKIPIF1<0中，M是棱SKIPIF1<0上靠近O的三等分点，N，P分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示SKIPIF1<0，再利用向量线性运算求解作答.【详解】在四面体SKIPIF1<0中，N是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而P是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.故选：A4.已知双曲线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由已知得出关于SKIPIF1<0的齐次等式，变形后可求得离心率．【详解】不妨设SKIPIF1<0，一条准线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．5.SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.5 D.25【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0项，即可求解作答.【详解】SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0项是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0项相乘加上SKIPIF1<0与SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0项相乘的和，于是SKIPIF1<0，所以所求系数为25.故选：D6.直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到l的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0的一个单位方向向量为SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0代入空间中点到直线的距离公式SKIPIF1<0即可求解.【详解】依题意，因为直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，所以取直线SKIPIF1<0的一个单位方向向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.7.如图，直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长均相等，P是侧面SKIPIF1<0内一点，若点P到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【答案】D【解析】分析】如图，作SKIPIF1<0，做SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.可证得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，据此可得答案.【详解】如图，作SKIPIF1<0，做SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因几何体为直三棱柱，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又由题可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面EPD，SKIPIF1<0平面EPD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面EPDSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因平面SKIPIF1<0平面EPDSKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由题又有SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为点P到直线SKIPIF1<0距离.故点P到定点SKIPIF1<0距离等于点P到直线SKIPIF1<0距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D8.已知实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】对SKIPIF1<0的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据SKIPIF1<0的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】依题意，当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，是双曲线SKIPIF1<0在第一象限的部分；当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，不能表示任何曲线；当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，是双曲线SKIPIF1<0在第三象限的部分；当SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0，是椭圆SKIPIF1<0在第四象限的部分；其图象大致如图所示：SKIPIF1<0的几何意义是曲线上的点到直线SKIPIF1<0的距离的两倍，双曲线的渐近线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以曲线在第一、三象限上的点到SKIPIF1<0

的距离SKIPIF1<0，由图象可知直线与椭圆SKIPIF1<0在第四象限的部分相切时，距离取得最小值，设切线为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以曲线在第四象限上的点到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围是：SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在SKIPIF1<0的展开式中，下列说法正确的有（）A.所有项的二项式系数和为256 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共4项【答案】AB【解析】【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．【详解】选项A：所有项的二项式系数和为SKIPIF1<0，故A正确；选项B：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以所有项的系数的和为1，故B正确；选项C：二项式系数的最大的项的上标为SKIPIF1<0，故二项式系数最大的项为第5项，故C不正确；选项D：通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，8，当SKIPIF1<0，2，4，6，8时为有理项，共5项，故D不正确，故选：AB10.已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，P是该双曲线上任意一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其左、右焦点，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的最小值为1 D.若SKIPIF1<0是直角三角形，则满足条件的P点共4个【答案】BC【解析】【分析】由双曲线的定义可判断A；设SKIPIF1<0，由两点间的距离公式结合二次函数的性质可判断B，C；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，直角三角形SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线有SKIPIF1<0个交点可判断D．【详解】因为双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A不正确；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由二次函数的性质知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故B正确；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由二次函数的性质知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为：SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最小值为1，故C正确；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，直角三角形SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线有SKIPIF1<0个交点，直角三角形SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个，则若SKIPIF1<0是直角三角形，则满足条件的SKIPIF1<0点共SKIPIF1<0个，故D错误；故选：BC.11.已知曲线SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（）A.曲线C关于原点对称B.曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于SKIPIF1<0C.曲线C不是封闭图形，且图形有渐近线D.曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】A选项，即判断曲线上任意点SKIPIF1<0关于原点的对称点SKIPIF1<0是否在曲线上；BC选项，由SKIPIF1<0范围可知曲线是否为封闭图形，再由极限可知其渐近线；D选项，设曲线上一点坐标为SKIPIF1<0，即判断SKIPIF1<0最小值是否为2.【详解】A选项，设SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，其关于原点的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在曲线上，则曲线C关于原点对称，故A正确；BC选项，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曲线C不是封闭图形.又注意到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则曲线有渐近线SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则曲线有渐近线SKIPIF1<0.故B错误，C正确；D选项，设曲线上一点坐标为SKIPIF1<0，则其到原点距离为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，即曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2，故D正确.故选：ACD12.已知边长为SKIPIF1<0的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不含端点），以SKIPIF1<0为折痕将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置．记SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则对于任意点SKIPIF1<0，下列成立的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D.存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由图可知，SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0，A对；对于B选项，因为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为锐角且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，B对；对于C选项，SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在翻折的过程中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，C对；对于D选项，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，事实上，SKIPIF1<0，矛盾，故假设不成立，D错.故选；ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】对参数SKIPIF1<0分SKIPIF1<0两类进行讨论，利用斜率相等即可求解.【详解】依题意，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，不符合题意；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，不符合题意，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间向量一组基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，C，D四点共面．则实数SKIPIF1<0的值为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<015.设SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除,则SKIPIF1<0__________.【答案】1【解析】【分析】由SKIPIF1<0,利用二项展开式可知只需SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除整除即可,由SKIPIF1<0的范围即可得到结果.【详解】SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除,则SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.16.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值是__________，SKIPIF1<0的取值范围是__________【答案】①.34②.SKIPIF1<0【解析】【分析】根据SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴建系，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的轨迹为圆，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，根据圆的性质即可得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最大值，即可得SKIPIF1<0面积的最大值；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由数量积的坐标运算可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即将问题转化为圆与直线有交点，可求SKIPIF1<0的取值范围，即得所求.【详解】因为，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹为圆，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则要求SKIPIF1<0面积的最大值，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0最大，又直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线的距离为：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积的最大值是SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可表示直线，又SKIPIF1<0在圆上，则直线与圆有交点，所以圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离小于或等于半径SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据题意建立直角坐标系，将问题转化为动点到圆上的点的最值问题，直线与圆的位置关系求参数的问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（1）女生必须坐在一起坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)采用捆绑法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；【小问1详解】先将3个女生排在一起，有SKIPIF1<0种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有SKIPIF1<0种排法，由分步乘法计数原理，共有SKIPIF1<0(种)排法；【小问2详解】先将4个男生排好，有SKIPIF1<0种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有SKIPIF1<0种方法，故符合条件的排法共有SKIPIF1<0(种)；【小问3详解】先排甲、乙、丙以外的其他4人，有SKIPIF1<0种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有SKIPIF1<0种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有SKIPIF1<0种排法，故符合条件的排法共有SKIPIF1<0(种)；18.已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）求过点N与曲线C相切的直线方程；（3）曲线C与圆SKIPIF1<0相交于E，F两点，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设出点SKIPIF1<0，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案；（2）分类讨论过点N的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案；（3）根据两圆方程相减得出直线SKIPIF1<0所在的方程，即可根据圆的弦长求法得出答案.【小问1详解】设SKIPIF1<0，因为M满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【小问2详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，①过点SKIPIF1<0的直线斜率不存在时，直线方程为SKIPIF1<0，与圆C相切，符合题意；②直线的斜率存在时，设直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由直线到圆心的距离SKIPIF1<0得，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．综上，过点N与圆C相切得直线方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【小问3详解】圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于E、F两点，两个方程作差得直线SKIPIF1<0所在的方程为SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．19.如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，点E为SKIPIF1<0的中点．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（3）求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得SKIPIF1<0.（2）利用向量法求得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.（3）利用向量法求得点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【小问1详解】如图以点D为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【小问2详解】设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0．【小问3详解】点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．20.动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离比它到直线SKIPIF1<0的距离小SKIPIF1<0，设动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个不同的点，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别作曲线SKIPIF1<0的切线，且二者相交干点SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0的面积的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）证明见解析（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）将动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离转化为到直线SKIPIF1<0的距离，由抛物线的定义求解即可；（2）设过点SKIPIF1<0的直线方程，与曲线SKIPIF1<0方程联立，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再分别求出过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的切线和点SKIPIF1<0坐标，证明SKIPIF1<0即可；（3）由抛物线定义求出焦点弦长SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0进行计算，并求出最小值即可.【小问1详解】∵动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离比它到直线SKIPIF1<0的距离小SKIPIF1<0，∴动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上方，且动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离等于它到直线SKIPIF1<0的距离，∴由抛物线定义，动点SKIPIF1<0的轨迹曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为焦点，直线SKIPIF1<0为准线的抛物线，∴曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．【小问2详解】∵过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个不同的点，∴该直线斜率存在，设其方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的切线的斜率SKIPIF1<0，（也可以设切线方程为SKIPIF1<0与抛物线方程联立，令SKIPIF1<0求切线斜率SKIPIF1<0）∴曲线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可求得曲线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【小问3详解】由（2）及抛物线定义，SKIPIF1<0，由（3）∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，易知，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查学生的转化与化归思想、数形结合思想和数学运算能力等，通常采用设而不求的方法，联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理（根与系数的关系），结合题目中的几何背景进行求解.21.如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0的中点，M是棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值；（3）在线段SKIPIF1<0上是否存在一点M，使二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处【解析】【分析】（1）由面面垂直证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再证平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）以Q为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量法利用二面角建立方程求解.【小问1详解】证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0的中点，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．以Q为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦SKIPIF1<0．【小问3详解】假设存在点M，设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由（2）知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，因为二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故线段SKIPIF1<0上存在点M使二面角SKIPIF1<0大小为SKIP