专题05 二次函数的新定义问题专训（解析版）

专题05二次函数的新定义问题专训【精选最新40道二次函数的新定义问题专训】1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“好点”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】“好点”的横纵坐标相等，即：，，整理得：，，即可求解．【详解】解：“好点”的横纵坐标相等，，，，整理得：，，故当时，抛物线开口向上，且与轴没有交点，故上式成立，，解得：，故选：．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．2．（2021秋·广东广州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】画出的图象，根据“可控变点”的定义找出关于的函数图象，由此即可得出答案．【详解】解：画出的图象如图所示：

，根据“可控变点”的定义可得：将轴右侧的图象关于轴颠倒过来，即可得出“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致是

，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义，利用数形结合的思想解题．3．（2023·山东济南·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”；②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．【详解】解：①∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点，∵点A是点的“倍增点”，∴，解得：，∴，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点是点的“倍增点”，∴，整理得：，∵，∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点，∵点是点的“倍增点”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值为，∴的最小值是，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．4．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：，整理得，∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，∴∵对于任意实数总成立，∴整理得，∴∴，∴，或当时，解得，当时，此不等式组无解，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，，．函数的图象如图所示，则方程的根的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】设，再根据图象确定出的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可．【详解】解：解：设，则根据图象，且，结合图象可得可能为或0或1，所以当，则，则，所以当，则，则，（舍去），所以当，则，则，（舍去），综上所述：方程的根为0和，有2个，故选：B．【点睛】此题考查了新定义以及二次函数的图象性质，熟练掌握新定义运算法则是解本题的关键．6．（2023·广西·统考一模）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则n的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设在的函数图像上，则在上，联立组成关于的方程组，然后表示出，讨论关于的二次函数最大值即可求解．【详解】解：设在的函数图像上，则在上，∴∴当时，有最大值．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，将图中的求最值转化成了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像及性质是解题的关键．7．（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】A【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题．【详解】解：令，如图所示，则的值为函数较大的值，∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．联立方程 

解得∴时，解得，，当时，解得：∴当时，或故选：A【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键．8．（2023春·四川乐山·九年级统考期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），并写出下列结论：①图像与坐标轴的交点为，和；②图像具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4；⑥若点在该图像上，则当时，可以找到4个不同的点．其中正确结论的个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】由，和坐标都满足函数，①正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤不正确；根据函数解析式求得当时的自变量的值，从而可对⑥作出判断，可得出答案．【详解】解：①∵，和坐标都满足函数，故①正确；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，故②正确；③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确；④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，故④正确；⑤从图象上看，当或，函数值要大于，因此⑤不正确；⑥如图，由图象可知，函数图像与直线有四个交点，即当时，可以找到4个不同的点．故⑥正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点A、B，令，即，解得：或，∴A（，），B（，），观察图象可知：①当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，的最大值是．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键．10．（2022·湖南岳阳·统考二模）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有四个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．【详解】解：由y=0可知，抛物线与c轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，“非正变换”后的图像如下图所示：当x＜-3或c＞1时，由图像可得函数解析式仍为y=-x2-2x+3，当-3≤x≤1时，计算可得函数解析式为y=x2+2x-3．当直线与抛物线交于A点时，此时交点数为1；在AB点中间交点数为2；向下移动至B点时，交点数为3，再向下移动则交点为4；∴m＜-1．向下移动至与抛物线相切时交点为3，在这之前交点为4个．联立抛物线与直线，得x2+x-3-m=0，抛物线与直线只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，∴△=1-4×（-3-m)=0，∴m=-，∴m>-．综上，-<m＜-1．故选：A．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有四个不同公共点的条件是解题的关键．11．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为．【答案】0或【分析】先根据“特征数”的定义写出函数解析式，分与两种情况，分别求解．【详解】解：特征数为的函数解析式为，分两种情况：当时，，函数图象与x轴只有一个交点，符合题意，此时；当时，，若函数图象与x轴只有一个交点，则的根的判别式为0，即，解得，综上可知，a的值为0或，故答案为：0或．【点睛】本题考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．12．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．（1）若是“和谐点”，则．（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为．【答案】【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，则，∴，即，解得（不合题意，舍去），∴，故答案为：（2）设点为双曲线上的“和谐点”，∴，，即，∴，则，∵，∴，即，∵，∴，且，对抛物线来说，∵，∴开口向下，当时，，当时，，∵对称轴为，，∴当时，k取最大值为4，∴k的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．13．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是．

【答案】；且．【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围．【详解】解：由题知，抛物线的对称轴为，令，又，两点关于对称，所以，则．所以，．又，所以，得．故．将点坐标代入抛物线解析式得，，则．所以抛物线的函数表达式为．直线关于轴的对称直线为，

记直线与封闭区域的交点为，，则，解得或．故．所以的取值范围是且．故答案为：，且．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线关于轴的对称直线是解题的关键．14．（2023春·湖北·九年级专题练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④当时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是．（填序号）【答案】①②④【分析】①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，化简，令，得出的值，从而得出定点坐标，即可验证．【详解】解：因为函数的特征数为；①当时，，顶点坐标是；此结论正确；②当时，令，有，解得：，，，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④，令，解得：或，分别代入表达式，得或，则当时，函数必经过或两个定点，此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的；故答案为：①②④．【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数所经过的点，有一定综合性，难度一般．15．（2023·四川成都·校考三模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”，例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有（填序号）；若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，则的取值范围是．【答案】②③【分析】根据定义进行判断即可；在以点为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数的图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【详解】到坐标轴的距离分别是，，，不是反比例函数图象的“1阶方点”；到坐标轴的距离分别是，，，是反比例函数图象的“1阶方点”；到坐标轴的距离分别是，，，是反比例函数图象的“1阶方点”；故答题空1的答案为：②③．在以点为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数的图象的“阶方点”一定存在，如图

设，，，，当抛物线经过点时，；当抛物线经过点时，（舍去）或；当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在．故答题空2的答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数背景下新定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解本题的关键．16．（2023春·安徽·九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是．【答案】【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．【详解】解：∵，，∴，∴点的限变点是，∵点在二次函数的图象上，∴当时，，∴，当时，，∴当时，，综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．17．（2023·上海静安·校考一模）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标．【答案】【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可．【详解】∴∴解得：故答案为：【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎．18．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为．【答案】直线【分析】利用“相似抛物线”的定义结合相似三角形的性质列式求得线段，的长度，得到两点的坐标，即可求解．【详解】解：在中，令，则，∴，∴，∵，，∴，即，设，则，∵，∴，即，解得，∴，∴，∴，，∴此抛物线的对称轴为．故答案为：直线．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确理解“相似抛物线”的定义，掌握相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键．19．（2022秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以3为上确界的有上界函数，则实数．【答案】【分析】当时，，可得（舍）；当时，，可得（舍）；当时，，可得；当时，，可得（舍）．【详解】解：的对称轴为直线，当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍），综上所述：a的值为，故答案为：．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．20．（2022春·九年级课时练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y＜M，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）判断函数y＝（x＞0）是否为有界函数（填“是”或“否”）；（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若≤t≤1则m的取值范围是．【答案】否0m或m1【分析】（1）在x的取值范围内，y（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；（2）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，即可求解．【详解】解：（1）∵y（x＞0）的y无最大值，∴y（x＞0）不是有界函数，故答案为：否；（2）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t＞1，不合题意，故．∴函数y＝x2（，，当x＝﹣1时，ymax＝1，当x＝0时，ymin＝0，∴向下平移m个单位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，∵边界值t，∴1﹣m或﹣1﹣m，∴0m或m1，故答案为：0m或m1．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，结合新定义，弄清函数边界值的定义，熟悉平移变换的性质是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)(3)或【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当时，①设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设，则，当时，，∴点在的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设，则，把代入得，，即，∵图象恰有1个“n倍平点”，∴．∴．∵，∴．（3）当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．【答案】(1)直线，(2)①4；②或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，因为，所以设函数的友好同轴二次函数为，所以，解得，所以函数的友好同轴二次函数为，故答案为：直线，．（2）解：①二次函数，则设，所以，解得，所以，联立得：，解得或，当时，；当时，，所以，所以；②函数的对称轴为直线，（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为4，所以，解得，符合题设；（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为4，所以，解得，符合题设；综上，的值为或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线．(2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)最小值为【分析】（1）根据同弦抛物线的定义即可得；（2）先根据同弦抛物线的定义可设抛物线的解析式为（且），将点代入可求出的值，再根据二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：抛物线与抛物线：为同弦抛物线，抛物线的函数解析式为．（2）解：由题意可设抛物线的解析式为（且），将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，由二次函数的性质可知，当时，抛物线对应函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂同弦抛物线的定义，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点和为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．(1)下列函数：①；②；③，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填序号）(2)直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称点”，若，求k的值；(3)抛物线上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)①②③(2)(3)存在，中点坐标为或【分析】(1)根据定义，把点，分别代入函数解析式，解方程组即可；(2)根据题意，用的代数式将坐标表示出来，然后根据列出方程求出即可；(3)假设存在一对“反射对称点”，，由此得到线段中点坐标为，再将，两点代入中联立方程组求出的值即可．【详解】（1）解：对于，若，是一对“反射对称点”，则，得到，此时方程组有无数组解，∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；对于，若，是一对“反射对称点”，则，得到，此时方程组有无数组解，∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；对于函数，若，是一对“反射对称点”，则，得到，∴函数图像上存在唯一一对“反射对称点”，故答案为：①②③；（2）解：联立方程组，∴，∴，∵且点在第一象限，∴，∵点和点为一对“反射对称点”，∴，设直线解析式为，代入两点坐标，∴，解得，∴直线解析式为，设直线与轴交于点，过作于点，过作于点，如下图所示，则，∴整理得到：，又已知，∴，解得；（3）解：假设抛物线上存在一对“反射对称点”，，则线段的中点坐标为，∴，①－②并整理得到：，当即时，回代方程①得到，解得或，若此时重合，舍去；若时，，线段中点坐标为；当时，即时，回代方程①得到，解得或，当时，，此时，，此时线段中点坐标为；当时，，此时，，此时线段中点坐标为；综上所述，线段中点坐标为或．【点睛】本题是反比例函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，能理解应用新定义是解题的关键．25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是，下边界值是．所以这个函数是“有界函数”，边界差为．(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函数（为常数，且），当时，这个函数的边界差为2，求的值；(3)若关于x的函数（为常数）经过点，当时，其边界差为1，求t的值．【答案】(1)①√；②×；③×(2)(3)2或3【分析】（1）根据“有界函数”的定义结合各函数解析式判断即可；（2）分类讨论：当时和当时，结合一次函数的性质解答即可；（3）将点代入，可求出m的值，从而得出．分别求出当，时，y．再分类讨论：当，即时；当时；当，且，即时；当，且，即时，根据二次函数的图象和性质结合“边界差”的定义，可分别得出关于t的等式，解出t即可．【详解】（1）解：①对于，∵，∴当时，y随x的增大而增大，∴有最大值和最小值，∴是“有界函数”．故答案为：；②对于，总有，∴不是“有界函数”．故答案为：；③对于，总有，∴不是“有界函数”．故答案为：；（2）解：当时，当时，y随x的增大而增大，∴有上边界值，有下边界值，∴边界差为，∵这个函数的边界差为2，∴，即；当时，当时，y随x的增大而减小，∴有上边界值，有下边界值，∴边界差为，∵这个函数的边界差为2，∴，即；综上所述：k的值为；（3）解：将点代入，得：，解得：，．当时，，当时，，当时，．∵其边界差为1，当，即时，，解得：（舍去）；当时，，解得：（舍去）；当，且，即时，，解得：或4（舍去）；当，且，即时，，或1（舍去），综上所述：或3．【点睛】本题考查对新定义的理解，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“有界函数”和“边界差”的定义是解题关键．26．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）阅读与理解定义新运算：若，则；若，则；(1)已知，求；(2)已知，令，求y，并思考的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．【答案】(1)16(2)，两图象相交，理由见详解【分析】（1）根据，代入数据即可求出结论；（2）根据、结合即可得出关于的函数关系式，将其代入中整理得，再根据根的判别式，即可得出的函数图象与一次函数的图象相交．【详解】（1）解：，，．（2）解：两函数图象相交．理由如下：，，．将代入，整理得：．，方程有两个不相等的实数根，两函数图象相交．【点睛】本题考查了根的判别式以及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是：（1）根据定义式代入数据求值；（2）利用根的判别式，得出的函数图象与一次函数的图象相交．27．（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或．【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：(1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象．(2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；(3)设，且，求m．【答案】(1)见解析(2)，(3)【分析】（1）画出函数和函数的图象；（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；（3）利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解，得或，，，故答案为：，；（3），，．【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．28．（2023春·广东深圳·九年级统考阶段练习）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线关于轴的矢高是4，当时，，解得：，∴点，∴跨径是，∴矢跨比是；故答案为：4；4；1②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，∴抛物线经过点的矢高是，∵与抛物线开口方向与大小一样，∴可设该抛物线解析式为，把点代入得：，解得：（舍去）或3，∴该抛物线解析式为，当时，，解得：或2，∴该抛物线与x轴的另一个交点为，∴该抛物线的跨径是，∴它关于轴的矢跨比是；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，∴第一条抛物线的解析式为，对于，顶点坐标为，当时，，∴第二条抛物线的跨径是，对于，当时，，∴第一条抛物线的跨径是，∵，∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；故答案为：【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，∴主跨的矢高是米，根据题意得：，解得：，∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，∴边跨的矢高是米，∴边跨的矢跨比是．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．29．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）定义：若一次函数与反比例函数满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“守正创新函数”．(1)一次函数与反比例函数是否存在“守正创新函数”？如果存在，写出其“守正创新函数”；如果不存在，请说明理由；(2)若一次函数与反比例函数存在“守正创新函数”，且该“守正创新函数”的图像与直线有唯一交点，求的值；(3)若一次函数与反比例函数的“守正创新函数”的图像与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围．【答案】(1)存在，(2)，(3)【分析】（1）根据定义新运算的规则即可求解；（2）根据题意，确定“守正创新函数”的解析式，根据有交点，韦达定理即可计算出的值；（3）根据题意，确定“守正创新函数”的解析式，根据与轴有两个交点，根据韦达定理，求根公式，三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：存在，理由如下，一次函数与反比例函数中，∵，，，∴，即满足，∴存在“守正创新函数”为．（2）解：∵，∴，∴，∴“守正创新函数”为，∵该“守正创新函数”的图像与直线有唯一交点，∴，即有两个相等的实数根，∴，即，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴“守正创新函数”为，∴，∴，∴，，∴，又三角形高为，∴，∵，，∴，，当时，，时，，∴的面积的变化范围为．【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握一元二次方程中根与系数的关系，求根公式等知识是解题的关键．30．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；（2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；（3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：存在“等距点”令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或．综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或（2）令，解得，则，∴令，解得，则，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．当或时，此时在一、三象限有2个“等距点”．令，整理得，当或时，此时在二四象限有2个“等距点”．∵函数图象恰存在个“等距点”∴或．【点睛】题目主要考查新定义题型的理解，包括一次函数，二次函数及反比例函数，理解题意是解题关键．31．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）定义：点是轴上一点，将函数的图像位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数l′的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数l的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为．(1)如图，函数的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为；(2)函数l的表达式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标；(3)函数的表达式为．①已知点的坐标分别为、，当，且图像与线段只有一个共点时，结合函数图像，求的取值范围；②若，点是图像上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．【答案】(1)(2)该点的横坐标为或2(3)①的取值范围是或或；②的取值范围是或【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；（2）先写出图象的解析式，再分别将代入，解得值，即可得出该点的横坐标；（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象的解析式，把或或代入，求得的值，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当图象与线段只有一个公共点时，当图象的顶点在线段上时，图象与线段只有一个公共点时，当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，综合得出结论即可；②由得，令可求出的值，当时，的最大值始终保持不变，当的最大值始终为4时，当的最大值为0时，综合得出结论即可．【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为，故答案为：；（2）解：函数的解析式为，当时，图象上的解析式为：，把分别代入，得：或，或，该点的横坐标为或2．（3）解：①函数的解析式为，图象的函数解析式为，把代入，得；把代入，得；把代入，得．图象的顶点坐标为．当图象与线段只有一个公共点时，如图由题意，得，解得．当图象的顶点在线段上时，图象与线段只有一个公共点时，如图图象的顶点坐标为，，即．当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图由题意，得，解得．综上所述，的取值范围是或或；②，，令，则，解得，，与轴交于，，，的顶点坐标为，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，当的最大值始终为4时，，解得；当的最大值为0时，，解得，的取值范围是或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．32．（2023春·四川自贡·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．(1)点的限变点的坐标是；(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)(2)点B是函数图象上某一个点的限变点，理由见解析(3)或【分析】（1）根据限变点的定义进行求解即可；（2）先分别假设A、B是函数图象上某一个点的限变点，进而求出函数图象上对应点的坐标，看该点是否在函数图象上即可；（3）根据题意可得图象上的点P的关联点必在函数的图象上，然后结合函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵，∴点的限变点的坐标是，故答案为：（2）解：点B是函数图象上某一个点的限变点，理由如下：∵，∴若点A是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，又∵不在函数图象上，∴点A不是函数图象上某一个点的限变点；∵，∴若点B是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，又∵在函数图象上，∴点B是函数图象上某一个点的限变点；（3）解：由题意得，图象上的点P的关联点必在函数的图象上，∵，∴或．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数与几何综合等等，正确理解题意是解题的关键．33．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________；(2)若二次函数M的5阶变换的关系式为．①二次函数M的解析式为___________；②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式；（2）①将向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解；②先求出直线的函数表达式，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，证明，设点，则点，表示出，即可求解．【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为，则该点关于原点的对称点为，∴这个抛物线的2阶变换的表达式为，故答案为：，；（2）①∵，∴，∴的顶点坐标为，∴二次函数M的顶点坐标为，∴二次函数M的解析式为；故答案为：；②令，解得或0，∴，设直线的解析式为，把和的坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，∵，如图，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，当时，，∴，∴，∴，∴，设点，则点，∴，∴当时，最小，最小值为，∴当时，最小，此时，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移等，综合性强，难度适中，熟练掌握知识点是解题的关键．34．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点绕原点顺时针旋转，恰好落在函数图象上，则称点为函数图象的“直旋点”．例如，点是函数图象的“直旋点”．(1)在①，②，③三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有_____（填序号）；(2)若点为反比例函数图象的“直旋点”，求的值；(3)二次函数与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，求点坐标．【答案】(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分别写出三个点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标，逐个验证是否在一次函数图象上即可；（2）把点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标代入即可得到答案；（3）先求出点A、B、C的坐标，再求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，根据点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到点D的坐标．【详解】（1）解：①绕原点顺时针旋转得到，当时，，故不是一次函数图象的“直旋点”，②绕原点顺时针旋转得到，当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，③绕原点顺时针旋转得到，当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，故答案为：②③（2）点绕原点顺时针旋转得到，∵点为反比例函数图象的“直旋点”，∴点满足，代入可得，，解得；（3）当时，，解得∴点，当时，，∴点,设直线的解析式为，则解得，∴直线的解析式为，设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，∵点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，∴点在二次函数图象上，在直线上，∴，解得，，∴点坐标为或【点睛】此题考查了反比例函数、一次函数、二次函数、待定系数法、点的旋转等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．35．（2023·湖南怀化·统考三模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．(1)分別判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；(2)设函数（），的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值：(3)若函数（）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．【答案】(1)函数的图象上不存在“等值点”，函数的图象上有两个“等值点”或(2)的值为或(3)或【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可；（3）先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】（1）解：在中，令，得不成立，函数的图象上不存在“等值点”；在中，令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或；（2）解：在函数中，令，解得：，，在函数中，令，解得：，，轴，，，的面积为3，，当时，，解得，当时，，，方程没有实数根，当时，，解得：，综上所述，的值为或；（3）解：令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或，①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或，，，令，整理得：，的图象上不存在“等值点”，，，，②当时，有3个“等值点”、、，

③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，

④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”，

⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，

综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．36．（2023·浙江金华·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．(3)以如正方形的顶点分别为：，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知“迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴则点、关于直线的对称点为，，设直线关于直线的对称直线为，则，解得，∴直线为，∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；故答案为：（2），∴的顶点坐标为当时，解得：，，即与轴交点为、若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，当与是关于直线对称时，，当与是关于直线对称时，，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，故答案为：或．（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：

∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．②如图：

若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I．当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，II．当时，“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，III．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，即：时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，∴．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．37．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，∴矩形“梦之点”满足，，∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，故答案为：，；（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，∴把代入得，∴，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线上，联立，解得或，∴，∴直线的解析式是，函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；故答案为：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，∴联立，解得或，∴，，∵∴顶点，∴，，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．38．（2023·江西新余·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．①当时，求点的坐标．②若直线与直线