轴对称题型讲解及综合练习

./轴对称A档〔巩固专练1．下列图形中,恰好有两条对称轴的是〔A．正六边形B．矩形C．等腰梯形D．圆2．剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法很多,下面是一种剪纸方法的图示〔如图1,先将纸折叠,然后再剪,展开即得到图案：图2中的四个图案,不能用上述方法剪出的是〔图1图23．已知A、B两点的坐标分别是〔－1,2和〔1,2,则下面四个结论：①A、B两点关于x轴对称；②A、B两点关于y轴对称；③A、B两点关于原点对称；④A、B两点之间的距离为2,其中正确的有〔A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点．已知、是两格点,如果也是图中的格点,且使得为等腰三角形,则点的个数是〔A．6 B．7 C．8 D．9、第1第10题图5．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为〔A．200B．1200C．200或1200D．3606.等腰三角形一腰的中线把周长分成33cm和24cm两部分,则它的腰长〔cmA13B、16C、22D、16或227.如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连结OC、FG,则下列结论：①AE＝BD②AG＝BF③FG∥BE④∠BOC＝∠EOC,其中正确结论的个数〔A.1个B.2个C.3个D.4个第7题第8题第9题8.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置．若∠EFB＝65°,则∠AED′等于〔A．70°B．65°C．50°D．25°9.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°。线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于〔A．80°B．70°C．60°D．50°B档〔提升精练10.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为．11.已知A<2m+n,2>,B<1,n-m>,若A、B关于x轴对称,则m=,n=．12.已知点M<1-a,2a+2>,若点M关于x轴的对称点在第三象限,则a的取值范围是．13.已知等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数是．14.如图,三角形纸片,,沿过点的直线折叠这个三角形,使顶点落在边上的点处,折痕为,则的周长为______cm．15.如果等腰三角形的三边长均为整数,且它的周长为10cm,那么它的三边长分别为.16.认真观察下图中的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题：〔1请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________．〔2请在图中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征17．如图,小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积,用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积……,由此可得,第8个正△A8B8C8的面积是．C档〔跨越导练18.在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.19．如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N,求证：CM=2BM．20.如图,CE,CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACG,EF//BC,EF交AC于D。试问DF=DE吗？请说出你的理由。21.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点.〔1写出点D到ΔABC三个顶点A、B、C的距离的关系〔不要求证明〔2如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论22.如图,△ABC中,∠BAC=900,D是△ABC内一点,若BD=AB=AC,∠ABD=300,求证：AD=DC23.如图,△ABC中,AB=AC,D是形外一点,且∠ABD=600,∠ACD=600,猜想BD,DC与AB之间有什么关系.并证明你的结论.24.如图,△ABC为等边三角形,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE,求证:CE=DE.25.△ABC中,∠C=900,AC=BC,D为BC上一点,BE⊥AD于E点,且AD=2BE.求证：AD平分∠BAC26.已知：如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。请问：DE⊥BC成立吗？27.如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点．〔1如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等？〔2若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AAQCDBP28.已知：A、B两点在直线l的同侧,试分别画出符合条件的点M．〔1如图1,在l上求作一点M,使得｜AM－BM｜最小；作法：〔2如图2,在l上求作一点M,使得｜AM－BM｜最大；作法：〔3如图3,在l上求作一点M,使得AM＋BM最小．例1.如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。例2.如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=CF。求证：DE=DF。例3.△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ。例4.如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。轴对称综合参考答案例1.证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE。又因为AD是BC边上的中线,∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。例2.证明：过E作EG//AC交BC于G,则∠EGB=∠ACB,又AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,∴EB=EG=CF,∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,∴DE=DF。例3.证明：过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=OB,∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。例4.证明：在CD上截取CF=BC,如图乙∴△FCE≌△BCE〔SAS,∴∠2=∠1。又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4。在△FDE与△ADE中,∴△FDE≌△ADE〔ASA,∴DF=DA,∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC。A档〔巩固专练1.B2.C3.B4.C5.C6.D7.D8.C9.CB档〔提升精练10.611.1,-112.13.55°,55°或70°,40°14.915.3cm,3cm,4cm或4cm,4cm,2cm16．〔1特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等〔2满足条件的图形有很多,只要画正确一个,都可以得满分．

17.C档〔跨越导练18.在CD上截取DE=DB,连接AE,∵AD⊥BC,∴AE=AB.∴∠B=∠AEB.又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C,∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.∴AB+BD=CD.19.证法1：如答图所示,连接AM,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵MN是AB的垂直平分线,∴BM=AM,∴∠BAM=∠B=30°,∴∠MAC=90°,∴CM=2AM,∴CM=2BM．证法二：如答图所示,过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线,∴N是AB的中点．∵AD∥MN,∴M是BD的中点,即BM=MD．∵AC=AB,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵∠BAD=∠BNM=90°,∴AD=BD=BM=MD,又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°,∴∠CAD=∠C,∴AD=DC,BM=MD=DC,∴CM=2BM．20.分别证明DE=DC,DF=DC,所以DE=DF21.<1>DA=DB=DC<2>△DMN为等腰直角三角形证明：连结AD∵∠DBA=∠DAC=45°,BM=AN,BD=AD∴△DBM全等于△DAN∴DM=DN,∠BDM=∠ADN∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°∴∠BDM+∠CDN=90°∴∠MDN=90°22.分析：见到300角,最好将它放到某个直角三角形中。证明：作AE⊥BD于E,DF⊥AC于F。在Rt△ABE中,∠ABD=300,得,由BD=AB=AC,得∠BAD=∠BDA,由∠ABD=300,得∠BAD=∠BDA=750,则∠DAC=900-750=150,又DF⊥AC,则∠FDA=900-750=150,即DA平分∠FDE,得AE=AF则又DF⊥AC则AD=DC23.分析：见到600的角,应该想到将其放到某个等腰三角形中。由∠ABD=600,可构造等边三角形△ABE,或等边三角形△BDM由∠ACD=600,可构造等边三角形△ACN,或等边三角形△CDP解：经过测量,猜想BD+DC=AB,下面来证明这个结论。延长BD至E,使BE=AB,连接AE,CE。如图〔4-2由∠ABD=600,BE=AB,得到△ABE是等边三角形。即AB=BE=AE,∠AEB=600,已知∠ACD=600,得∠ACD=∠AEB,又AB=AC,则,AE=AC,则∠ACE=∠AEC,所以∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB,即∠DCE=∠DEC,则CD=DE所以BD+DC=BD+DE=BE=AB24.分析:如果CE=DE,那么CE和DE是关于CD的中垂线对称的两条线段,我们依照"补齐"图形的原则,延长BD到F,使DF=BC,补成一个轴对称图形即等边三角形EBF,只要证明△EBC≌△EFD就可以了.证明:延长BD到F,使DF=BC,连结EF.∵△ABC是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=60°,∴BE=BA+AE=BC+BD=BD+DF,∴BE=BF∴△EBF为等腰三角形,又∵∠ABC=60°∴△EBF为等边三角形,∴∠ABC=∠EFB.在△EBC和△EFD中,BE=FE,∠EBC=∠EFD=60°,BC=DF,∴△EBC≌△EFD,∴CE=ED.25.要证明AD平分∠BAC,只要说明AD所在直线是轴对称图形的对称轴,但题中所给图形不是以AD所在直线为对称轴的轴对称图形,因此考虑把图形补全,使之成为以AD所在直线为对称轴的轴对称图形。于是添加如图所示的辅助线。这里的两条辅助线的添加由于有意识地运用对称的概念和性质,就变得很自然,很容易了。26.延长DE交BC于F点。证明：因为AD=AE所以：∠D=∠AED=∠FEC而∠BAC=∠D+∠AED所以：∠FEC=∠BAC又因