初中数学余弦综合强化练习

初中数学余弦综合强化练习

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.如图，AMC的顶点是正方形网格的格点，则cosN/WC的值为（）

2.在中，/C=90°,cosB=j,则tanA的值为（）

A.2百B.2百C.—D.

43

3.菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1：2,则较长的对角线的长度

是（）

A.20cmB.56cmC.—>/3cmD.5cm

2

4.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=26以AD的中点。为圆心的圆与边8c

相切于点E与边ASCO分别交于点M,N,连结OM,ON,则MN的长为

()

|27M4

A.-7TB.-71C.—KD.一兀

3333

5.如图，在RtaAfiC中,8。是斜边AC上的高，AB^BC,则下列比值中等于sinA

的是（）.

B

ADBDBDDC

A.nB.-----D.

ADBC~BC

6.在孜△ABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,则()

A.sinA=9

B.cosA=—

45

C.cosB=—D.tanB=|

4

7.如图，尸为等边aABC外的一个动点（尸点与A点分别在3C所在直线的不同侧）,

且NAP8=60。，A8=l,则P8+PC的最大值为（）

B速©空

'~''I-

8.如图，。。是A45C的外接圆，CD是。。的直径.若CD=10,弦AC=6,则

cosN/WC的值为（）

9.如图，在边长为5的菱形A8C3中，对角线AC=8,DELAB于点、E,DEAC

交于点F,贝UcosN。尸C的值为（）

D

B

10.如图所示，点。为AABC的内心，NB=50。，BC<AB,点M,N分别为AB,BC

上的点，且ON=OM.甲、乙、丙三位同学有如下判断：

甲：/MON=130。；

乙：四边形OMBN的面积是逐渐变化的；

丙：当。N_LBC时，AMON周长取得最小值.

其中正确的是（）

A.只有甲正确B.只有甲、丙正确

C.只有甲、乙正确D.甲、乙、丙都正确

二、填空题

11.如图，在菱形纸片ABC力中，AB=2,Z4=60°,将菱形纸片翻折，使点A落在

CD的中点E处，折痕为EG,点尸，G分别在边48,AD上，则EF的长为

12.如图，在等腰AABO中，AO=AB,OB=6,以08为半径作。。交AB于点C,

若BC=4,则cosA=

A

13.如图是北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔，此设计体现了环保低碳理念,

它的主体形状呈正六边形，若点4,B,C是正六边形的三个顶点，则cosZABC=

A

?x>0)

14.已知函数>=；的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P

-%x<0)

作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接。A、0B.若NAOB=90。，则cosA=

15.如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①，②，③，④四块后，拼接成如图2不

重叠、无缝隙的正方形ABC。，则图2中cosa的值为,图1中环的长为

16.如图，在边长为6的等边AABC中，点E,F分别是边AC,BC上的动点，且AE

=CF,连接BE,4尸交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

三、解答题

17.计算：-(e-2『+4cos45°.

18.已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=8cm,AC=4cm,CD为AB边

上的高，点。从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点尸从点8出

发，沿8A方向匀速运动，速度为2cm/s.设运动时间为心)(0<f<4).

解答下列问题：

(1)当f为何值时，PQ//BC.

(2)当P。中点在CQ上时，求r的值；

(3)设四边形QMC的面积为S(cm2),求S与f的函数关系式，并求S最小值;

(4)是否存在某一时刻,,使得PQ=PC,若存在，求出，的值；若不存在，请说明理

由.

3

19.如图，AABC中，AB=AC=10,cos4=g,点。为BC上一动点，DE//AC,

。尸〃45,点。关于直线EF的对称点为“，连接，E、HF.

备用图

(1)求DE+DF的值；

(2)若〃F_LAB,求。E长；

(3)连接OH,点。在运动过程中，求A。A/周长的最大值，并求出此时DE长.

20.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，求/8AC的余弦值.

21.如图，△ABC内接于。O,AD平分/BAC交BC边于点E,交。O于点D,过点

A作AFJ_BC于点F,设。。的半径为R,AF=h.

(1)过点D作直线MN〃BC,求证：MN是。O的切线；

(2)求证：AB«AC=2R«h；

ARA-AC

(3)设NBAC=2a,求二：的值(用含a的代数式表示).

AD

22.已知/MPN的两边分别与。。相切于点A,B,。。的半径为

图1图2(备用图)

(1)如图I,点C在点A,8之间的优弧上，NMPN=80。,求N4C8的度数：

(2)如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，NAPB的度

数应为多少？请说明理由；

(3)若PC交。。于点。，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示),

23.如图，是。。的直径，点C在。。上且不与点A,8重合，是。。的切线,

过点8作8DL8于点。，交。。于点E.

(1)证明：点C是斗E的中点；

(2)若BD=4,cosZAB£>=p求G)O的半径.

24.如图，AABC是直角三角形，NAC8=90。.

(1)在A8上作一点。，使得CDJ_AB(要求尺规作图，不写做法，保留作图狼迹);

⑵在(1)的条件下，若。£>=26,/8=30。，求AB的长.

25.如图，AA8C中，AB=AC,点。为8c上一点，且AO=DC,过A,B,。三

点作。。，AE是。。的直径，连接力E.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若cosC=|,AC=2,求直径4E的长.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

作AOLBC于。，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可.

【详解】

解：作A。，8c于。，

由图可知:AD=3,BD=3,

在RmABD中，AB=^AD2+BD2=>/32+32=3>/2，

.…ZABC=—：£,

AB3V22

故选：B.

此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题

的关键.

2.C

【解析】

【分析】

根据cos8=g,设4B=3x,BC=x,勾股定理求出AC,根据三角函数的定义求tanA即可.

【详解】

解：•在RtZXABC中，NC=90°,cosB=—=-,

AB3

设AB=3x,BC=x,

则AC=4AB°-BC/=J(3xC-J=2衣x,

AC2V2x4

答案第1页，共32页

故选：c.

A

CB

【点睛】

本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角

函数的意义计算.

3.B

【解析】

【分析】

根据题意和菱形的性质得菱形的边长为5cm,较小的角为60。，即'0=30。，AB=5,

根据三角函数得8。=亚，即可得.

2

【详解】

解：：菱形的周长为20cm,

.••菱形的边长为5cm,

•••菱形的两个邻角之比为1：2,

二较小的角为60。，

如图所示，

VZABO^30°,AB=5,

/.最长边为BD,BO=AB.cosAABO=5^—=—(cm),

22

/.BD=2BO=5x/3(cm),

故选:B.

【点睛】

答案第2页，共32页

本题考查了菱形的性质和特殊的三角函数值，解题的关键是掌握这些知识点.

4.D

【解析】

【分析】

连接0E,根据。。与边8c相切于点E,可得NOEB=90。，从而得到四边形A0E3是矩

形，从而得到OW=ON=OE=2,再由4£>=2G，可得OA=g,再利用锐角三角函数可

得NAOM=30。，再证得AOMgR/ADON,可得NAOM=N£»ON=30。，从而得到

NMON=120。,再根据弧长公式，即可求解.

【详解】

如图，连接OE,

•••。0与边BC相切于点E,

：.BC±OE,

：.ZOEB=90°,

•.•四边形A8C。是矩形，

,NA=NB=90。，

.•.四边形A。仍是矩形，

OE=4B=2,

：.OM=ON=OE=2,

,:AD=26。为的中点，

OA=；A£>=Jx2G=G，

•.OA也

..co/sAZnAO4M==——，

OM2

：.ZAOM=30°,

VZA=Z£>=90°,OM=ON,OA=OD,

答案第3页，共32页

・,.•△AOM^RSDON(HL),

AZAOM=NQON=30。，

ANMON=180。-30°-30°=120°,

.,120x1x24

.•/=---------=一兀,

1803

4

MN的长为37r.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了矩形的判定和性质，求弧长公式，锐角三角函数，切线的性质等知识，熟

练掌握矩形的判定和性质，求弧长公式，锐角三角函数，切线的性质等知识是解题的关

键.

5.D

【解析】

【分析】

由同角的余角相等求得NA=/O8C,根据正弦三角函数的定义判断即可；

【详解】

解：：乙4B£)+/A=90。，ZABD+ZDBC=90°,

：.ZA^ZDBC,

An

A.--=cosA,不符合题意；

AB

B.g2=tanA,不符合题意；

AD

BD

C.=cosZDBC=cosA,不符合题意；

nr

D.—=sinZDBC=sinA,符合题意；

BC

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键.

6.B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出48,再根据锐角三角函数的定义求出sin/1,cosA,cosB和lanB即可.

答案第4页，共32页

【详解】

解：由勾股定理得：1=3,

4

所以sinA=——=-,cosA=—-=—,cosB=—■=

AB5AB5AB3

即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误:

故选:B.

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关

键.

7.C

【解析】

【分析】

NAPB=60。，则点尸一定在△ABC的外接圆。。的劣弧BC上，取PO=PC,连接CD,再

证明△C£)P也是等边三角形，即可证明△BPC丝ZVIOC(SAS),得到AP=AO+PQ=BP+

PC,所以当AP为。。的直径时，PB+PC的值最大，再求出△A8C的外接圆。。的直

径，即可得到答案.

【详解】

解：•••△ABC为等边三角形，

二ZACB=60°

'：ZAPB=60°

：.NAPB=NACB=60°,

；•点A,点8,点C,点P四点共圆，

•••点P与点A在直线BC两侧，

...点尸一定在△ABC的外接圆。0的劣弧BC上，

如图，取尸。=PC,连接C。，

答案第5页，共32页

,•.△ABC是等边三角形

/.ZABC=ZACB=ZBAC=60°,BC=AC=AB=\

・・・△CO尸也是等边三角形

:・PC=DC,ZPCD=60°

・・・/PCD-NBCD=ZACB-ZBCD

：.ZBPC=ZACD

在48PC和△4OC中，

BC=AC

<NBPC=ZACD

PC=DC

:•△BPC0/\ADC(SAS)

：.AD=BP

：.AP=AD+PD=BP+PC

当AP为。。的直径时，P8+PC的值最大，

连接03,0C,作0”，3c于点”，则N3OC=2NA4C=120。

,/OB=OC

•••△08C是等腰三角形

：.ZOBC=^(180°-ZBOC)=30°,BH=CH=^BC=^

・BHBHV3

cosZOBCcos3003

即。。的半径为立，直径为毡，

33

PB+PC的最大值为2叵.

3

故选：C

【点睛】

此题考查了等边三角形的判定和性质、等边三角形的外接圆、全等三角形的判定和性质、

锐角三角函数等知识，找到当AP为。。的直径时，PB+PC的值最大是解答此题的关键.

答案第6页，共32页

8.A

【解析】

【分析】

连接A。，根据直径所对的圆周角等于90。和勾股定理，可以求得的长，然后即可求得

NADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到/ABC=/ADC,从而可以得

到cosNABC的值.

【详解】

解：连接AQ,如右图所示，

•.•CO是。。的直径，CD=\0,弦AC=6,

ZDAC=90°,

AD=yjcD2-AC2=8，

•人A/)84

••cosAADC=---=—=—,

CD105

VZABC=ZADCf

4

・・・cosNABC的值为不，

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是

求出COS/4。。的值，利用数形结合的思想解答.

9.C

【解析】

【分析】

设AC,。〃相交于点。，根据菱形的性质可得AC_LB£>,AO=:AC=4,8O=(8O,

22

AB=AD=5,AB//CD,从而得到0£>=0B=3,NOOF+/Z)FC=90。，再由£>E_LC£),可得

ZDFC=ZCDO,再利用锐角三角函数，即可求解.

答案第7页，共32页

【详解】

解：如图，设AC,OB相交于点0

•.•四边形A8CD是菱形，边长为5,

ACJ_BD,AO=—AC—4,BO——BD,AB=AD=5,AB//CD>

22

NAOB=90。，

/.0D=0B=3,NODF+NDFC=90。,

,:DELAB,

：.DE±CDf

：.NODF+NC。。=90。，

:・/DFC=/CDO,

VcosZCDO=—=-,

CD5

3

/.cosZDFC=—.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用锐角三角函数解

直角三角形是解题的关键.

【解析】

【分析】

过点。作。力，6C,O£，A6于点。，E,根据三角形内心可得OD=OE,然后证明

VDON4/EOM,可得NOOE=NMON=130。，根据VQCW二VEOM得到四边形OMBN的

面积=2SV58,根据点。的位置固定，可得四边形0M8N的面积是定值，过点。作

答案第8页，共32页

OP，MN于点F,根据ON=OM,NMON=130。可得

ZOMW=25°,MN=2NF=2ONcos250,所以AWON的周长=2O7V(cos250+1),可得当

ON最小时，即当ON_LBC时，△MON的周长取得最小值，据此解题.

【详解】

解：如图，过点。作。£＞，8仁0£_1/18于点£),E,连接OB,

•••O点是AABC的内心，

.•.03是ZABC的平分线，

：.OD=OE

ZABC=50°

NDOE=360°-90°-90°-50°=130°

在Rt/\DON与R於EOM中，

[ON=OM

\OD=OE

：.RNDON出RtVEOM(HL),

，NDON=NEOM,

：.ZDON+ZEON=ZEOM+ZEON,

:.ZDOE=ZMON=\30°,故甲的判断正确;

答案第9页，共32页

QVDON=V£OA7

四边形OMBN的面积=四边形DOEB的面积=25丫83

•・•点。的位置固定，

，四边形OMBN的面积是定值，故乙的判断错误；

如图，过点。作OF_LMN于点F,

QON=OM,NMON=130°

180°-130°

20NM=25°

2

MN=2NF=20^cos25°

/\MON的周长=MN+ION=IONcos25O+2ON=2ON(cos250+1)

・•・当ON最小时，即当△用CW的周长取最小值，即此时0N_L8C,故丙的判断正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形内切圆于内心、等腰三角形的判定、余弦、全等三角形的判定与性质，有

点难度，掌握相关知识是解题关键.

11.1

4

【解析】

【分析】

连接BE,BD,根据菱形的性质可得△BCD是等边三角形，结合E是8的中点，可得

DE,BE,再根据CD〃A8可得BEL4B,利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：如图，连接BE,BD,

答案第10页，共32页

•.•四边形ABC。是菱形，ZA=60°,

:.AB=BC=CD=2,NA=NC=60°,

...△8CQ是等边三角形，

是CQ的中点，

:.DE=CE=l,BEA.CD,NEBC=30。,

：.BE=BCxcosNEBC=2x且=百，

2

'：CD//AB,BELCD,

C.BELAB,

由折叠的性质可得AF=EF,

在RtABEF中，EF,=BET+BF2，

E尸=(由『+(AB_EF)2,即E/2=3+(2-E/解得所=(,

q・7

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，余弦等知识，解题的关键是根据

题意作出辅助线.

12.-

9

【解析】

【分析】

连接0C,可证明△OBCSZXABO,得到NBOC=/A,再过点C作CHLOB,垂足为H,

则NOHC=NB”C=90。设OH=x,则H8=6-x,由勾股定理得6-x=4-(6-x),

求出x,求得cosNCOH,得到答案.

【详解】

答案第11页，共32页

解：连接oc,

,/OC=OB,

：.ZOCB=ZBf

U：AO=AB,

：.ZAOB=ZBf

：.ZOCB=ZAOBf

*：ZOBC=ZABO

.•.△OBCS/XABO,

AZBOC=NA,

过点C作CH_LO8,垂足为H,则NO”C=NBHC=90。

设O”=x,则"8=6-JG

由勾股定理得

OC2-OH2=CH2=BC2-BH2

A6-x=4-(6-x),

解得x=与，

在??£△OHC中，

14

cosZCOH=OH37,

OC-T-9

,：ZBOC=ZAf

・47

・・cosA=—

9

、7

故答案：

【点睛】

答案第12页，共32页

本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、圆的性质等

知识，添加合适的辅助线是解题的关键.

13.

【解析】

【分析】

由三角形的内角和公式，等边三角形的性质可以得出/ABC的度数，再求余弦，即可得

出.

【详解】

如图所示：连接AB,BC,AC得到△ABC,

,:AB=BC=AC

.♦.△ABC为等边三角形；

NABC=60。，

cosZABC=cos60°=；

故答案为：y

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和特殊角的三角函数值，解题的关键是等边三角形的性质可

以得出NABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可得出.

14.巫

5

【解析】

【分析】

设P（。⑺,得至B（—,ml推出P5=空,PA=~,OP=m,易得

\m）\tn）mm

答案第13页，共32页

△OPBs^APO,可得0P2=尸8•尸A,列出方程求出m=指，即可得到点A和点3的坐

标，进而求出A0和A8的长度，最后利用锐角三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

解：设尸（0,机），

则—，团>'[京，加｝

/.PB=—,PA=—,OP=m.

mm

VZA（9B=90°,过点P作），轴的垂线交图象于A,8两点，

/.ZOPB=ZOPA=90°,

.•・ZBOP+ZAOP=ZAOP+ZOAP=90°,

・•・ZBOP=ZOAP,

•••△OPWPO,

.OPPB

•・而一而‘

一,OP?=PBPA,

.2.123

••n?=—,—,

mm

m1—36.

•/m>Q,

••m=瓜,

...AO=J_外+（扃=3,AB当+2号当,

AO3_>/6

.cos?!=

AB~5y[6~5•

2

故答案为：见.

5

【点睛】

本题考查反比例函数综合题、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知

识，解题的关犍是灵活利用参数，构建方程得到点A和点B的坐标.

答案第14页，共32页

15.当6-372

【解析】

【分析】

由等积法解得正方形的边长，再利用勾股定理解得图④的直角边FH的长，在图2中，利

用正弦的定义解得sinN8c=容=等，接着利用勾股定理解得QC=#,QC=30,据

此解得cosa的值，最后利用EF=6-HQ-FH解答即可.

【详解】

解：矩形的面积为：2x6=12

正方形的边长DC=V12=2^

如图1,

FG=26

QHG=2

FH=-JFG2-HG2=J(26)2-2?=2及

如图2,

阁裳

答案第15页，共32页

・•.MOC上义=立

DC263

QsinNQDC=^=4

设QC=JIc,£）Q=3尤

.-.QC2+DC2=DQ2

.-.3X2+12=9X2

:.X=五或X=_yfl（舍去）

QC=>/6,QD=342

QC=近=0

cosa=诟一田一石

:.HQ=DQ-DH=3近-DH=30-FH=3叵-2叵=历

EF=6->/2~FH=6-y/2-2y/2=6-3y/2

故答案为：>6-3夜.

【点睛】

本题考查正方形与矩形、图形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知识，是重要考点，

掌握相关知识是解题关键.

16.26

【解析】

【详解】

由“SAS”可证△ABEgZ\ACF,可得NABE=NCAF,可求NAP8=12O°,过点A,点尸，点

B作OO,则点P在4B上运动，利用锐角三角函数可求CO,AO的长，即可求解.

【解答】

解：•••△48C是等边三角形，

：.AB=AC^BC,ZCAB^ZACB=60°,

在“BE和ACAF中，

答案第16页，共32页

AB=AC

<NBAC=NACB,

AE=CF

：./XABE^^CAF(SAS),

・•・ZABE=^CAF1

：.ZBPF=ZPAB+ZABP=ZCAP+ZBAP=60%

：.ZAPB=\20°f

如图，过点A,点尸，点3作。。，连接CO,PO,

・••点尸在AB上运动，

u

：AO=OP=OBf

：.ZOAP=ZOPAfZOPB=ZOBPfZOAB=ZOBAf

：.NAO8=360°-ZOAP-AOPA-ZOPB-NOBP=120。,

・・・/O48=30。，

・・・NCAO=90。，

VAC=BCfOA=OB,

：.CO垂直平分AB,

：.ZACO=30°f

AcosZACO=—=—,CO=2AO

CO2f

CO=4y/3,

答案第17页，共32页

：.AO=243,

在△CPO中，CP>CO-OP,

...当点P在CO上时，CP有最小值，

...CP的最小值=4百-26=26，

故答案为2G.

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，点的运动轨

迹，圆的性质，熟记各知识点是解题的关键.

17.—4+25/2

【解析】

【分析】

+4cos45°

=-3-1+20

=-4+2&.

【点睛】

本题考查实数的混合运算，涉及负整指数累、零指数塞、余弦等指数，是基础考点，掌握

相关知识是解题关键.

18.⑴r=2；

8

⑵”铲；

(3)S=y(z-2)2+6^,S取得最小值为66;

4

(4)存在某一时刻f=使得尸。=尸。

【解析】

【分析】

答案第18页，共32页

(1)证明V4PQ:VABC得到空=空，即手=!，求出f即可；

ABAC84

(2)设PQ与C。相交与点H,则“为PQ中点，过。作QMLA8于点利用三角函数求

出NA=60。，进而得到AM=；,AP=8-2t,MP=8-1r,求出

r533

AD=AM+MD=-+4——Z=4--r,得至lj2=4——t,求出f；

2444

(3)根据S=S*..c-S,".求出函数解析式，利用二次函数的性质解答；

(4)当PQ=PC时，过户作RVLAC交AC于N,利用等腰三角形三线合一的性质得到

14—/

QN=-QC=-f表示出AN、AP,利用三角函数求出九

(1)

由题意可知3P=21,AP=8-2t,AQ=tf

・・,PQ//BC,

NAPQ\YABC,

,APAQ

••---=---,

ABAC

8—2/t.y,/日

•*----==解得/=2,

84

・•・当f=2时，PQHBC-

(2)

设尸。与8相交与点“，则”为中点,

过。作于点M,

vZACB=90°,AB=8cm,AC=4cm,

..AC41

A382

ZA=60°,

AM==，AP=8-2t,,

22

PH=HQ,

答案第19页，共32页

,MD=-MP=4--t,

24

AD=AM+MD=-+4--t=4--t,

244

・・.AT>=2,

8

-s

3

(3)

S=S.ABC_S&"Q

=1.4.4V3-l(8-2r)-r--

222

6

-

2广-2品+8』

百

-2

2(r-2)+6x/3

当f=2s时，S取得最小值为6g;

(4)

当PQ=PC时，过户作/W_LAC交AC于N,

14—/

则QN=]QC=^,

4—/4+z

栩=，+一=一，PA=8-2t,

22

4+r

3ANr1,

PA8-2r2

4

解得：1

3

4

所以存在某一时刻/=-5,使得PQ=PC.

3

答案第20页，共32页

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数，求函数解析式，二次函数的最值，等腰

三角形三线合一的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

19.(1)10

崂

(3)20,DE=—

4

【解析】

【分析】

(1)根据。E〃AC,DF//AB,推出四边形AE£>F是平行四边形，NBDE=NC,得到

DF=AE,DE=AF,由4B=NBDE,得到。E=B£由此求出结果；

(2)设HF与AB交于点M,设4W=3x,AF^5x,FM=4x,则8E=£>E=5x,由翻

折可知，NDFE=NEFH=45。,利用三角函数求出EM=4x,根据/1B=3x+4x+5x=10,求

出户二，即可得到CE；

6

(3)根据(1)得到切周长的最大值为20,设AF=3x,AE=5x,贝U

踮=。E=川=3%,由A8=5x+3x=10,求出x得至IJQE.

(1)

解：'：DE//AC,DF//AB,

•••四边形AEQF是平行四边形，NBDE=NC,

：.DF=AE,DE=AF,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.NB=/BDE,

：.DE=BE,

：.DE+DF=BE+AE^AB=\0；

⑵

答案第21页，共32页

设“尸与48交于点M,

设AM=3x,AF-5x,FM=4x,贝！］BE-DE-5x,

9：DF//AB,

：.ZDFH=ZEMH=90°f

•・・由翻折可知，/DFE=NEFH,

：.NEFH=45。,

：.EM=MFxtan45°=4x,

/.4B=3x+4x+5x=10,

解得x=3，

6

25

・・・DE=5x=—；

6

(3)

如图，CDFH=HF+DF+HD<DF+DF+HE+DE=2(DF+DE)=20

故当/4b£=/。£尸=90。时，D、E、”共线，△。尸”的周长最大，为20,

AF13

Rt^AEF中，cosA=——=-,

AE5

设Ab=3x,AE=5xf则8E=DE=AF=3x,

AB=5x+3x=10,

答案第22页，共32页

得x=0，

4

.nr15

4

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定及性质，翻折的性质，锐角三角函数，最值问题，正确掌握

各知识点并综合应用是解题的关键.

20.也

5

【解析】

【分析】

先作辅助线于点D,AE_LCB交CB的延长线于点E,然后根据等积法即可求得

B。的长，即可求得相应的角的三角函数值.

【详解】

解：作8D_LAC于点。，作4EJ_CB交CB的延长线于点E,

BC=2,AE=3,AC=3亚，AB=712+32=,

BCAEACBD

'：S^ABC=

22

.2'33&BD

22

解得，BD=近,

'-AD—JAB°-BD?-VlO—2—25/2,

AD_2a2石

/.cosZ.BAC

AB~

【点睛】

本题考查解直角三角形，解答本题的关键作3OLAC于点。，作4ELC3交C5的延长线

于点E,构造直角三角形，根据两种表示法，求出8。的长度，进而求解.

21.（1）见解析；（2）见解析；（3）2cosa

答案第23页，共32页

解：（1）证明：如图1,连接0D,

MDN

图1

：AD平分/BAC,；.NBAD=NCAD,，俞=而,

又「OD是半径，AOD1BC,

：MN〃BC,/.OD1MN,，MN是。0的切线；

连接AO并延长交。0于H,

BK%（2）证明：如图2,

MDN

图2

YAH是直径，,-.ZABH=90°=ZAFC,

又,.•NAHB=NACF,

.,.△ACF^AAHB,

.ACAF

••=,

AHAB

：.AB・AC=AF-AH=2R*h；

答案第24页，共32页

(3)如图3,过点D作DQLAB于Q,DP±AC,交

D

图3

AC延长线于P,连接CD,

VZBAC=2a,AD平分NBAC,

AZBAD=ZCAD=a,・••箴=而，ABD=CD,

VZBAD=ZCAD,DQ±AB,DP±AC,.\DQ=DP,

ARtADQB^RtADPC(HL),.\BQ=CP,

VDQ=DP,AD=AD,

ARtADQA^RtADPA(HL),AAQ=AP,

:.AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

(1)连接OD,由角平分线的性质可得NBAD=NCAD,可得标=而，由垂径定理可得

OD±BC,可证ODLMN,可得结论；(2)连接AO并延长交。O于H,通过证明

Ap

△ACF^AAHB,可得——=——,可得结论；(3)由“HL”可证RsDQBgRsDPC,

AHAB

RtADQA^RtADPA,可得BQ=CP,AQ=AP,可得AB+AC=2AQ,由锐角三角函数可

得人口=也，即可求解.

cosa

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题

的关键.

22.(1)50°

(2)60°,理由见解析

(3)>/3r+r+^

答案第25页，共32页

【解析】

【分析】

(1)如图1,连接04,0B,由题意知NQ1P=NQ3P=9O。，

ZAOB=360°-ZOAP-ZOBP-ZMPN,求出NAO8的值，根据NACB=，N4O8求解

2

ZACB即可；

(2)由题意知，PC最大时，PC经过圆心。，如图2,连接AO,AD,由菱形的性质可

知AP=AC,有ZAPD=NOC4,根据NZMC=/弘。=90。，

ZPAD+ZDAO=ZDAO+ZOAC,可知NPA£>=NOAC,由NOAC=NOC4,可得

ZPAD=ZOCA,ZAPD=ZPAD,三角形外角的性质可知

ZADC=ZAPD+ZPAD=2ZOCA,根据ZA£)C+NOC4=90。，可求NOC4的值，进而可

得ZAC8,/4P3的值；

(3)由题意知，阴影部分的周长为AP+PD+4Z)，由NOC4=30。，DC=2r,可得

AP=AC=y/3r,ZAOD=2ZOCA=60°,可求斗£)的值，PC=2xACxcos30°=3r,

PD=PC-CD,可求尸O的值，进而可求阴影部分的周长.

(1)

解：如图1,连接04,0B

图1

二48是切点

二N0AP=N0BP=90。

：.ZAOB=360°-ZOAP-ZOBP-ZMPN=100°

，ZACB=-ZAOB=50°

2

ZACB的度数为50°.

答案第26页，共32页

(2)

解：由题意知，PC最大时，PC经过圆心。，如图2,连接AO,AD

图2

•・•"3。是菱形

:.AP=AC

：.ZAPD=ZOCA

VZDAC=ZPAO=90°fZPAD+ZDAO=ZDAO+ZOAC

：.ZPAD=ZOAC

♦：OA=OC

：.ZOAC=ZOCA

:.ZPAD=ZOCA

:.ZAPD=ZPAD

■:ZADC=ZAPD+/PAD=2ZOCA,ZADC+ZOCA=90°

:.ZOCA=30°

ZACB=2ZOCA=60°

/.ZAPB=ZACB=(^°

.・・N4P3的度数为60°.

(3)

解：由题意知，阴影部分的周长为AP+PO+AO

VZOC4=30°,DC=2r

AP=AC=®

・・•ZAOD=2ZOCA=60°

.4c607zrnr

..AD=-------=—

1803

;PC=2xACxcos30°=3r

答案第27页，共32页

，PD=PC-CD=r

'：AP+PD+AD^>j3r+r+—

3

••・阴影部分的周长为6r+r+短.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角为90。，菱形的性质，等腰三角

形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30。的直角三角形，余弦，弧长等

知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

23.(1)见解析；

(2)3

【解析】

【分析】

(1)连接OCAE,根据题意证明AEJ_OC,根据垂径定理即可求解；

(2)先证明四边形CDEF是矩形，根据cosNABO=g,设=则AB=3a,根据矩形

的性质以及三角形中位线的性质求得DE,根据。8=4,求得。的值，进而即可求解.