专题3.32 勾股定理（挑战综合压轴题分类专题）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.32勾股定理（挑战综合压轴题分类专题）【综合类】【综合考点1】勾股定理➼➻➸探究勾股数1．（2023春·全国·八年级期中）像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【综合考点2】勾股定理➼➻➸勾股定理的证明3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图②，，且B、C、D三点在一条直线上．试证明；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．4．（2022·广东·模拟预测）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．【综合考点3】勾股定理➼➻➸三角形全等✮✭求线段长5．（2022·山东泰安·统考一模）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．6．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，，，．(1)求证：≌．(2)若，，，求的长．【综合考点4】勾股定理➼➻➸三角形全等✮✭求面积7．（2023·湖南长沙·校考三模）如图，已知平分，且．(1)求；(2)若，求的面积．8．（2016·福建漳州·统考一模）对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=度，∠D=度．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②在①的条件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等对角四边形ABCD的面积．【综合考点5】勾股定理➼➻➸探究线段关系✮✭三角形全等9．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．(1)判断与间的数量关系，并说明理由；(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．10．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接．(1)设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【综合考点6】勾股定理➼➻➸折叠问题11．（2018·广东韶关·统考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若AB=6，BC=8，求AF的长.12．（2023·广东东莞·校考二模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．【综合考点7】勾股定理➼➻➸方程思想13．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．(1)求旗杆的高度OM；(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．（2017·浙江金华·统考一模）如图，一扇窗户用支架B-C-D固定，当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，现测得AB=16cm，AD=12cm．(1)求BC的长；(2)经测算，当∠BAD=120°时窗户透光效果最好，为达到最佳效果，AD应调整为多少厘米？【综合考点8】勾股定理➼➻➸分类讨论思想15．（2022·四川达州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．（1）BC的长为；（2）当t＝2时，求△ADC的面积．（3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值．16．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题：（1）边DC的长为cm；（2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．【挑战类】【综合考点1】勾股定理➼➻➸探究勾股数17．（2023·河北·一模）已知：整式，，，整式．(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式；(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．18．（2018·福建漳州·统考一模）阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：，y=mn，，其中m>n>0，m、n是互质的奇数．应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．【综合考点2】勾股定理➼➻➸勾股定理的证明19．（2022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法：如图1，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，∠FAC＝90°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．20．（2018秋·江苏镇江·八年级校联考期中）把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）【综合考点3】勾股定理➼➻➸三角形全等✮✭求线段长✮✭证明21．（2023·湖南娄底·校考一模）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．（2）如图1，求证：．（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．22．（2017·河北·模拟预测）问题情景：一节数学课后，老师布置了一道练习题：如图1，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝90°，CD⊥AB于点D，点E，F分别在AD和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF（1）阅读理解，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地写出这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论：如图2，若CE平分∠ACD，其余条件不变，判断AE和BF的数量关系，并说明理由；（3）知识迁移．探究发现：如图3，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上，且EC＝EF，请直接写出BF与AE的数量关系．（不必写解答过程）【综合考点4】勾股定理➼➻➸探究猜想与证明23．（2018·吉林长春·校联考一模）在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接．探究：如图①，当点在线段上时，证明．应用：在探究的条件下，若，,则的周长为．拓展：（1）如图②，当点在线段的延长线上时，E之间的数量关系为．（2）如图③，当点在线段的延长线上时，之间的数量关系为．

24．（2023·福建·模拟预测）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．【综合考点5】勾股定理➼➻➸问题情景与拓展延伸25．（2019·吉林长春·东北师大附中校考一模）[问题提出]如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．[问题解决]解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是[应用]如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长[拓展]如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为26．（2023·江西·模拟预测）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是________．A．；B．；C．；D．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．【初步运用】（2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．【灵活运用】（3）如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段．．三者之间的数量关系，并证明你的结论．【综合考点6】勾股定理➼➻➸动点问题➼➻➸分类讨论与探究问题27．（2016·河南·模拟预测）已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）28．（2020·辽宁本溪·统考一模）如图在中，，，直线，点是直线上的一个动点，连接，将绕逆时针旋转90°得到，连接交直线于点．（1）如图1，当点与点重合时，线段和线段的数量关系是______；（2）如图2，当点在点的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；（3）连接，若，请直接写出面积大小．参考答案1．a，b，c为勾股数；理由见分析．【分析】根据完全平方公式求出，根据a，b，c是三个正整数可知a，b，c为勾股数．解：a，b，c为勾股数，理由：∵，又∵，∴，∵m表示大于1的整数，∴a，b，c是三个正整数，∴a，b，c为勾股数．【点拨】本题考查了勾股数，完全平方公式，熟练掌握勾股数的定义及整式的混合运算法则是解题的关键．2．（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答．【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．解：证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数，∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，∴ak，bk，ck是三个正整数，假设c最大，则a2+b2=c2，∴（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．【点拨】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须满足是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．3．（1）；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）用两种方式表示大正方形的面积，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质，即可得到结论；（3）用两种方式表示梯形的面积，即可得到结论．（1）解：由题意得：大正方形面积=，大正方形面积=．∴（2）证明：，，由于B、C、D在一条直线上，∴；（3）证明：梯形的面积=．另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积=．∴，即．【点拨】本题主要考查勾股定理的推理，全等三角形的性质以及完全平方公式，根据图形的特征用两种方式变式同一个图形的面积是关键．4．见分析【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，4个小直角三角形的面积，∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，∴．【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．5．（1）见分析；（2）13【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．6．(1)证明见分析；(2)【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．解：（1）证明：∵，∴，∴．在与中，，∴≌；（2）解：∵≌，∴，∵，，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．7．(1)见分析；(2)【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可；（2）根据全等三角形的性质，得，再根据勾股定理求出，即可得答案．（1）解：平分，，，，又，；（2）由（1）得：，，，，，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明．8．（1）130，80；（2）①CB=CD；②16．试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；②连接AC，求出△ABC≌△ADC，求出∠ACB=∠ACD=30°，解直角三角形求出AC和BC，根据三角形的面积公式求出即可．解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°，故答案为130，80；（2）①证明：如图1，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：如图1，连接AC，∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=×60°=30°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，∴AC=2AB=8，∴BC==4，∴S四边形ABCD=2S△ABC=2××4×4=16．考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理9．(1)见分析；(2)，理由见分析【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；（2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证．解：（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如图所示，连接，

由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四边形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．(1)，；(2)，证明见分析．【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论．解：（1）A、E关于直线对称，，．，．，．．．（2）线段，，之间的数量关系．过C作于C交的延长线于点M．A、E关于对称．．．．又．．．，．．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．11．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根据折叠的性质可得DE=CD，∠C=∠E=90°，然后利用“角角边”证明即可；（2）设AF=x，则BF=DF=8-x，根据勾股定理列方程求解即可．解：（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，由折叠得：DE=CD，∠C=∠E=90°，∴AB=DE，∠A=∠E=90°，∵∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS）；（2）解：∵△ABF≌△EDF，∴BF=DF，设AF=x，则BF=DF=8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62，x=，即AF=【点拨】本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程是解题的关键．12．【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．解：设，∵，，勾股定理得：，根据翻折的性质可得，，，∴，，在中，，，解得：（），∴的长为．【点拨】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．13．(1)旗杆的高度OM为15米；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米【分析】（1）如图，过点作，过点作，设，由题意知四边形均为矩形，，由得，，，得的值，由计算即可．（2）在中，，，由计算求解即可．（1）解：如图，过点作，过点作，设∴∴四边形均为矩形∴∵∴在和中∴∴∴解得：∴∴旗杆的高度为15米．（2）解：由题意知在中，∴∴∴玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．【点拨】本题考查了三角形全等，勾股定理等知识．解题的关键在于灵活运用三角形全等，勾股定理求线段长．14．(1)8cm(2)cm【分析】（1）根据题意，设BC=x，则DC=x+4，根据勾股定理计算即可求解；（2）过点作于点，设AE=x，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得DE=，在中，勾股定理即可求解．（1）解：设BC=x，当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，AB=16cm，AD=12cm，，DC=x+4，当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，由勾股定理得，得x=8cm，即BC的长为8cm；（2）解：如图，，过点作于点，设AE=x，则DE=，在中，由勾股定理得：，得x=，

则AD=cm．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．15．（1）6；（2）；（3）或或2【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法计算即可；（3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可；解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CH⊥AB于H，S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，则×8×6＝×10×CH，解得：CH＝，当t＝2时，AD＝2×2＝4，则S△ADC＝×4×＝；（3）当FA＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝5÷2＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．16．（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或．【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可；（2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可；（3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可；（4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可．解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，由题意可得：四边形ABED为长方形，∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°，又∵BC＝6cm，∴CE＝BC－BE＝4cm，在中，cm，故答案为：5；（2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9，∴，∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）；（3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，由题意可得：，当t＝3时，点P与点B重合，此时，∴＜，∴点P在线段BC上，∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴，即：，解得：，∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时；（4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t，∵∠A＝∠B＝90°，∴，，由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°，∴，∴，解得：（符合题意），当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t，∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t，∵∠DEC＝∠DEB＝90°，∴，由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°，此时点P与点E重合，∴t＝AB+BE＝3+2＝5，综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或．【点拨】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键．17．(1)；(2)；(3)正确，理由见分析【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．（1）解：，当时，原式；故答案为：；（2）；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：，，当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．【点拨】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．18．当时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37【分析】分类讨论：；；，结合已知条件，借助于方程解答．解：，直角三角形一边长为12，有三种情况：①当时，．解得，（舍去）．．．该情况符合题意．②当时，，．为奇数，舍去．③当时，，，此方程无实数解．综上所述：当时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想来求解．19．见分析【分析】用两种方法求出梯形CBFG的面积，列出等式，即可证明.解：证明：∵∴整理得：【点拨】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理以及梯形面积公式是解题关键.20．见分析.【分析】四边形ACED的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成，应利用三角形的面积公式来进行表示.解：【点拨】本题考查勾股定理的证明，利用面积的不同表示方式列出等式是解答本题的关键.21．（1）；（2）见分析；（3）2【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，

∴在Rt△ABD中，．

（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．

∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，

∴CD=CF，AD=BF，∴，∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．

（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，

∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)，

∴CF=CD，AF=BD，∴△CDF是等腰直角三角形，又∵CE⊥AD，∴E为DF中点，∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴．【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.22．（1）见分析；（2）AE＝BF；理由见分析；（3）AE＝BF．【分析】（1）先证明CE＝EF，利用AAS定理证明△CDE≌△EGF（AAS）即可；（2）先证∠ACE＝∠2，再证明△ACE≌△BEF（AAS），即可得证AE＝BF；（3）作EH⊥BC与H，设DE＝x，求出AE＝3x，再证出BF＝x，即可得出结论．解：（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）解：AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝＝，∴AE＝BF．【点拨】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．23．探究：证明见分析；应用：；拓展：（1），（2）【分析】探究：判断出，再用即可得出结论；应用：先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论；拓展：（1）同探究的方法得出，得出，即可得出结论；（2）同探究的方法得出，得出，即可得出结论．解：探究：∵，，∴．∵，，∴．∵，∴．

∴．∵，∴．应用：在中，，∴，∵，∴，由探究知，，∴，∴，在中，，根据勾股定理得，，∴的周长为故答案为拓展：（1）同探究的方法得，．∴∴，故答案为；（2）同探究的方法得，．∴∴，故答案为．【点拨】本题考查全等三角形的性质，能够在复杂图形中找出全等三角形是解题关键.24．(1)是，见分析；(2)，见分析；(3)【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．解：（1）如图2，四边形是垂美四边形．证明：连接交于点E，∵，∴点A在线段的垂直平分线上，∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴直线是线段的垂直平分线，∴，即四边形是垂美四边形；（2）猜想结论．如图1，已知四边形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）如图3，连接，∵，∴，即，在B和中，，∴，∴，又，∴，∴，即，∴四边形是垂美四边形，由（2）得，，∵，∴，，∴，∴．【点拨】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．25．（1）1＜AD＜5；（2）2；（3）．【分析】证明≌得，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；延长AD到E，使得，连接BE，证明≌得，再证明，由勾股定理求得BD，进而得BC；延长FD到G，使得，连接BG，EG，证明≌，得，，再证明，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF．解：在和中，，≌，，，，，，故答案为；延长AD到E，使得，连接BE，如图，在和中，≌，，，，，，，；延长FD到G，使得，连接BG，EG，如图，在和中，，≌，，，，，，，，，，．故答案为．【点拨】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．26．（1）A，；（2）7；（3），证明见分析【分析】（1）证明，即可求解；根据得出，根据三角形三边关系得出，进而即可求解；（2）如图，延长至，使，连接，证明，，，根据即可求解；（3）延长到点，使，连接，，证明，得出，，进而得出，在中，根据勾股定理得出，等量代换即可求解．（1）解：在和中，，∴，故选：A；由（1）得：，∴，在中，，即，故答案为：；（2）解：如图，延长至，使，连接，∵是的中线，∴，又∵，∴∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴（3）解：线段、、之间的等量关系为：；延长到点，使，连接，，如图③所示：∵，，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴在中，由勾股定理得：，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．27．（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或．解：试题分析：（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ