2021年高考数学高分秘籍导数及其应用含解析

导数及其应用

1.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()

A.eB.-eC.-D.--

ee

【答案】c

【解答】解：设切点坐标为(a,Ina),

Vy=lnx,/.

切线的斜率是1

a

切线的方程为y-lna=，(x-a),

将(0,0)代入可得lna=La=e,

・♦・切线的斜率是U；

ae

故选：c.

求曲线y=/U)的切线方程的类型及方法

(1)已知切点P(xo,yo),求尸=«r)过点P的切线方程：求出切线的斜率尸(xo),由点斜式写出方程；

(2)已知切线的斜率为％,求y=/U)的切线方程：设切点P(xo,yo),通过方程％'(xo)解得松，再由点

斜式写出方程；

(3)己知切线上一点(非切点)，求y=/(x)的切线方程：设切点尸(xo,yo),利用导数求得切线斜率广(xo),

再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得xo,最后由点斜式或两点式写出方程.

(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，

再由k=7'(xo)求出切点坐标(xo,yo)，最后写出切线方程.

(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点尸的切线即切线过点P,P不

一定是切点.因此在求过点尸的切线方程时，应首先检验点P是否在己知曲线上.

2.y=*-lnx的单调递减区间为()

A.[-1,1]B.(0,1)

C.[1,+8)D.(0,+8)

【答案】B

【解答】解：函数的定义域为x>O,y，=x-1,

令x」<0,由于x>0,从而得0<x<I,

X

函数y=1x2-Inx的单调递减区间是(0,1).

故选：B.

函数的单调性与导数的关系

一般地，在某个区间3方)内：

①如果f'(x)>0,函数7(x)在这个区间内单调递增；

②如果/'(为<0,函数人x)在这个区间内单调递减；

③如果/'(x)=0,函数在这个区间内是常数函数.

3.函数/(x)=；o?—在口，2］上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.a>\B.a..\C.a>2I),a..2

【答案】D

【解答】解：对/(x)求导：f'(x)=ax2-2x；

函数f(x)=g/72+a在［1,2］上单调递增，即导函数/'(X)在［1,2］上恒有/'(x)..O；

/'(x)为元二次函数，其对称轴为：x=~,由选项可知a>0,开口朝上，

a

故r(x)在口，21匕为单调递增函数；

了⑴..0，⑵..()

故只需满足：1।,解得：a-2；或1。无解，

故选：D.

由函数/U)的单调性求参数的取值范围的方法

(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上/(x)K)(或/(x)WO)(T(x)在该区间的任意子区

间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是尸(x)>0(或/(工)<0)在该区间上存在解集，这样就

把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

(3)若已知/U)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出式x)的单调区间，令/是其单调区

间的子集，从而可求出参数的取值范围.

m

4.设函数/(x)=Inx+—，meR.

x

(1)当m=e(6为自然对数的底数)时，求/(x)的极小值；

(2)若/食)在(0,+8)上为单调增函数，求〃，的取值范围.

Ax—e

【解析】(1)当机=6时，/(x)=lnx+—,则/'。)=——(x>0),

X

当X£(0,e),/'(1)<0，/(处在(0,e)上单调递减；

当x£(e,+8),/'(%)>0,/(%)在(e,+oo)上单调递增,

故当x=e时，/(x)取得极小值，为/(e)=Ine+£=2,

e

・•・/(x)的极小值为2.

(2)因为/⑶在(0,+8)上为单调增函数，所以/'(x)=土/20在(0,+8)上恒成立，

X

即对于Vxe(0,+oo)恒成立，贝|]团40,

故〃1的取值范围是(-8,()].

函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)求函数八x)极值的方法

①确定函数火X)的定义域.

②求导函数/(X).

③求方程r(x)=0的根.

④检查广㈤在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么./U)在这个根处取得

极大值，如果左负右正，那么火X)在这个根处取得极小值，如果/(X)在这个根的左右两侧符号不变，

则/U)在这个根处没有极值.

(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数广(x),求方程/(x)=0的根的情况，得关

于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围.

5.函数/(x)=ox3_3x+l对于xe[-1,1]总有f(x)成立，则a的取值范围为()

A.[2,+8)B.[4,+8)

C.⑷D.[2,4]

【答案】C

【解答】解：①当x=0时，f(x)=120,对于aWR皆成立.

②当0<xWl时，若总有f(x)20,则0%3一3彳+120,一5，

令g(x)=4一3，g,(x)4+4=-6(x-》,令g，()=0,解得x=；.

z33x

XXXX*x42

当OVxvg时，gf(x)>0；当[VxWl时，gf(x)<0.

•*.g(X)在x=1时取得最大值，g(1)=4,Aa^4.

③当-IWXVO时，若总有f(x)=0,则12?—3]+ieo,

令h(X)=4-W，则h，(x)=-6(xTeo,

23

XXx4

Ah(x)在[-1,0)上单调递增，

・♦.当x=-1时，h(x)取得最小值，h(-1)=4,.\a<4.

aER

由①②③可知：若函数f(x)=〃—3x+l对于x£[-1,1]总有f(x)20成立，则a必须满足a24,

,a<4

解得a=4.

，a的取值范围为{4}.

故选：C.

利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，

根据要求得所求范围.一般地，/（x）2a恒成立，只需/（无4加之。即可；/（幻＜。恒成立，只需

/（X）134a即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值）,

然后构建不等式求解.

4

6.曲线y=M与直线y=5-x围成的平面图形的面积为（）

X

A15n15c

A.—B.—C.--4/«2D.--8/n2

2442

6.【答案】D

4

y=-

【解答】解：如图:联立x

、y=5-x

解得，两曲线的交点坐标为（1,4）,(4,1),

（•441,415

所以两曲线围成的图形的面积为辿（5…产=（5'一即叫=万-8叱

7•由曲线），=/和直线工=0,X=l,y=r,z€（0,1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（）

7.【答案】A

【解答】解：根据题意，可得

S=J：(/一f四+\\x2-t2\ix

=-铲3)匕+(—X3—t2X)|'

=-r3+(--r2)-(-/3-z3)=-r3-t2+-

33333

4i

记/⑺=_/_/+_,可得名，⑺=4产—2r=2t(2t-1)

33

•••当xe((),g)时，F(r)<0,当xwg,1)时，F(0>0

./⑺在(0,g)上为减函数；在(；，1)上为增函数

因此，尸⑺的最小值为吗=莪一冷=；,即围成的图形面积的最小值为:

故选：A.

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略

(1)利用定积分求平面图形面积的步骤

①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

④计算定积分，写出答案.

(2)知图形的面积求参数

求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数,

由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值.

（3）与概率相交汇问题

解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.

1.设/'（X）为定义在R,上的函数/⑴的导函数，且/'（X）-侬>0恒成立，则（）

X

A.3/（4）>4/（3）B.3/（4）<4/（3）

C.3/(3)>4/(4)D,3/(3)<4/(4)

【答案】A

【解答】解：/'(刈-幺也>0,即矿(x)-"x)〉o

XX

设g(x)=3，则g，(x)=矿⑺；,

XX

当x>0时，g'(x)>0恒成立，

即g(x)在(0,m)上单调递增，

，g(4)>g(3)

.7(4)./(3)

43

：.3f(4)>4/(3),

故选：A.

利用导数研究函数综合问题的一般步骤

（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点.

（2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导.

（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论.

（4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论.

（5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性.

2.函数/(x)=gV—£在［i,3］上的最小值为()

24

A.—2B.0C.—D.—

33

【解答】解：函数，(x)=gx3-d在口，3］上

所以ff(x)=x2-2x=x(x-2),

所以(。)二12-2x=x(x—2)=0时，x=0(舍去)，或x=2,

当xe(l,2)时，r(x)<0,函数/(x)=+3-d在(1,2)上单调递减，

当xe(2,3)时，/。)>0,函数〃x)=gx3-d在(2,3)上单调递增，

所以函数的极小值为：f(2)=；8一4=一4三

33

f(1)=,

33

f(3)=0,

所以：函数/(0=#-》2在［1,3］上的最小值为/(2)=|-4=~；

故选：D.

求函数./U)在团例上最值的方法

(1)若函数ZU)在［4,句上单调递增或递减，%)与他)一个为最大值,一个为最小值.

(2)若函数应r)在［4切内有极值，先求出函数_/U)在口力］上的极值，与人公、1A打比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值.

(3)函数段)在伍必上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点.

注意：(1)若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.

(2)极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值

也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

3.定义在R匕的函数/'(x)满足/'(1)=1,且2f'(x)<1,当xe［0,2TT］时，不等式/'(2cosx)<2cos2；一2的解集

为

A•（-屋）B.（-辅）

C.[0,=)U(^,2K]D.[0,=)U(^,2n]

【答案】D

【解析】由题意得f(2cosx)<2cos2-|=cosx+

令t=2cosx,则/(t)<|+1，

构造函数g(t)=/(t)-1-，则9⑴=f⑴-泻=o,g'(t)=f(t)-1，

因为2f'(x)<1,所以g'(t)=f'(t)-：<0,即函数g(t)单减，

不等式转化为g(t)=f(t)<o=g(l),所以t=2cosx>1,得cosx>I，

而无e[0,2n],求得Xe[0,=)U(Y，2TT].

即不等式f(2cosx)<2cos2/我解集为[0,$u(y,2n].

选D.

4.已知函数f(x)=2x-alnx(a€R),g(x)=^-.

(I)讨论函数f(x)的单调性：

(II)当a=2时，证明：g(x)>f(x).

【解答】解：(I)f(x)的定义域为(0,+8),

：.f'(x)=2--X=—X,

当aWO时，f'(x)>0恒成立，即f(x)在(0,+8)上是增函数，

当a>0,则当0Vx<；时，f(x)<0,当x沟时，f'(x)>0,

Af(x)在(0,3上为减函数，在《，+8)上为增函数，

综上可得，当aWO时，f(x)在(0,+8)上是增函数，

当a>0时，f(x)在(0,上为减函数，在《，+8)上为增函数，

证明(II)a=2时，令h(x)=g(x)-f(x)=Y-2x+21nx,x>0,

.・.h，(x)xejx_2+JeX(x-l)-2x(x-l)(eX2x)(x-l),

令m(x)=ex-2x,(x>0),得m'(x)=ex-2,

当0VxVln2时，m*(x)<0,m(x)单调递减，当x>ln2时，m'(x)>0,m(x)单调递增,

Am(x)(ln2)=2-21n2>0,

AxG(0,1)时，h’(x)<0,h(x)单调递减，

xG(1,+8)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

当x=l时，h(x)的取最小值h(1)=e-2>0,

・•・当a=2时，g(x)>f(x).

x

5.已知函数f(%)=ax-be9且函数f(%)的图象在点(0,/(0))处的切线斜率为Q-1.

(1)求b的值，并求函数/(%)的最值；

(2)当aE[1,1+e]时，求证：/(%)<%.

【解析】(1)由题得，/'(%)=a-b铲,

根据题意，得/'(0)=a—b=a—1,=

・,/'(%)=Q-e”.

当Q40时，f(x)<0,f(x)在R上单调递减,/(%)没有最值;

当Q>0时，令/'(%)<0,得x>Ina,令/'(%)>0,得％<Ina,

.,./(X)在(-8,Ina)上单调递增，在(Ina,+8)上单调递减，

/(%)在％=Ina处取得唯一的极大值，即为最大值，且f(%)max=/(Ina)=alna-a.

综上所述，当aWO时，/(x)没有最值；

当a>0时，/(%)的最大值为alna-Q,无最小值.

(2)要证/(%)<%,即证(Q-l)x<ex,

令尸(%)=铲一(a—1)%,

x

当Q=1时,F(x)=e>0,:.(a—l)x<e”成立;

xx

当1VQW1+e时，F'(x)=e-(a-1)=e-

当％Vln(a-l)时,Fz(x)<0；

当工〉仇(a-1)时，Fz(x)>0,

・・・尸(乃在(一8,也((1一1))上单调递减，在(ln(a—l),+8)上单调递增，

AF(x)>F(ln(a-1))=eln<a_1)-(a-l)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)].

V1<a<14-e,

：.a-l>0,1-ln(a-1)>1-ln[(l+e)-l]=0,

>0,即—成立,

故原不等式成立.

用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性：若於)在［a,句上是增函数,则①VxG［a用,则式a)0/(x)0/S),②对Vxi，x2^［a,b］,

且X1<X2,则兀n)勺伏2).对于减函数有类似结论.

(2)利用最值：若於)在某个范围。内有最大值欣或最小值附，则对Vxd£>,则以)WM(或於)之间.

(3)证明y(x)<g(x),可构造函数F(x)三/(x)-g(x),证明尸(x)<0.

6.已知函数/(x)=sinx和gW=肝二£的定义域都是［-万，幻，则它们的图象围成的区域面积是(

)

【答案】C

【解答】解：g(x)=V^二，■的图象为圆心为O半径为死的圆的上半部分,

：y=sinx是奇函数，

.•./(X)在［-万，0］上与x轴围成的面积与在［0,7］上与“轴围成面积相同,

则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积

S=—EJT2^=—,

22

故选：C.

作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键

1.已知函数〃X)=(X3-2X)/,则lim-/(1)的值为()

」x->o[_U

A.一eB.1C・eD.0

2.函数/(幻="-"〃/4>1)的单调递减区间为()

A.(1,-K»)B.(0,4oo)C.(-<»,1)D.(-oo,0)

3.若函数八a=如？+2/-3尤-1存在单调递增区间，则实数优的值可以为

A.--B.--C.一正D.-亚

3339

4.己知函数/(X)与其导函数/'(X)的图象如图所示，则函数g(x)="的单调递减区间为(

e

R(0,2)

D•

C.(f0)和。,4)D.(0,3)

5.已知函数y=/(x)的导函数为/'(x),满足DxwR,/'(x)>/(x)且/(1)=e,则不等式/(加r)>x的

解集为()

A.(e,+oo)B.(l,+oo)C.(0,e)D.(0,1)

6.设三次函数/(x)的导函数为/'(x),函数y=xQ1(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是()

X

A./(X)的极大值为/(石)，极小值为/(-G)

B./(X)的极大值为/(-G),极小值为/(右)

C.的极大值为/(-3),极小值为/(3)

D./(X)的极大值为/(3),极小值为八-3)

7.设aw/?,若函数y=x+Rnx在区间(Le)有极值点，则。取值范围为()

e

A.(-,e)B.(一e,」)

ee

C.(-oo,-)U(e,+oo)D.(-oo,+oo)

ee

8.函数f(x)=x3-ax2-bx+a?在x=l处有极值10,则点(a,b)为()

A.(3,-3)B.(-4,11)

C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在

9.设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数？(x)的图象可能是()

10.已知实数a,b满足OWaWl,OWbWl,则函数f(x)=x3-ax?+bx+I存在极值的概率为()

A.|B.1

3

C.j2D.8

9

f7-3)

11.已知三次函数/(幻=加+加+以+d的图象如图所示，则戈;=()

12.已知函数/(x)=x+Mix,且对于任意X>2,总有函数/(x)的图象在函数y=k(x-2)图象的上方，则

当AwN时，化的最大值为()

A.3B.4C.2D.5

13.设广(X)为定义在R"上的函数/(X)的导函数，且八x)-1@>0恒成立，则()

X

A.3/(4)>4/(3)B.3/(4)<4/(3)

C.3/(3)>4/(4)D.3/(3)<4/(4)

14.若/(x)=o/+凉+6满足/'(1)=2,则D=

A.-4B.4C.-2D.2

15.若函数f(x)=gx3—r(i)k+2彳+5,则广(2)=

16.已知函数/(外=/+加+cx-17(a,h,ceR)的导函数为/'(x),/'(%),,0的解集为｛%|-猿上3),若

f(x)的极小值等于-98,则a的值是.

17.若函数f(x)=ln(e*+1)+ax为偶函数，则，(,一二］dx=.

18.函数/(幻=/_7］_4山的最小值为.

2

19.若函数/(x)=/zu+x+—在区间上，f+2］上是单调函数，贝心的取值范围是.

尤

20.若函数/(x)=2/-加+1(。eR)在(0,+oo)内有且只有一个零点，则.f(x)在［-1,U上的最大值与最小

值的和为.

21.已知函数/(x)=X3-3X的图象与直线y=a有三个不同的交点，则a的取值范围是.

22.若函数/(x)=Asin(twx-2)(A>0，。>。)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为

23.已知定义在R上的函数/(x)满足/(/(x)—2*+」-)=»,/'(尤)为函数/(x)的导函数，且>=/'(尤)

2*2

无零点，则J：(/(x)+x)dr=.

24.已知函数f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,m@R.

(I)若m=2,写出函数f(x)的单调递增区间；

(II)若对于任意的xG[-1,1],都有f(x)<4,求m的取值范围.

25.已知函数/(x)=G?+(a+2)x+lnx,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若不等式/(x)«0恒成立，求实数。的取值范围.

26.B知函数/(x)=4x(x2-ax).

(1)当。=1时，求f(x)的单调区间;

2

(2)若f(x)在区间［0,2］的最小值为求a.

27.已知函数f(x)=x-l+二(aGR,e为自然对数的底数).

e

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值；

(3)当a=l时，若直线1：y=kx—1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.

28.已知函数f(x)=alnx-bx2.

117'

⑴当a=2,b=E时，求函数f(x)在|_e，e」上的最大值；

■3

(2)当b=0时，若不等式f(x)Nm+x对所有的ae,xeqe?］都成立，求实数m的取值范围.

1.【答案】D

［解答］解：•••/(》)=(/-2尤)"，

/.f\x)=(x34-3x2-2x-2)ex

,Hm=(l+3_2-2)e=0,

5UX

故选：D.

2.【答案】D

【解答】解：函数/(x)=a工->1)

f'(x)=axlna-Ina=(a*-\)lna；

令1f(x)=O,得：x=0

当。>1时,lna>0,若x<0,则("一1)<0,所以有广(x)<0

若x>0,贝1」("一1)>0,所以有r(x)>0

综上可知，函数/(X)的单调递减区间为(7,0),

故选:D.

3.【答案】D

【解答】解：函数/(%)=蛆3+2/-3》—1,所以:。)=3侬2+4X-3,当小〈0时导函数是开口向下的抛

物线，

4

要使/'(x)在R上存在子区间使/'。)>0，只需△=16+36〃?>0,解得0>相>—

当m.0时，导函数存在满足广⑺>0的”的区间,

4

所以m的取值范围是(-大，+8).

因为一亚所以£>正确：故选：D.

99

4.【答案】A

【解答】解：结合图象：XG(0,1)和xe(4,+a>)时，/J(x)-/(x)<0,

而g'(x)=)(x)二,故g(x)在(0,1),(4,/)递减，故选：A.

e

5.【答案】A

【解答】解：令t=Inx,则f(bvc)>x<=>/(r)>el,

令ga)=驾，则g")J(x)](x)>(),

ee

因为：满足VxeA,r(%)>/(x),二.g(x)在R上单调递增,

«)>do^^>log(f)>g(1)<=>/>l<=>/nx>l<=>x>e,

e

故选：A.

6.【答案】D

【解答】解：观察图象知，xv—3时，丫=阿'(*)>0,

-3vx<0时，y=xQ/''(x)<0,f'(x)>0.

由此知极小值为/(-3).0<x<3时，y=W(x)>0,.，x)>0.x>3时，y=4T(x)vO,.・J'(x)<0.

由此知极大值为/(3).

故选：D.

7.【答案】B

【解答】解：函数y=f(x)=x+a加r在区间(1，e)有极值点=y=0在区间(1,e)有零点.

ee

X+a

ff(x)=1+—=.(x>0).f'(-)L/(^)<0,A(-+a)(e+a)<0,解得一e<a<」.

xxeee

a取值范围为(-a」).

e

故选：B.

8.【答案】B

【解答】解：对函数f(x)求导得f(x)=3x2-2ax-b,

又•・,在x=l时f(x)有极值10,

./⑴=3-2a-b=0

••1/(1)=1-a—Z?+a2=10，

解得仁力魄：、

验证知，当a=3,b=-3时，在x=l无极值，

故选：B.

9.【答案】B

【解答】解：由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，

即有导数小于0,可排除C,D；

再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，

函数f(x)递减，再递增，后递减，

即有导数先小于0,再大于0,最后小于0,

可排除A；

则B正确.

故选:B.

10.【答案】A

【解答】解：对f(x)=x3-ax2+bx+l求导数可得f(x)=3x2-2ax+b,

由函数有极值可得4=42?-12b>0,即b<|a2,

，满足OWaWl,OWbWl的点(a,b)的区域为边长为1正方形，

.••满足OWaWl,OWbWl且b<%2的点3,b)的区域为正方形内曲线b=a?下方的部分，

由定积分可得S=[ia2da=ia3|J=i,而正方形的面积为1,

二所求概率为P=3

故选：A.

II.【答案】C

【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=-l是极小值，

即2,-1是/'(x)=0的两个根，

/(x)=ax3+bx2+cx+d,f\x)=3ax2+2bx+c,

-2hc

由/'(x)=3加+2Z?x+c=0,得2+(—1)=----=1,-1x2=—=-2,HPc=-6a,2b=—3a,

3a3a

即=3ax2+2bx+c=3dx2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),

e1(-3)3a(-3-2)(-3+1)-5x(-2)_

/XI)3a”2)(1+1)-2

故选：C.

12.【答案】B

【解答】解：函数/(x)=x+x版,且对于任意x>2,总有函数/(幻的图象在函数丁=收]一2)图象的上方,

/(X)=x+xlnx,所以k(x-2)</(x)对任意x>2恒成立，

即%<£±四对任意x>2恒成立.

x-2

人/、x+xlnx，/、x-2/nx-4

令g(x)=PT，

2r-2

令"x)=x-2lnx-4a>2),则"(x)=l--=------>0,所以函数人(%)在(2,母)上单调递增.

xx

因为//(8)=4一6历2v0,h(9)=5-4Z//3>0,

所以方程以了)=0在(2,钟)卜.存在唯•实根与,且满足与£(8,9).

当2cx</时，h(x)<0,即g'(x)<0,当尢>/时，h(x)>0,即g'(x)>0,

所以函数g(x)在(2,X。)上单调递减，在(X。，+8)上单调递增.

所以区—(刈=^^=止至/■

$-2%-22

x919

4)€(8,9)，，4<十<万所以Z<[g(x)]“而=万/e(4,-).

故整数人的最大值是4.

故选：B.

13.【答案】A

【解答】解：r(x)-△*>(),即矿(幻一/⑴〉。

XX

设g(x)=四，则g，(x)=M''(x)；/a),当x>0时，g'(X)>0恒成立，即g(x)在(0,+»)匕单调递增,

XX

••.g(4)>g(3),/.牛〉与，：.3/(4)>4/(3),

故选：A.

14.【答案】C

【解答】解：：/(x)=ox4+Zur?+6,(x)=4a)?+2版

此函数是一个奇函数，又/'(1)=2,故/'(-1)=-2

故选：C.

15.【答案】2

【解答】解：由/(x)=；v-r⑴比2+2》+5,得/(了)=/一2/(i)x+2.

取x=l得：f(I)=F一2r(1)+2，所以/(1)=1.

则/8)=炉-2x+2，所以/'(2)=22-2x2+2=2

16.【答案】2

(解答]解：依题意得f'(x)=3汗+2bx+c„0的解集是[-2,3],

1Q

于是有3a>0,-2+3=---，—2x3=—，解得。=---->c=—1Sci,

3a3a2

\•函数/(X)在x=3处取得极小值，二有/(3)=274+96+女、-17=-98,

:.a=2

17.【答案】e2

【解析】••・f(x)=ln(ex+1)+QX为偶函数，/(I)=/(-I),ln(e+1)+Q=In(，+1)-a,解得Q=-p

则JG-；)d*=((5+2x)dx=(Inx4-x2)|f=e2.

18.【答案】-81n2-12

【解析】函数/(x)的定义域为(0,+8),f\x)=2x-7--=(—4)(2-+1),

XX

令/'(x)=0,解得％=4或%=-;(舍去)，

当xe(0,4)时，f'(x)<0,函数/(%)单调递减；

当xe(4,+8)时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

所以函数f(x)的最小值为/(4)=4?一7x4—41n4=-81n2-12.

19.【答案】口，+oo)

【解答】解：由/(%)=加得ra)='+]_彳=％十;一/,

Xxx~x~

由函数/(乃=历x+x+42在区间上，r+2]上是单调函数，

x

得g(©=f+X_2在h/+2]上恒大于等于0或恒小于等于0.

fr>0、

则「工，、n'①或《厂+/一2,。,②

Z-VI—Z,.A),

I|^(Z+2)2+r+2-2,,0

解①得工」;解②得/W0.

综上，r的取值范围是［1,+8)

20.【答案】-3

【解答】解：•.•函数〃x)=2d一以2+KaeR)在(0收)内有且只有一个零点，

f'{x)=2x(3x-a),xe(0,+oo),

①当&0时，八x)=2x(3x-a)>0,函数/(x)在(0,物)上单调递增，/(0)=1,

/(x)在(0,E)上没有零点,舍去：

②当a>0时，/")=2武3;<:-〃)>0的解为》>5，，/(;0在(0,会上递减，在0，+8)递增,

又f(x)只有一个零点，二吗)=-，+1=0,解得，=3,

f(x)=2x3-3X2+1,f'(x)=6x(x-l),xe[-l,1],

r(x)＞o的解集为(T,O),

f(x)在(TO)上递增,在(0,D匕递减，

/(—1)=-4,/(0)=1,f(1)=0■

=/(-I)=-4,/(x)_=/(0)=1,

・・・/(X)在［-1,1］上的最大值与最小值的和为：/U),mv+/(x)„„.„=-4+l=-3

21.【答案】(-2,2)

【解析】令/'。)=3/-3=0,得工=±1,可得极大值为/(-1)=2,极小值为了⑴=一2.

y=/(x)的大致图象如图所示，观察图象，得当一2＜。＜2时恰有三个不同的交点.

22.【答案】1一3

2

【解答】解：依题意A=l，《=?-(-1)=万，.,.T=2；r,(o=F=l,.,.y(x)=sin(x-£),故当％=£时，

2332zr66

/U)=0.

nn工/o

二阴影面积为J：(-/(x))d、=J；一sin(x-^)dx=cos(x-^)|6=l~~^

23.【答案】2

【解析】由y=/'(%)无零点，知函数/(%)为单调函数，由/(/(回一2*+[7)=|知/(%)-2'+5

为常数，设/(幻-2'+/=/,则可得/(xy—5+f且/⑺=|02'->/=3=>1=1,故

f(x)=2'--+1,则L(/(x)+x)dx=(2'~—+x+l)dx=J⑵一3+x)dx+x|[=2.

24.【解答】解：(I)若m=2,则f(x)=2x-9xa+12x,

Vf,(x)=6x?-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-1)(x-2),

令f'(x)>0,则x<l或x>2,

故函数f(x)的递增区间是(-8,i),(2,+8);

(II)f(x)=2x-3(m+1)x2+6mx,

f'(x)=6(x-1)(x-m),

①当时，f(x)在(-1,1)递增,

f(x)1Mx=f(1)=3m-1<4,故m<3IWmV三；

33

②当-l<m<l时，f(x)在(-1,m)递增，在(m,1)递减，

f(x)oa/=f(m)=-m'+3m'<4,

BPm'-3m：+4>0>(m+1)(m-2)~‘>0恒成立*-l<m<l；

③当-1时，f(x)在(-1,1)递减，

f(x)(-1)=-9m-5<4,

综上，m的范围是-

25.【解析】(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),

,,/、c_12or2+(«+2)x+l(2x+l)(ox+l)

/(x)=2ax+a+2+-=---------------=-----------,

XXX

令g(x)=ar+l,%>0,

当a20时，g(x)>0,/'(x)>0,则/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，xw(0,-‘)时，g(x)>0，r(x)>0,则/(x)在(0,-,)上单调递增；

aa

xe(-L,+8)时，g(x)<0,f\x)<0,则/(%)在(一L,+oo)上单调递减.

aa

综上，当a20时，/(x)在(0,+8)上单调递增：当a<0时，/(%)在(0,—工)上单调递增，在(一工,用)

aa

上单调递减.

(2)由(1)可知,当a20时,/(%)在(0,+8)上单调递增，

又/(l)=2a+2>0,不可能满足题意，舍去.

当。<0时，f(x)在(0,-工)上单调递增，在(一,,+8)上单调递减，

aa

若/(x)«0恒成立，则/(幻皿，=/(_!)=_L_l+ln(-L)<0,

aaa

令，=-L则f(x\mK=f(t)=t-l+lnt<0,

a

解得即0<-工<1,故aV—1,

a

综上，实数a的取值范围是(-8,-1].

26.【解答】解：(1)当。=1时，f(x)=&(x2-x),

则-⑶=X2-X2(x>0),令f'(X)=0，则X=［，

.・.当0<x<31时，/V)<0；当3时，/r(x)>0.

.•・/(X)的单调递减区间为(0,I),单调递增区间为(1