2023年重庆第二高高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线:.彳=/俗>0,6>0渊离心率为小，则其渐近线方程为

ab'

A.y=±-^2xB.y=土木xC.y=±-xD.y=±-x

2.已知集合4={小2一310<（）},集合B={x|—则等于（）

A.{x|-l<x<5}B.|x|-l<x<5|

C.{止2cx<6}D.{x卜2<x<5}

3.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）

2elA|

C./(%)=——xD./(x)=——

xx

4.已知向量2=(1,2),1=(2,"2),且M，则2等于()

A.4B.3C.2D.1

5.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（%》）分别为（2』.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回归直线方程为》=1.6x+心若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

6.已知过点P。/）且与曲线），=1相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

7.已知点4—3,0）,8（0,3）,若点p在曲线y=—忘/上运动，则△PAB面积的最小值为（）

8.已知集合4={巾妇。,。6/?},8={x[2*<16},若AB,则实数a的取值范围是（）

A.0B.RC.S，4]D.（-oo,4）

22

9.已知椭圆C:——+与=1,直线4："吠+»+3加=。与直线4：x-my-3=0相交于点/>,且P点在椭圆内恒成立，

a-+9a-

则椭圆C的离心率取值范围为（）

M（°，用隹]。,陷D.加

10.设〃?，〃是两条不同的直线，/，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若加_L〃，nila,则B.若加〃£,B工a、则

C.若加_L£,〃_L£,nVa,则"?_LaD.若〃z_L〃，nA./3,/3上a,则m_La

11.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）.甲、乙租车费用为1元的概

率分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）

A.0.18B.0.3C.0.24D.0.36

12.已知集合4={（乂刈/+了2=4},3={（>,h»=2'},则AD8元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△A6C中，角的对边分别为K2Z?cosB=acosC+ccosA,若AABC外接圆的半径为毡，

3

则AABC面积的最大值是.

14.丫展开式中/项系数为no,则a的值为

Ix）

15.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosB+百sin8-2=0；且Z?=l,则AABC周长的

范围为.

16.在（2-x）s的展开式中，1项的系数是（用数字作答）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

222

17.（12分）已知实数x,y,z满足「二+工^+^^=2,证明：1二+;二+^^三千^

1+x21+/1+z21+r1+y1+z

jrrr

18.（12分）如图，在直角△ACS中，NACB=—,ZCAB=~,AC=2,点M在线段AB上.

23

(l)若sin/CMA=^^,求CM的长；

3

(2)点N是线段C5上一点，MN=近,且S谶MN=gSaAC8,求5M+BN的值.

19.(12分)已知玉,天,电£(0,内)，且满足用+马+刍=3%々W，证明：XW+々工3+工3内23.

20.(12分)已知QER,函数/(x)=ln(x+l)-%2+4x+2.

(1)若函数/(x)在[2,长。)上为减函数，求实数。的取值范围；

(2)求证：对(一1,+00)上的任意两个实数X1,%2，总有/[§西+§工2)2§/(芭)+§/(%2)成立.

21.(12分)已知函数=,g(x)=xsinx+cosx.

(1)判断函数g(x)在区间(0,24)上的零点的个数；

(2)记函数/(x)在区间(0,2万)上的两个极值点分别为西、々，求证：/6)+/(工2)<0.

22.(10分)已知函数，(x)=|x+a|+|2x-l|(aeR).

(1)。=一1时，求不等式“X)22解集;

(2)若/(x)<2x的解集包含于；,3,求“的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

222

、45c「b~c)br

详解：：•e=—二道,z-:=—i-=e-1=3-1=2,-=[2,

aWWa

因为渐近线方程为1=±1，所以渐近线方程为V=±缶，选A.

a

2222

点睛：已知双曲线方程三J="0力>0球渐近线方程：三一二=0.=±勺.

a'b'ab'a

2.B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A，之后求得Ap|8.

【详解】

由A={x,—33—10<。}=1%|(x+2)(x-5)<o|={X卜2<x<5},

所以AcB={x|-l<x<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

3.A

【解析】

根据图象可知，函数/(x)为奇函数，以及函数在(0,+纥)上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出.

【详解】

首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，/(%)=为偶函数，不符合题意，排除B；

x

其次，在剩下的3个选项，对其在((),+8)上的零点个数进行判断，/(x)=二在((),+8)上无零点，不符合题意，排除

X

2

D；然后，对剩下的2个选项，进行单调性判断，/(幻=嚏-x在(0,+纥)上单调递减，不符合题意，排除C.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题.

4.D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

因为M=（1,2）,5=（2,4—2）,且MJ_5，

历石=2+2（九一2）=0,

则2=1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

5.D

【解析】

根据样本中心点正J）在回归直线上，求出〃，求解y>15,即可求出答案.

【详解】

依题意最=3.5,1=4.5,（3.5,4.5）在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+a,a=—1.1,勺=1.6%—1.1，

由ji=1.6x-l.l>15,x>10^,

估计第1I年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

6.C

【解析】

设切点为（xo，y0）,则yo=x,；,由于直线1经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（x（）,y0）（x0。0）,则k=/==3二=X；+X。+1,

x。—1x。—1

又•..y'=3x2,.♦.y[x=x（）=3x02,.•.2X（）2-X。一1=0,解得x（）

，过点p（l,1）与曲线C:y=x，相切的直线方程为3x-y-2=0^3x-4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7.B

【解析】

求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于（-1,0）,结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=表示以原点。为圆心，1为半径的下半圆（包括两个端点），如图，

直线A8的方程为x-），+3=0,

可得|AB|=3夜，由圆与直线的位置关系知P在（一L0）时，P到直线AB距离最短，即为I一普+5=0,

则△PkB的面积的最小值为』x3夜x夜=3.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

8.D

【解析】

先化简8={x[2"<16}={x|x<4},再根据A={x|x<a,aeR},且A8求解.

【详解】

因为8={%[2"<16}={X|%<4},

又因为A={X|X<Q,QwR},且AB,

所以a<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线4,4过椭圆的焦点.然后判断出4,4,判断出P点的轨迹方程，根据P恒在椭圆内

列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.

【详解】

设6（—c,0）,鸟（c,0）是椭圆的焦点，所以，="+9一"=%c=3.直线4过点耳（—3,0）,直线《过点名（3,0）,由

于mxl+lx（—租）=0,所以4，/2,所以P点的轨迹是以£，工为直径的圆Y+y2=9.由于尸点在椭圆内恒成立，

所以椭圆的短轴大于3,即—，所以片+9>18,所以双曲线的离心率八六中,

,所以

2

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

10.C

【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.

【详解】

对于A,当初为。内与〃垂直的直线时，不满足A错误；

对于B,设。0尸=/,则当加为a内与/平行的直线时，〃〃//?,但他ua,3错误；

对于C,由根_!•/?,〃_L/?知：mlIn,又〃_La,C正确；

对于。，设。0尸=/,则当加为夕内与/平行的直线时，①〃a,O错误.

故选：c.

【点睛】

本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础

题.

11.B

【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得.

【详解】

由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4,

二甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故选：B.

【点睛】

本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.

12.B

【解析】

作出两集合所表示的点的图象，可得选项.

【详解】

由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合〃表示函数y=2'的图象上的点，作出两集合所表示的

点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点8,所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数

为2,

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6

【解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围8e(0,外可求3的值，利用正弦定理可求。的值，

进而根据余弦定理，基本不等式可求敬的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

解：2Z;cosB-acosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

•.・A+3+C=TT,

/.sin(A+C)=sin5,

1JT

又,.,3£(0,%)，.・.5山8W0,・・.2＜：053=1,即cos8=—,可得：B=—

239

•.•△ABC外接圆的半径为2叵，

3

,bo2G

7i~*3,解得b=2,由余弦定理。2=/+c?-2accosS，可得+c?-ac=4，又/+c2..2ac,

sin—

2

/.4=a2+c2-ac..lac-ac=ac(当且仅当。=c时取等号)，即“c最大值为%

.".△ABC面积的最大值为,x4sin6=百.

2

故答案为：目.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应

用，考查了转化思想，属于中档题.

14.-2

【解析】

表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.

【详解】

2r6rl23r

该二项式的展开式的第r+1项为Tr+}=C^ax}J」］=(-l)-a~C^-x-

33

令12-3r=3=r=3,所以〃=(一1)3.心-3底,J2-3x3=_20flx,贝!|一2。1=160na=-2

故答案为：—2

【点睛】

本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.

15.(2,3]

【解析】

先求B角,再用余弦定理找到边久c的关系，再用基本不等式求a+c的范围即可.

【详解】

解：cos8+百sin8-2=0

2sin(5+3)=2,sin(B+V、=q

b~=a~+c—laccos—

3

I2=a2+c2-laccos—

3

+c)2-1=3ac<3-a；C)

1<a+c<2

所以三角形周长a+c+be(2,3]

故答案为：(2,3]

【点睛】

考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.

16.-40

【解析】

(2-力5的展开式的通项为：C；25T(T):

令r=3,得G25f(-幻’=-40x3.

答案为：-40.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求

出其参数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.见解析

【解析】

尤vzxVzr~

已知条件；~7+7^-7+：~7=2,需要证明的是：;~7+--^+--要想利用柯西不等式，需要

1+%-1+/i+z2i+xi+yi+z

29?-)

xyzz2

----7^-----7-*----y的值，发现合+1+Z2=3-----r-4-----7H----7则可以用柯西不等式.

\+x1+y-i+z+七11+r1+y1+Z

【详解】

----T--:—5----7

1+x-\+y1+z

111.A"1J,zi

---------7H---------H---------=1----------+1---------r+]----------=]•

l+x1+y1+z-l+x1+y\+z~

由柯西不等式得，

(2y2z2Y111fxyz

U+Yl+y21+zz川+冗21+/1+Z2J-^1+X21+/1+Z2

xyz

<2.

11---+--f-7--1-+---y--2-----1--+---z-27

xyz_/-

l+x1+y1+z

【点睛】

本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.

18.(1)3；(2)4+V3.

【解析】

(1)在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案；

(2)由S^8MN=gS^ACB可得BM•BN=4耳，在ABMN中,利用“V=J7及余弦定理得

MN2=BM2+BN2-IBM-BNcos-,解方程组即可.

6

【详解】

(D在VC4M中，已知NC4仞=工，sinZCMA=—,AC=2,由正弦定理，

33

06

ACsin&2x——

CMAC3=__2__

得,解得CM3

sinZCAMsin/CAMsinZCMA

3

(2)因为=；SAAC8，所以；,BA/•BN・sin/=；xqx2x2\^,解得BM,BN=

22622

在gMN中,由余弦定理得，

MN°=BM?+BN?-2BM•BNc吟=(BM+BN》-2BM・BN•1+券

即诉2=$M+BN)2-2X46*1+

(8M+8N)2=19+8B=(4+G『,

故BM+BN=4+5

【点睛】

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.

19.证明见解析

【解析】

将为+々+匕=3%9演化简可得97+++』=3,由柯西不等式可得证明.

【详解】

解：因为内,々,七€(0,48),xl+x2+x3=3X}X2X3,

所以"~—'—■—।—■-=3,

X^)X3X[X]Xy

又(X/2+工2七+工%>>(1+1+1)2=9

所以西七+±%3+WX43,当且仅当玉=/=项=1时取等号.

【点睛】

本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.

20.(1)(-8,1(2)见解析

【解析】

(1)求出函数的导函数，依题意可得了'(幻40在xe[2,+8)上恒成立，参变分离得aW2x-在xe[2,+oo)上

恒成立.设h(x)=2x-一1,求出h(x)min即可得到参数的取值范围；

X+1

(\2、12

(2)不妨设一1<%〈尤2，/(X)=*+一1/(%2)，1£(-1,毛］,

利用导数说明函数E(x)在xe(-l，w］上是减函数，即可得证；

【详解】

解：(1)，.•/(X)=InCx+D-x?+ax+2

：.f'(x)^-^-2x+a,且函数f(x)在［2,-8)上为减函数，即f(x)40在k€［2,”)上恒成立,

/.a<2x---彳在xe［2,+oo)上恒成立.设/?(%)-2x---彳，

•.•函数〃(幻在［2,+8)上单调递增，.・.〃(©1^=〃(2)=4—：=：,

.•.实数。的取值范围为(一00,/.

(2)不妨设一1<玉，

则尸(%)=/(2-F(w)=。，

1(12、11「门2、

小)寸土+了卜§小)=犷身+产卜，(X)

..12222/、、，、12、

•一XH—X=XH——(-X)0>・・一XH修2X,

33~33~3V-733~

又"幻=士一2』,令g(Kx),.•.g'(x)=-岛广2<0,

・•・/(月在了£(-1,+^)上为减函数，・・・/13+|'工2］《/'(工)，

1「(12、1,

-于'—x+—x2-/'(%)<0,即尸(x)W0,

J\DD)

，在xeQLw］上是减函数，，尸/(%2)=。，即尸(x)20,

•'•/(gx+g尤2)-；/(彳)-|'/(%2)NO，

.•.当x«—1,毛］时，f［-x+-x2\>-f(x)+-f(x2).

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

21.(1)2:(2)见解析.

【解析】

(1)利用导数分析函数y=/(x)在区间(0,2〃)上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论;

5,2万｝且满足

(2)设函数y=/(x)的极大值点和极小值点分别为*、%，由(1)知王£—兀.71,XG

(2)-2

xisin+cos=0(z=1,2),—=-tan,于是得出/(%)+/(/)=_5出玉一sin4,由得

Xi玉X2

TT

-tanx,>-tanx2,利用正切函数的单调性推导出,<玉<々-乃v"，再利用正弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

(1)g(x)=xsinx+cosx,g'(x)=xcosx,

­.90<X<2TT,当4)时，cosx>0,xcosx>09g'(x)>。，则函数y=g(x)在［上单调递增;

(43万1/(7137r1

当匕,时，cosxvO,xcosx<0,/(x)v0,则函数y=g(x)在［5,5J上单调递减;

当时，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,则函数y=g(x)在［彳,2口上单调递增.

Qg(())=i>o，gfj=y>0>g(%)=T<。,g(笄)=-芳(°，g(2乃)=i>o.

所以，函数y=g(x)在10,会与卜创不存在零点，在区间已兀)和停2f上各存在一个零点.

综上所述，函数y=g