2023年河南省豫南五市高三压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/G）=sin（s+j+coscoxQ>0）在上的值域为则实数。的取值范围为（）

trJ2,12

N3■'e

JJ

2.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）

A.多1斤B.少1斤C.多7斤

3

3.在A钻。中，M是5c的中点，AM=l,点。在AM上且满足Q=2两，则丽•（而十定）等于（）

4.设m=ln2,〃=lg2,贝！|()

m—n>mn>nm—n>n>mn

m-\-n>mn>m—n

的展开式中，含/项的系数为（

A.-60B.-12

22

6.已知双曲线十-£=l（a>01>0）的左、右顶点分别是双曲线的右焦点尸为（2,0）,点P在过尸且垂直

于x轴的直线/上，当AABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）

X22.D.上一

c.---y-=121.=1

3.44'

7.已知a为锐角，J§.V3sin2a=2sina,则cos2a等于()

2214

A.-B.-c.——D.——

3939

8.已知集合4={幻炉<1},B={x\\nx<\}9贝！]

A.AnB={x[O<x<e}B.AnB={x|x<e}

C.AUS={x10<x<e}D.AU8={x|-l<x<e}

x+2y<\

9.设x,〉满足约束条件上工+》之一1,若z=-3x+2y的最大值为〃，则Rx—。]的展开式中V项的系数为（）

x-y<0IW

A.60B.80C.90D.120

10.+的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

11.执行如图所示的程序框图，如果输入fc[-2,e2],则输出S属于（）

/输入//

s-Mt-35=lnl

/输出S/

[结束]

A.[-3,2]B.[-4,2]C.[0,2]D.[-3,e2]

12.在平面直角坐标系尤0y中，锐角。顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点优],则

sin[26+?J=()

A72hV10r772n3x/10

A.--B.---C.----D.----

10101010

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质

与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000

名高中男生的身高二（单位：cm）服从正态分布N（172,b2）,且P（172<0<180）=0.4,那么该市身高高于180cM

的高中男生人数大约为.

V-2

14.在平面直角坐标系xOy中，直角三角形A〃。的三个顶点都在椭圆方+丁=1（。>1）上，其中A（0,1）为直角

27

顶点.若该三角形的面积的最大值为百，则实数。的值为.

15.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1（）00名学生的

成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在［250,400）内的学生共有一人.

16.平行四边形ABC。中，ZBAD=60°,AB=4,AD=2,E为边CD上一点（不C、。与重合），将平行四边形

ABCD沿BE折起，使五点AB,C,£>,E均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道/i和通过一段抛物线形状的栈道A5连

通（道路不计宽度），人和，2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线/3平行于观光道且与，2相距1.5（百米）（其中

A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于L且交右于M）,在堤岸线，3上的E,尸两处建造建筑物，其中E,尸到

M的距离为1（百米），且尸恰在5的正对岸（BP

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道A3的方程;

（2）游客（视为点尸）在栈道A5的何处时，观测EF的视角（NEP尸）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点尸的

坐标.

18.（12分）已知函数/（x）=|2x-l|+|2x+l|,记不等式〃x）<4的解集为用.

（1）求M；

（2）设a/eM,证明：|闻一时-网+1>0.

19.（12分）已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列（〃GN*）,q=2,且2%,%，3a2成等差数列.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（ED设/=log2。”，S“为数列｛2｝的前〃项和，记,=[+，+=+……+J，证明：L，（<2.

20.（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行

一次NC尸普查，为此需要抽验100（）人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按A个人一组进行随机分组，把从每组人个人抽来的

血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这人个人的血只需检验一次（这时认为每

个人的血化验5次）；否则，若呈阳性，则需对这我个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组我个人的血总共需要

化验Z+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为。，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组攵个人的每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

（2）设p=0.1,试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比

方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五人保留整数）

21.（12分）设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，4=1,若%,生，生成等比数列.

（1）求％及S,,；

（2）设b“="77（"eN*）,设数列｛0｝的前〃项和T“，证明：Tn<\.

22.（10分）已知函数/（x）=|2x+l|.

（1）解不等式：/（x）+/（x-2）„6；

（2）求证：/（x+-/（x-1）,,卜++卜+2a-|.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

将向整理为占sinfs+l根据X的范围可求得s+注£;根据自）/,结合心）的值域和snv•的图象，可知

\3）Jp3J2

-<7rco+~<-，解不等式求得结果.

233

【详解】

.（47r71#.3（研

ftx）=sinl（yx4--I+coscox=sincoxcos-+cosryxsin-+coscox=-y^inajx+-coscwx=,3sin［①x+

7rprii

当x£［。,乃1时，a）x+--7tco+-

j3J

由/G）在［。,兀］上的值域为用+

解得：co

本题正确选项：.4

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从

而得到关于参数的不等式.

2.C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列｛%｝，则4+4+%=4,。8+。9+%0=3,由等差数列的性

441

质得。2=大，，9=L,，。2—=q一1=4，

故选C

3.B

【解析】

由M是5c的中点，知AM是〃C边上的中线，又由点尸在AM上且满足丽=2而可得：尸是三角形A5C的重心,

根据重心的性质，即可求解.

【详解】

解：是BC的中点，知AM是8c边上的中线，

又由点P在4M上且满足衣=2两'

二尸是三角形A3C的重心

PA-CPB+PC）

=丽.丽=-|例2

又TAMn

：.\PA1=-

3

PA（PB+PC）=-^

故选总

【点睛】

判断尸点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点.②性质：丽+而+京=0或

AP+BP+CP取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数•

4.D

【解析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.

【详解】

解：因为m=ln2,〃=lg2,则/«>",且以〃e（0,1）,

所以m-\-n>mn,m+n>m—n,

1111,s,,10,c,

又-----=--T^=log?10-log2e=logo->10g2=1,

nm1g2In2e2

m—n

即----->1,IJ!jm-n>mn,

mn

即m+n>m—n>nm,

故选：D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.

5.B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于3,求出r的值，即可求得含/项的系数.

【详解】

1―4)的展开式通项为&=禺.产'｛一之)=禺・(一2『产3,，

令6-3厂=3,得r=1,可得含/项的系数为C：x(—2)=—12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

6.A

【解析】

点P的坐标为(2,加)(m>0),tanZAPB=tan(ZAPF-ABPF),展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线

计算得到答案.

【详解】

不妨设点P的坐标为(2,m)(;«>0),由于|A因为定值,由正弦定理可知当sinNAPB取得最大值时，A4必的外接

圆面积取得最小值，也等价于tanNAPB取得最大值，

因为tan/APF=9—,tan/8PF=-^,

mm

2+。2—ci

2a2aa

所以tanZAPB=tan(ZAPF-NBPF)=—与十&々二——------s——=一

ab2~b*

1+--------否

mm机+—2Jm--

tnVm

当且仅当机=幺(〃2>0),即当〃2=h时，等号成立，

m

此时NA尸8最大，此时AP8的外接圆面积取最小值，

22_________

点P的坐标为(2,。)，代入三一二=1可得4=后，7=&-/=丘.

ab'

r22

所以双曲线的方程为L-匕v=1.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7.C

【解析】

由石sin2ez=2sina可得cosa=^~,再利用cos2a=2cos2a-1计算即可.

3

【详解】

因为2Gsinacosa=2sina,sincrwO,所以cosa==~,

3

,2]

所以cos2a=2cos2tz-1=——1=一一.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.

8.D

【解析】

因为A={x|x2=,B={x|lnx<l}={x|O<x<e},

所以An3={x|0<x<l},AU8={x|-l<x<e},故选D.

9.B

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到〃=5,再利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数,

37

z=-3x+2y,即旷=一彳+—，故2表示直线与)'截距的2倍，

-22

根据图像知：当x=-l,y=l时，z=-3x+2)，的最大值为5,故“=5.

*=4(2尤)［一七)〈/\r5—r

展开式的通项为:=C；-25-r-(-l)-x2,

取厂=2得到/项的系数为：25-2.(—1)2=80.

【点睛】

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

10.D

【解析】

令x=l得a=l.故原式=(x+-)(2x--)5.(x+-)(2x--)5的通项(用=。5「(2幻5-2,(一%-|)，=。5'<_1)'25-35-2,，

XXXX

由5-2r=l得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-l得r=3,对应的常数项=40,故所求的常数项为40,选D

解析2.用组合提取法，把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出

X

若第1个括号提出从余下的括号中选2个提出,，选3个提出x.

XX

故常数项=X•C；(2X)2<3(-—)3+--C；(-—)2•2(2X)3=40+80=40

XXX

11.B

【解析】

厂+2%—3,16[—2,11

由题意，框图的作用是求分段函数5(力=[innT1,目的值域'求解即得解.

【详解】

由题意可知，

厂+2，—3,tE[―2>1]

框图的作用是求分段函数S(f)=,「，的值域,

Inr,e'j

当，G[-2,1),SG[-4,0)；

当re[l,e2],Se[0,2]

综上：Se[42].

故选：B

【点睛】

本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

12.A

【解析】

根据单位圆以及角度范围，可得〃?，然后根据三角函数定义，可得sindcos。，最后根据两角和的正弦公式，二倍角

公式，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：[乎)+m2=l,又。为锐角

所以加>0,m=—

5

根据三角函数的定义：sin^=—,cos^=—

55

4

所以sin28=2sin3cos^=—

cos20=cos2^-sin20=--

5

/7T\TT7T

由sin2。+—=sin20cos—+cos23sin—

I44

GA"•、入吟4V23V2V2

所以sin2〃+—=—x--------x——=——

I4j525210

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式,

简单计算，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3000

【解析】

根据正态曲线的对称性求出P楂>180）,进而可求出身高高于180cm的高中男生人数.

【详解】

解：全市30000名高中男生的身高。（单位：cm）服从正态分布N（172,cr2）,且P（172<JW180）=0.4,

则尸（J>180）=上与0=0.1,

该市身高高于180CT?2的高中男生人数大约为30000x0.1=3000.

故答案为：3000.

【点睛】

本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.

14.3

【解析】

1-2a2k]-a2lc2

设直线AB的方程为7=履+1,则直线AC的方程可设为y=-7x+l,（际0）,联立方程得到3（山工,）,

k1+a2k21+a2k2

2/上+4

2a4

k\

故.S=,令片k+-,得（a2-I）2+“利用均值不等式得到答案•

1+a4+a2\k'+

【详解】

设直线A8的方程为？=履+1,则直线AC的方程可设为y=-!x+L（际0）

k

y=Ax4-1

-7a2k

由«X2消去y,得（1+/42）^2a2kx=0所以*=0或%=....-

±-+y72=\x9\+a2k2

a

-2crk1-八2、

TA的坐标（0,1）,・・・3的坐标为（二,k・二+1）,即B（

\+a2k2\+a2k2

因此48=(o--2吁>+(i—-y；

\+a^k~\+a'k~

同理可得：AC=

2a4k+-

:.Rt4ABC的面积为S=-AB*AC^12+/+±•2a4__________k_

27k2l+04+/仅+&\+a4+a2\k2+-^

[k2

I_2a。_2a4

令/=后十%,得$―l+«4+«2(r-2)—(/_i)2।02r.

44

I<--2a-=---a--

2

■:t=k+122,SAABC2l(ci-I)27ci{cr-1).

〃2_I2I〃4

当且仅当一~即上区二时，△ABC的面积S有最大值为

yjtaQ(Q—-1)

解之得"=3或"喑

•.%=2±叵2时，f=±zl<2不符合题意，，a=3.

16a

本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15.750

【解析】因为(0.00/+0.001+0.004+a+0.005+0.003)x50=1,得a=0.006,

所以/000x[(0.004+0.006+0.005)x50]=75Ga

527r

16.-----

3

【解析】

依题意可得A、B、E、。四点共圆，即可得到/BED=120°,从而得到三角形BCE为正三角形，利用余弦定理

可得AE,且AE_LBE，要使四棱锥ABED体积最大，当且仅当面3。£，面ABE。时体积取得最大值，利用

正弦定理求出ABCE的外接圆的半径，再又可证他_1面3。后，则外接球的半径R,即可求出球的

表面积;

【详解】

解：依题意可得A、B、E、。四点共圆,

所以NBED+NBAD=180°

因为NB4Z)=60。，

所以NBEO=120",ZBEC=60°r

所以三角形BCE为正三角形，则BE=BC=2,ZCBE=60\ZABE=60°

利用余弦定理得AE2^AB2+BE2-2AB-BE-cosZABE

即=42+22—2X4X2COS600,解得AE=2>/J,贝!I十=至2

所以AEl防，

当面BCE_L.面ABED时，V?_ABED取得最大，

22

所以初式的外接圆的半径而济=仅'

又面BCE_L面ABE。，AE1.BE，且面BCEp面AB£Z)=BE,AEu面ABE。

所以AE_L面BCE,

所以外接球的半径R

1352

所以S=4万R2=4»x—=—"

33

故答案为：—

3

【点睛】

本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，x2=2y,xe[O,1]；(2)P(百一1,2-百)时，视角NEPF最大.

【解析】

(1)以A为原点，八为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点B的坐标可求方程；

(2)设出。的坐标，表示出tan/E//,利用基本不等式求解tanN£P尸的最大值，从而可得观测点尸的坐标.

【详解】

(1)以A为原点，A为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系

由题意知：5(1,0.5),设抛物线方程为x?=2py

代入点8得：p=L故方程为V=2y,xe[O,1]；

(2)设P(&r,t2),f€[0，—],作尸。_L/3于。，记NEPQ=a,ZFPQ=/3

2

EQ="+1,PQ=2-r,FQ="6t

"+11-而

tanor+tan/?_2-t2+2-t2_2(2-5)

tan/EPF=tan(a+/?)=

1-tanatan/?1-2/t4-2t2+3

■(^7

令2—尸二x£,J=2—x,贝！J：

2

2x2x2,6+1

tan/EPF--------------=------------s---------

(2—x)2+2x—lx2-2x4-3.32

x

当且仅当x=3即x=JL即/=2-百，即/=近二立时取等号;

x2

故P(0-1,2-G)时视角NEP尸最大，

答：尸(6-1,2—G)时，视角NE尸产最大.

【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等

式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

18.(1){x|-l<x<l};(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集

(2)将不等式坐标因式分解，结合(1)的结论证得不等式成立.

【详解】

-4x,x<——

2

C11

(1)解：“X)='2,—<x<一

22

4y

由/(x)<4,解得

故“={》|—1<X<1}.

⑵证明：因为,所以同<1,例<1,

所以附一(同+同)+1=(同一1)(网—1)>0,

所以阿|一同一回+1>0.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.

19.(I)=2",neN*；(H)见解析

【解析】

(I)由4=2,且2%,%,34成等差数列，可求得g，从而可得本题答案;

1

(II)化简求得a,然后求得不，再用裂项相消法求即可得到本题答案.

【详解】

(I)因为数列｛4｝是各项均为正数的等比数列(〃eN*),4=2,可设公比为g,q>0,

又2知%,3%成等差数列，

所以24=2%+3生，即2x2/=4+3x2q,

解得4=2或4=一；(舍去)，则a“=q/i=2"，亚产;

n

(II)证明：bn=log2an=log22=n9

112J11、

S=-n(n+1),­=——----=2-------,

2S〃n(n+1)\nn+1J

.1111“11111、“1、

贝!](+T+T+……+不=2(1—3+3-鼻+-+----77)=2(1一一—),

55,S3Sn223nn+1〃+1

因为0<—所以1M2(1-一]]<2

n+\2In+\)

即1W7；<2.

【点睛】

本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明

能力.

20.(1)分布列见解析；(2)406.

【解析】

(D计算上个人的血混合后呈阴性反应的概率为“,呈阳性反应的概率为1-d，得到分布列.

(2)计算E(X)=!-成+1,代入数据计算比较大小得到答案.

【详解】

(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为4,则4=1-

所以人个人的血混合后呈阴性反应的概率为q,呈阳性反应的概率为1-d.

依题意可知X=1,1+i所以X的分布列为：

kk

1+

X~k1

pqk1-/

(2)方案②中.

结合(1)知每个人的平均化验次数为：==

K\KJK

%=2时，E(X)=--0.92+1=0.69,此时100()人需要化验的总次数为690次，

2

攵=3时，E(X)=--0.93+l«0.6043,此时1000人需要化验的总次数为604次，