八年级数学上册勾股定理全章导学案

八年级数学上册勾股定理全章导学案

1-1探索勾股定理(1)

学习目标：

L体验勾股定理的探索过程，认识勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系；

2.会初步证明勾股定理进行简单的计算.

重点和难点：

初步认识勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题.

学习过程：

一、阅读教材2-3页的内容，请完成以下问题：

1.什么是勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于的平方。这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果

直角三角形的两直角边为。力，斜边为c,那么.

试一试：在RtAABC中，4=90。，若a=3,b=4,则。=.

二、合作探究学习

1.探究1：

首先请同学们分小组活动：在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三

边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流。

2.探究2:

⑴观察书上图1-2(左),

正方形A中有个小方格，即A的面积为个单位；

正方形B中有个小方格，即B的面积为个单位；

正方形C中有个小方格，即C的面积为个单位。

⑴你是怎样得出上面的结果的？

图1-3

（2）上面A,B,C之间的面积的大小关系：

3,观察书上图1-3（左），

正方形A中有个小方格,即A的面积为个单位;正方形B中有个小方

格，即B的面积为个单位；

正方形C中有个小方格，即C的面积为个单位。

上面A,B,C之间的面积大的大小关系：

3.探究3:

如果直角三角形的两直角边分别为L6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关

系还成立吗？说明你的理由。

想一想：经过前面的探索你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

小结：直角三角形三边长度之间的关系：

直角三角形两直角边的平方和等于的平方。这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果

用。力和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么___________________.

三、当堂检测

1.解决教材2页图1-1中的问题和教材3页随堂练习第1题

2.填空题:已知在RtAABC中，ZC=90°.

①若a=6,b=8,则c=;

②若a=40,b=9,贝|Jc=;

③若a=5,c=13,贝!JA=;

④若a：6=3：4,c-10,贝ija~,b-.

3.直角三角形的两边长为4,5,则第三边长的平方为（）

A、9B、9或41C、41D、无法确定

4.在RtAABC中，ZACB=90,于点D,AABC的周长是24,BC:AC=3:4,求

AB和CD的长.

四、课堂小结

什么是勾股定理?

五、课后作业:

1.教材4页习题1.11-4题

2.如图，小张为测量校园内池塘A,B两点的距离，他在池塘边选定一

点C,使NABC=90。，并测得AC长26m,BC长24m,则A,B两

点间的距离为m.

3.如图，已知直角AABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影

部分的面积.

1.1探索勾股定理(2)

学习目标：

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和

合作交流的习惯.

2、会用勾股定理解决直角三角形中的简单问题

重点和难点：

能熟练运用拼图的方法证明勾股定理

学习准备：

课前每人准备四个全等的直角三角形

学习过程：

一、阅读教材4-6页的内容，请完成以下问题：

1.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角

形，拼出一个以斜边为边长的正方形.

2.选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理

二、合作探究学习

1.探究1：

观察教材6页图1-8,判断图中三角形的三边长是否满足a?+h2=C2.

2.探究2:

例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.

他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m,你能帮小

王计算出敌方汽车的速度吗？

请写出您的分析与解答:

三、当堂检测

1.教材6页随堂练习

C

d

2.在RtAABC中，ZC=90°R力」

(1)若。=5,b=12,贝!Jc=;

(2)b=8,c=17,则SAABC=.(提示先构好图)

3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉

开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为()

A.8cmB.10cm(C)12cm(D)14cm

4.直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边上的高为()

8060

A.6B.8(C)一(D)一

1313

5.如图，在AA3C中，ZACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高.

⑴求AB的长；

⑵求AASC的面积;

⑶求。的长.

四、课堂小结

这节课你学到了什么知识？你还有什么疑问需要解决?

五、课后作业：

1.教材6页习题1.21-4题

2.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则面积为（）.

A.30cm2B.130cm2C.120cm2D.60cm2

3.折叠长方形ABC。的一边AO,使点。落在8c边的尸点处，若A3=8cm,BC=10cm,求

EC的长.

1.2一定是直角三角形吗

学习目标：

1.经历用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的

探究意识和合作交流的习惯；

2.能认识勾股定理逆定理和他的简单应用.

重点和难点：

能熟练用勾股定理逆定理解决实际问题.

学习准备：

直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？

学习过程：

一、阅读教材%10页的内容，请完成以下问题：

1.直角三角形的判定方法：

(1)；

(2)如果三角形的三边长a,6，c满足/+〃=/,那么这个三角形是直角三角形.

试一试：

①在"BC中，若NA=35。,N8=55。，则AABC_直角三角形(填“是”或“不是”)；

②在AABC中，AB=6,BC=8,AC=1(),则AABC___直角三角形(填"是''或"不是”).

2.什么是勾股数

满足/+〃=c2的三个数，称为勾股数.如:.

二、合作探究学习

1.探究1：

下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,Ec,

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17;

(1)这三组数都满足/+〃=c2吗？

(2)分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

(3)得出结论：______________________________________

2.探究2:

例：一个零件的形状如图，按规定这个零件中NA与NBDC都应为直角，工人师傅量得

零件各边尺寸：40=4,AB=3,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？

请写出您的分析与解答：

13C

D12

4

A3

3.探究3:拓展

在/J7&4A7中，NC=90°,切1四于D,

求证：AB2=AD2+DB2+2CD2

请写出您的分析与证明：

三、当堂检测

1.以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（）

A.5,6,7B.7,8,9C.6,8,10D.5,7,9

2.若三条线段。、b、c满足/+。2=>,这三条线段组成的三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.对角三角形D.无法判断

3.八43。的三边为。,4，且（“+份（。一。）=。2,贝！j（）

A.边a的对角是直角B.0边的对角是直角C.c边的对角是直角D.是斜三角形

4.如果直角三角形的两直角边的长分别为9、12,则斜边长为

5.若有两根木棒长度分别是15cm和8cm,当第三根木棒长为时，方能围成一个直

角三角形.

6、已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O,且BD垂直AC,

求证：.2-------

A

B

四、课堂小结

怎样判定一个三角形是直角三角？

五、课后作业：

1.教材10页习题1.31-5题

2.已知a,b,c为AABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-h4,判断AABC的形状（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等

腰三角形或直角三角形C

3.已知：如图，在AA5C中，是边上的高，且5=4。必。.\

求证：AA3C是直角三角形.N______LA

BDA

L3勾股定理的应用

学习目标：

1.能证明勾股定理与直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模

的思想.

重点和难点：

探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活中的实际问题.

学习过程：

一、阅读教材13-14页的内容，请完成以下问题：

1.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少\

C

B

5

需梯子的长度为__________.

2.在立体图形中求最小值路线长度时，常将立体图形的表面_____转化为平面图形来解决

问题.

二、合作探究学习

1.探究1：蚂蚁怎样走最近

如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的A点有

一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物.

(1)仔细观察自己准备好的圆柱，并画出蚂蚁从A点到B点有哪几种路线图？.

⑵你认为哪条路线最短？mB

(3)最短路程是多少？Qi的值取3)

小结：利用展开图中___________________________解决问题.

2.探究2:验证垂直问题

如图是一尊雕塑，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,

但他随身只带了卷尺.

(1)李叔叔随身只带了卷尺检测AD、BC是否与底边AB垂直，也就是要检测一

ZDAB=,NCBA=.若连接BD或AC,也就是要检测ADAB和ACB《吊,

A是否为一.温

⑵李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边夕心将

垂直于AB边吗?

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂

直于AB边吗？BC边与AB边呢？写出你的检验方法.

3.探究3:

例：如右图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与

AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m.试求滑道AC的长。

请写出您的分析与解答：

三、当堂检测

1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都

是格点，则线段AB的长度为（

A.5B.6C.7

2.一直角三角形两边分别为5,

3.直角三角形的两直角边的比是3:4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是

4.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度向正东

行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10一：0%甲、乙两人相距多

远？

四、课堂小结

这节课你学到了什么知识？你还有什么疑问需要解决?

五、课后作业：

1.教材14页，习题1.41-5题

2..如图所示是棱长为1的正方体，在A点处的蚂蚁为了吃到B点处的食物，它爬行的最短

路程为.

3.如图，圆柱形玻璃杯，高为12an,底面周长为18cm,在杯内离杯底4。”的点C处有

一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达

蜂蜜的最短距离是多少。77.

回顾与思考

学习目标：

1.熟记本章重要知识点.

2.牢记本章相关类型题的解决方法.

重点和难点：

勾股定理及其逆定理在实际生活中的应用.

学习过程：

一、知识回顾

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为。、b,斜边为c,那么

即直角三角形的两直角边的等于斜边的.

2.逆定理：如果三角形的三边分别为。、b、c,且满足,

那么这个三角形是直角三角形.

3.勾股数：三个正整数满足则称这三个数为勾股数.请任意

写出三组勾股数：如.

二、当堂检测

1.教材16页复习题，第1—5题.小组派代表展示讲解.

2.在448C中，ZC=90°,①若a=5,b=12,则c=:

②若c=10,a=3：4,则成＞=

3.等腰AA8C的面积为12cm2,底上的高AZ）=3cm,