2021年北京市初中学业水平考试

2021年北京市初中学业水平考试

数学试卷

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1如图是某几何体的展开图，该几何体是

第I题图

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014—2018年，中央财政累计投入“全

面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元.将169200000000用科学记数法

表示应为

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X10"D.16.92X1O10

3.如图，点。在直线A8上，OC_LOD.若NAOC=120。，则NBOO的大小为

A.30°B.40°C.50°D.60°

4下列多边形中，内角和最大的是

5实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

第5题图

A.a>~2B.|a|>Z>C.a+fe>0D.b—a<0

6同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是

2

7.已知432=1849，442=]936,45=2025，46?=2116.若n为整数，且〃<、2021<n+1，则〃的值为

A.43B.44C.45D.46

8如图，用绳子围成周长为10m的矩形.记矩形的一边长为初7，它的邻边长为加?，矩形的面积为

当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与X，S与x满足的函数关系分别是

第8题图

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9若4不方在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：5f—5y2=.

11方程展=7的解为________________.

XIJ兀

12在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数），=（伏#0）的图象经过点4（1，2）和点8（—1，附，则“

的值为.

13如图'PA'PB是。O的切线，A，8是切点.若/P=50。，则乙403=°.

第13题图

14.如图，在矩形ABC。中，点E，尸分别在BC，AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形

AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

第14题图

16某企业有A，3两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨原材料，加工时间

为（4a+l）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（26+3）小时.第一天，该企业将5吨

原材料分配到A，8两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线

的吨数与分配到3生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配

了5吨原材料后，又给A生产线分配了加吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在

一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则:的值为.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第2L22题，每题6分，第23题5分，第24题6

分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17计算：2sin60°+配+|—5|—（"+2）°.

f4x—5>x+1

18.解不等式组：《3工一4

2〃

19.己知〃2+2/-l=0'求代数式(a—6)2+伙2“+3)的值.

20《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根

杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点8，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在

点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10

步，在点C处立一根杆.取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向.

（I）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，。的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中

作CA的中点。（保留作图痕迹）;

第20题图

(2)在上图中，确定了直线。B表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直

线CA表示的方向为南北方向.完成如下证明.

证明：在AABC中，BA=，。是C4的中点，

：.CA1DB()(填推理的依据).

•..直线08表示的方向为东西方向，

，直线CA表示的方向为南北方向.

21.已知关于x的一元二次方程/-4,小+3机2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求〃？的值.

22.如图，在四边形ABC。中，/4C8=NC4O=90。，点E在8c上，AE〃Z)C，EFA.AB，垂足为F.

(1)求证：四边形AECQ是平行四边形；

4

(2)若AE平分NBAC，BE=5，cosB=§，求8尸和AD的长.

第22题图

23.在平面直角坐标系xOy中1一次函数)，=履+仇%40)的图象由函数x的图象向下平移1个单

位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>~2时，对于x的每一个值，函数y=/nr(〃?W0)的值大于一次函数y—kx+b的值，直接写出m

的取值范围.

24如图，。0是△ABC的外接圆，AO是。0的直径，AOJ_BC于点E.

(1)求证：NBAD=NCAD；

(2)连接B0并延长，交AC于点F，交。。于点G，连接GC.若。。的半径为5，0E=3，求GC和OF

的长.

第24题图

25为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取

了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面

给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：6Wx<8，8<x<10，10W

x<\2，12Wx<14，14WxW16)：

数

频

8二二

7

4卜-----卜十一1一

3r

0"ASW12L4.幻百甯尚

第25题图

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10^x<12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.6

11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中m的值;

(2)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为⑶.在乙城市抽

取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为02.比较0，P2的大小，并说明理

由;

(3)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).

26在平面直角坐标系xOy中，点(1，⑼和点(3，〃)在抛物线尸加+皈4>0)上.

(1)若机=3，〃=15，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(一1，yi)1(2,yi)'(4，对在该抛物线上.若mn<0，比较》的大小，并说明理由.

27.如图，在△A8C中，AB=AC，ZBAC=a，M为BC的中点，点。在MC上，以点A为中心，将

线段AD顺时针旋转a得到线段AE，连接BE，DE.

(1)比较NBAE与的大小；用等式表示线段BE，BM，之间的数量关系，并证明；

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

RI)(：

第27题图

28在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于点A和线段8C，给出如下定义：

若将线段BC绕点A旋转可以得到。。的弦夕。璘(夕C分别是8，C的对应点)，则称线段8c是。。

的以点A为中心的“关联线段”.

⑴如图，点A，3，G，&，C2，&，C3的横、纵坐标都是整数.在线段BiC,>B2c2，83c3中，OO

的以点A为中心的''关联线段”是;

第28题图

(2)Z\ABC是边长为1的等边三角形，点A(0叫，其中fWO.若8c是。。的以点A为中心的“关联线段”，

求t的值；

(3)在△4BC中，4B=1，AC=2.若8c是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接写出。4的最小值

和最大值，以及相应的BC长.

2021北京市初中学业水平考试数学试卷解析

1.B【解析】长方体的展开图中没有圆，选项不符合题意；圆柱的展开图中有两个圆与一个长方

形，...8选项符合题意；圆锥的展开图中没有长方形，...C选项不符合题意；三棱柱的展开图中没有圆，二

。选项不符合题意.

2.C【解析】169200000000=1.692X10]

3.A【解析了.•点O在直线48上，二/AOC+/80C=180。.：/4OC=120。，二N80C=180°—120°

=60。.；OC工OD，，/8。力=90°—60°=30°.

4.D【解析】〃边形的内角和为(〃-2)/180。，设〃边形的内角和为y，则y=(〃-2)X180。，可知y

随〃的增大而增大，可见边数大的多边形内角和也大.四个选项中，边数分别为3，4，5，6，故。选项的

多边形内角和最大.

5.B【解析】由实数a，b在数轴上的对应点的位置，可知一3<a<-2，0<6<1，，A错误；

-2，0<ZK1，：.\a\>2>\>b，b，：.B正确；V~3<a<-2，0<b<\>：.\a\>\h\，：.a+b<0，：.C错误;

V-3<a<-2，0<b<l>：.b-a>0，；.£>错误.

6.C【解析】画树状图如解图：

笄媾

第一枚硬革jE.底.

第二枚硬A币诙反正A成

第6题解图

由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种，

，尸(一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上)=2=；I.

7.B【解析】：1936<2021<2025，.Rl936H20212025，.，-44<^/2021<45.'：n<yj202\<n+\，：.n

=44.

8.A【解析】：用绳子围成周长为10根的矩形，记矩形的一边长为X"?，它的邻边长为y，"，

=5，...y=-x+5，二y与x满足的函数关系是一次函数关系•矩形的面积为Sm2，.•.S=x(—x+5)=一

/+5x，...5与无满足的函数关系是二次函数关系.

9.x27【解析】要使，不方在实数范围内有意义，只需x-7》0，解得x27.

1O・5(x+y)(x—y)【解析】原式=5(3一丁)=5(工+丫)(工一,).

11.x=3【解析】去分母，得2x=x+3；移项，得2x—x=3；合并同类项，得x=3，经检验x=3

是原分式方程的解.

12.-2【解析】:•反比例函数尸5(20)的图象经过点41，2)，八斗，解得％=2，将点仇一1，

22

m)代入y=~，得fn=~r，解得m=—2.

兀1

13.130【解析】,：PA，PB是。。的切线，A，8是切点，二。4_L4P，OBIBP，；.NOAP=NOBP

=90°，在四边形OAPB中，尸=50°，ZAOB+ZOAP+ZOBP+ZP=360°>/AOB+90°+90°+50°

=360。，解得/AOB=l30。.

14.AF=FC(答案不唯一)【解析】•.•四边形48a)是矩形，，4。〃3。.；4/=£0；.四边形4£：(不

是平行四边形，要使平行四边形4EC尸是菱形，只需邻边相等，即4?=FC或AE=EC或AF=AE或EC=

FC.

15.>【解析】甲=/x(U+12+l3+l4+l5)=l3，xz.=]x(12+12+13+14+14)=13，,s%，=5

[(H-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=2'5i=1[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14

-13)2+(14-13)2]=1-

21

16.【解析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5—箝吨，由题意

可得，4x+l=2(5—x)+3，解得x=2，5-x=3，工分配到A生产线的吨数为2吨，分配到B生产线的吨

数为3吨，分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为余第二天开工前，该企业给A生产线

分配了(2+〃?)吨原材料，给B生产线分配了(3+〃)吨原材料，由题意可得，4(2+切)+1=2(3+〃)+3，化简

777I

得，4〃z=2〃，，一=不

n2

17.解：原式=2X坐+2小+5-1

=3>\/§+4.

'4x—5>x+1①

18.解：设“3x—4'

—^―<x②

解不等式①，得x>2，

解不等式②，得x<4，

不等式组的解集为2<x<4.

19.ft?：原式=(“一》+仇2a+b)

=a1-2ab+b2+2ab+b2

=层+2层，

•.•/+2/―1=0，

：.a2+2b2=\，

原式=1.

20.解：(1)如解图，点。即为所求;

第20题解图

(2)BC，等腰三角形三线合一.

21.⑴证明：4ac=(-4"?)2—4XIX3nr—4m2^0，

.••该方程总有两个实数根；

(2)解：x2—4/〃X+3”?2=O可化为(x一,九)(工一3册)=0，

••X\=lTl，X2=3/7L

*/m>09

m<3m.

•••该方程的两个实数根的差为2，

/•X2~x\=3m—m=2m=2»

解得m=\.

22.(1)证明：・.・NAC8=/C4O=90°，

：.AD//EC,

9：AE//DC，

・・・四边形AECD是平行四边形；

4

(2)解：・.・M_LA3，3E=5，cos8=5，

4

・••在中，BF=BBcosB=5X-=4，

EF=yjBE1-BF2=yj52-42=3.

平分/BAC，ZACB=90°，EFLAB，

:.CE=EF=3.

•：四边形AECD是平行四边形，

，AQ=CE=3.

23.解：（I；•一次函数》=丘+6的图象是由函数），=%的图象向下平移1个单位长度得到的，

，。=0-1=—1＞

.♦•一次函数的解析式为），=5—1;

（2）注意取等问题还有平行问题，找到答案不在话下.

m的取值范围为

【解法提示】如解图1当函数）＞=〃«•的图象与一次函数），=%—1的图象平行时＞m=^＞此时当x＞一2

时，对于x的每一个值，函数y=iwc的值大于一次函数y=*—1的值；当x=-2时，y=1x（-2）—1=—

2，当函数y=mx的图象恰好过点（一2»—2）时»m—1，此时当x＞—2时，对于x的每一个值»函数y=mx

的值大于一次函数），=5-1的值；结合函数图象可得，胴的取值范围为

24.（1）证明：是。。的直径，AOLBC，

：.BD=CD，

：.ZBAD^ZCAD；

（2）解：如解图，：A。是。。的直径，A。，8c，

第24题解图

BE=CE.

VOB=OG>

，0E是ABCG的中位线，

：.OE//GC，GC=2OE=6，

：.ZOAF^ZGCF，

*.•/AFO=/CFG，

・•・XAOFsACGF、

.0F_0A_5

,•GLGLd'

.OF5

,•OG-TT'

5525

/.OlypOG=yyX5=五.

25.解：（l）m=10.1；

【解法提示】甲城市的中位数为将25个数据从小到大排列后，第13个数据，为10.1，，m=10.1.

（2）p\<p2，理由如下：

・・•甲城市抽取的邮政企业的4月份收入的平均数为10.8

.•・pi=5+3+4=12.

・・,乙城市抽取的邮政企业的4月份收入的平均数为11.0，中位数为11.5，且11.0<11.5，

.•卬2213»

，P1VP2；

（3）2200百万元.

【解法提示】乙城市的邮政企业4月份的总收入约为200X11=2200（百万元）.

26.解：,.,〃?=3»〃=15，

・••将点（1，3）和点（3，15）分别代入y=a?+fer中，得

3=a+b

15=9a+3Z?

a=l

解得,

[b=2

・・・抛物线的解析式为y=/+2%，

2

・・・该抛物线的对称轴为直线x=—=-1;

ZA1

（2）Va>0，mn<0，

m<0»n>0»

...抛物线的对称轴3x<|，

351357

•••点（一1对到对称轴的距离齐，点（2，州）到对称轴的距离%/2q，点（4"）到对称轴的距离为为弓，

d2<di<d3.

•・50，

・••抛物线上的点距离对称轴越近，¥值越小，

：.y2<y\<y3.

27.解：(1)N3AE=NC4O，

证明：由旋转得，ZDAE=a，AE=AD，

・.•ZBAC=a，

・・・ZDAE=ZBAC，

/.ZBAE+ZBAD=ZCAD+ZBAD，

:・/BAE=/CAD.

*：AB=AC，

/.AABE^AACD(SAS)，

JBE=CD.

TM是8c的中点，

：・BM=CM=CD+MD=BE+MD；

⑵NE=ND.

证明：如解图，连接AM、AN，

•・・A8=AC，M是BC的中点，

：.AMLBC»即NAM8=NAMC=90。，

，NAMN+NBMN=9。。.

'：MN±AB，

JNABC+NBMN=90。，

JNAMN=ZABC.

U：AB=AC，AD=AE，ZBAC=ZDAE=a，

JZABC=ZADE»

，NAMN=NADN，

角相等了，小鹿寻思着，是不是能证四点共圆了呢？

・・・A、D、M、N四点共圆，

JNAND=ZAMD=90°.

\9AD=AE，

:・NE=ND.

Bingo‘四点共圆十三线合一答案,立马就出来了!

第27题解图

28.解：⑴82c2；

【解法提示】以点A为圆心，分别以AB、AC长为半径画圆，与。0的交点距离为2C，且对应点与点

A的夹角相等时，B