初中数学 七年级下册 《三角形内角和定理》教学设计学情分析教材分析课后反思

《三角形内角和定理》教学设计

课标解读

《数学课程标准（2011年版）》在“课程基本理念”中明确指出：数学教学活动是师生

积极参与、交往互动、共同发展的过程.教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探

索、合作交流，体会和运用数学思想与方法，获得基本的活动经验.

《数学课程标准（2011年版）》对本节课的具体要求是：探索并证明三角形内角和定

理.

所以，本节课教学中应着重体现：探索、证明这两个关键词.重在让学生充分经历探索

证明三角形内角和定理的过程，增强学习体验，积累基本的活动经验.证明中规范数学语言

的表述，推理的严密性，培养学生良好的数学学习习惯和数学素养.

教材分析

《三角形内角和定理》在初中数学知识树中的地位如下图所示：

从知识树中可以看出，初中数学分为四大板块：数与代数、图形与几何、统计与概率、

综合与实践。图形与几何主要研究三个方面：图形的性质、图形的变化、图形与坐标，三角

形隶属于图形的性质。《三角形内角和定理》是鲁教版七年级下册第八章平行线的有关证明

的最后一节，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定基础上进行学习的.之前,

学生对三角形内角和定理有了一定的直观认识，具有初步的几何意识、掌握了检验数学结论

的常用方法.《三角形内角和定理》是对前几节证明的自然延续，是平行线性质的后续应用，

是对推理证明的巩固与加深.

同时，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用，是计算角的度数的方法之一，

是学生今后学习多边形内角和以及圆等知识的基础，证明中引入的辅助线的添加方法也为后

面的学习奠定了基础，具有承上启下的作用.探索过程中体现的数学思想和方法对学生的学

习和生活都有较为深远的影响.

教学目标

1.探索证明三角形内角和定理的不同方法，在观察、联想、猜测、论证的过程中发展

探索问题的意识和有条理的思考.

2.掌握证明三角形内角和定理的基本思想和方法,能灵活运用所学知识解决相关问题.

3.初步树立步步有据的推理意识，规范数学语言的表述，体会推理的严谨性，善于思

考和交流，培养良好的数学学习习惯.

学情分析

认知特点：七年级学生逻辑思维处于迅速发展的转折期，已经初步完成了思维从受趣味

性的左右向理性发展的过渡，正在实现由直观形象思维到抽象逻辑思维的转变.

活动经验基础：实验中学注重打造自主型学生文化，学生的学习活动是生动活泼的、主

动的、富有个性的.动手实践、自主探索、合作交流是主要的学习方式.本节课主要采取的

活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有良好的活动经验基础.

知识技能基础：学生在小学和初中七年级上册已经初步学习过三角形内角和定理，对定

理的直观验证认识比较深刻.在本章中又学习了证明的必要性、平行线的判定定理、性质定

理及其证明等，具有初步的几何意识、一定的逻辑思维能力和推理能力.

重点难点

重点：三角形内角和定理的证明与运用.

难点：探索三角形内角和定理的不同证明方法.

教法设计

根据教学目标，要让学生经历探索三角形内角和定理证明的过程.七年级的学生思维活

跃，求知欲强，有了一定的数学学习能力，教师的主要任务是向学生提供充分从事数学活动

的机会，给他们自主的时间、空间，使学生真正成为学习的主人.因此，本节课采用探究研

讨法.在探索的过程中，采用让学生自主尝试的教学方法，以问题引导学生进行操作、观察、

思考、探索，鼓励学生自主探索和合作交流，使学习过程成为再发现、再创造的过程.

评价设计

1.通过响题引入”和“合作探究”实现对目标1的评价.

2.通过“巩固拓展”“达标检测”“课外延伸”评价目标2的达成.

3.通过观察学生的语言表述、书写、交流展示等实现对目标3的评价.

教学过程：

一、情境引入

教师活动：问题引领，看到课题，你想到了什么？

学生活动：回顾三角形内角和定理及验证方法.

设计意图:注重学生已有经验基础，激发学生的学习兴趣，使学生明确本节课学习任务，

在短时间内集中学生的注意力，促进学生积极思考，形成较高的课堂关注.

活动预计：学生在小学和初中七年级上册已经初步学习过三角形内角和，对定理的内容

及通过折纸、测量等验证方法比较熟悉，教师提出的问题看似宽泛，实际上学生根据已有经

验，很快能把问题集中到定理的内容和验证方法上，能够比较准确的表达三角形内角和定理

及其验证方法，教师只需在回顾中引导学生发现，之前验证三角形内角和定理的方法都停留

在直观验证的层面上,能不能通过严密的推理证明三角形内角和定理呢？从而明确本节课的

学习重点与之前的不同之处，激发学生向更高的学习目标前进.

二、合作探究

教师活动：任务驱动，巡视指导.

初中阶段我们不能仅仅满足于直观验证，需要向更高层次发展，能不能通过严密的推理

证明三角形内角和定理呢？

学生活动：结合定理画出图形，写出已知、求证.小组合作探究不同的证明方法.

已知：ZXABC

求证：ZA+ZB+ZC=180°\

BC

设计意图：进一步规范命题证明的步骤，培养学生严谨的学习习惯.

活动预计：大部分学生应该能够顺利写出已知、求证，并画出图形，此处可以学生口答

教师板书，在班级进行规范引领.

探究活动一：（经过三角形的顶点作平行线）

教师活动：巡视指导，适时点拨；组织学生进行探究、批改、反思.

板书：转化平角

1on0----------a

平行线同旁内角

学生活动：

1.以小组为单位交流展示，谈证明思路和方法；

法①法②法③

2.三人板演不同的证明方法，其他人选取一种证明方法在导学案上写出证明过程；

3.反思三种方法的共性：经过三角形的顶点做一边的平行线，实现角的转化，将三个内

角转化成平角或同旁内角.

设计意图：通过小组合作探究，引领学生从具体形象思维向抽象逻辑思维发展，从直观

验证向有条理的推理论证发展，培养学生的观察能力、语言表达能力和分析归纳能力.使学

生在探究过程中认识到证明三角形内角和定理的基本数学思想和方法，形成对基本构图的清

晰认识.在证明过程中逐步规范证明的步骤，以及推理的严密性.

活动预计：有七年级上学期的基础，大部分学生根据以前的学习经验，将三角形三个内

角转化成一个平角或一对同旁内角，容易找到其中的一种或两种证明方法.此时可以组织学

生进行小组交流、班级展讲，反思总结，使学生在探究中不断发生思维碰撞，完善方法，归

纳出证明三角形内角和定理的基本数学思想是转化，具体方法是借助平行线转化角，积累活

动经验.最后以三种解法中添加辅助线位置的特殊性，激发学生质疑，为探究二的进行埋下

伏笔.

探究活动二：（经过三角形边上任意一点做平行线）

教师活动：激发质疑，个别指导，组织学生展讲和反思.

一定要经过三角形的顶点做平行线吗？

学生活动：

1独.立思考完成;

2进.行班级展讲;

3.反思此法与探究一的异同：同，都通过做边的平行线转化角；异，可以从平行线经过

的点的位置、平行线的条数、转化的角的个数进行反思.

设计意图：通过问题，激发质疑，引领学生有条理的思考问题的方法.在学生展讲的过

程中进行适时点拨，引导学生在复杂图形中分解基本图形，培养学生的识图能力.充分认识

探究二与探究一的异同，增强学生的辨析能力.

活动预计：所添加的辅助线经过的点的位置如何确定？部分学生可能没有思考方向.此

时教师可以引导学生从三角形将其所在平面内的点分为三部分的角度思考，从而发现所添加

的辅助线经过的点与三角形就可能有三种不同的位置关系，使学生对本节课的探究形成整体

认识.在探究一的活动基础上，学生有能力独立完成探究二.此活动的关键在于证明后的反

思，对于辅助线位置的不同学生已经达成共识，教师要引导学生从添加辅助线的条数、转化

角的个数、中间角的确定等方面充分认识探究二与探究一的异同，进一步体会证明三角形内

角和定理的基本数学思想和方法.

探究活动三：（经过三角形内或外任意一点做平行线）

教师活动：组织学生思考，小组交流，班级展讲.

学生活动：

1.先独立思考，然后小组

合作完成;

2.反思：可以从平行线经过的点的位置、平行线的条数、转化的角的个数进行反思.

设计意图：探究三重在让学生体会，不论图形怎样变化，解决问题的基本思想和方法不

变，让学生在不断辨析中增强识图能力，认识证明该定理的本质所在，提高学生的逻辑推

理能力.

活动预计：大部分学生应该能顺利的添加辅助线，但部分同学受复杂图形的干扰，转化

角可能会产生困难，使证明受阻.此时合作学习再次发挥其无可替代的作用，组织学生在小

组研讨中进行生帮生、生教生，从而扫清障碍.最后通过超级画板的微课演示，验证三角形

内角和定理适用的普遍性.

纵观整个探究过程，依据辅助线经过的点的位置的不同分为三个层次，遵循由特殊向一

般的发展规律，以运动的观点串联三角形内角和定理的证明，引导学生在探究中步步深入.同

时不断规范证明的步骤以及推理的严谨性，培养学生的观察能力、表达能力、分析归纳能力

和逻辑推理能力.

三、巩固拓展

教师活动：出示练习题，组织学生进行思考、解答、交流.

A组：（口答）

I.△ABC中，（1）NA=55°,NB=15。,ZC=.

（2）ZC=90°,ZA=ZC,则.

2.三角形中三个内角之比为2：3：4,则三个内角的度数分别是

B组：

1.证明：直角三角形两个锐角互余.

2.如图，在RS4BC中，ZBAC=90°,AD1BC,

垂足为试找出图中相等的角，并说明理由.

学生活动：独立思考，同桌互助，班级展示.

设计意图：巩固三角形内角和定理的应用，通过对直角三角形性质的证明向学生渗透从

一般到特殊的数学思想，在运用定理进行计算、推理的过程中增强对定理内涵的理解.

活动预计：本环节设置了两个层次的题组，A组题重在对三角形内角和定理计算功能的

训练，题目难度系数较低，大部分学生能够准确完成，可以采用口答的方式.B组侧重推理

功能的训练，难度适中，可以独立思考完成在导学案上.

四、交流分享

教师活动：进行方法指导，针对知识、方法、情感等方面进行必要补充.

请结合本节课的学习目标，以小组为单位对本节课的学习进行梳理和总结，谈谈自己的

体会和困惑.

学生活动：小组交流，班级分享.

设计意图：在反思总结过程中进行数学知识的梳理及思想方法的构建，帮助学生查漏补

缺，对本节课所学形成较为全面的认识.

活动预计：学生个人的总结比较零散，课堂小结可以以小组共同反思总结的形式进行,

集小组的智慧对本节课所学的数学知识及思想方法进行梳理，进行班级交流，教师进行适当

补充.

教师活动：进行方法指导，针对知识、方法、情感等方面进行必要补充.

五、快乐达标

教师活动：出示检测题

△A8C中，/C=36。，/A=72。，判断△ABC的形状并说明理由.

学生活动：独立完成，组内批改.

设计意图：每节课的达标检测是对学生的一种评价和激励措施.这道检测题的设置，将

计算与证明融合在一起，难度适中，面向绝大多数同学，能够更好地体现对本节课教学目标

达成的检验，给更多的学生带来成功的体验.

活动预计：本道检测题难度适中，大部分学生可以正确解答，快乐达标.对于出现错误

的同学可以采用组内互助或利用课余时间进行个别辅导等方式，帮助他们达成目标.

六、课外延伸

教师活动：出示探究AD

已知：如图四边形48C。是任意一个四边形.广

求证：ZA+ZB+ZC+Z£>=360°/\

RC

学生活动：课外探究

设计意图：这道课外探究题的设置有两个目的，一是巩固三角形内角和定理的应用，二

是实现数学思想方法的迁移，在证明四边形内角和定理的过程中引领学生其与三角形内角和

定理的证明的内在联系，实现问题解决方法的迁移，建立新知识与后续知识之间的联系，为

学生今后学习多边形内角和等知识奠定基础.

活动预计：在本节课活动经验的基础上，大部分学生应该能有条理的思考解答，根据辅

助线经过的点的位置采用不同的方法证明，即：当添加辅助线经过四边形的顶点、经过边上

任意一点、经过四边形内或外任意一点.但是经过四边形外一点添加辅助线的构图相对复杂,

部分学生证明时可能会感到困难，可在第二课时进行适当交流或点拨.

《三角形内角和定理》学情分析

学校及生源情况分析

文登区实验中学是我区的窗口学校，拥有一流的教学设施，师资力雄厚，教学理念先进，

打造自主型学生文化，注重学生创新能力的发展和综合能力的培养.学生主要来自市区内，

整体素质较高.

认知特点分析：七年级学生逻辑思维处于迅速发展的转折期，已经初步完成了思维从受

趣味性的左右向理性发展的过渡，正在实现由宜观形象思维到抽象逻辑思维的转变.

活动经验基础：实验中学注重打造自主型学生文化，学生的学习活动是生动活泼的、主

动的、富有个性的.动手实践、自主探索、合作交流是主要的学习方式.本节课主要采取的

活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验.

知识技能基础：学生在小学和初中七年级上册已经初步学习过三角形内角和定理，用撕

纸拼图的方法，直观地验证过三角形的内角和为180°,对定理的直观验证认识比较深刻.在

本章中又学习了证明的必要性、平行线的判定定理、性质定理及其证明等，具有初步的几何

意识、一定的逻辑思维能力和推理能力.因此，学生具有良好的知识技能基础.

《三角形内角和定理》测评效果分析

一.即时检测效果分析

本节课在三角形内角和定理的证明探索结束后进行了即时检测，设置了两组检测题：

A组：(口答)

1.△ABC中，

(1)ZA=55°,ZB=15°,ZC=.

(2)ZC=90°,NA=NC,则NB=.

2.三角形中三个内角之比为2：3：4,则三个内角的度数分别是.

B组：A

i.证明：直角三角形两个锐角互余.//K

2.(1)△ABC中，ZC=90°,ZA=a,NB=__.\

(2)如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,AD±BC,________n\r

nv

垂足为a试找出图中相等的角，并说明理由.

其中，A组题重在对三角形内角和定理计算功能的训练，

B组题则侧重推理功能的训练.不论是计算功能还是推理功能，对学生来说都是比较熟悉和

简单的.通过课堂理答可以看出A组题学生完成情况很好，95%以上的学生能够准确的解

答.85%的学生能够规范的解答B组题,个别同学推理过程中步骤书写不够严谨或出现错误.

二、作业反馈效果分析

本节课的教学重点不是三角形内角和定理的应用，而是定理的证明，掌握证明三角形内

角和定理的基本数学思想和方法，获取一定的数学活动经验才是本节课的终极目标.本节课

设置的课外延伸题是证明四边形的内角和为360°•,/

A

已知：四边形ABC。是任意一个四边形./\

求证：/A+NB+NC+N£>=360。.（比比谁的方法多）夕』------------AC

此道作业题的设计有两个目的，一是巩固三角形内角和定

理的应用，二是实现数学思想方法的迁移，使学生在证明四边形内角和定理的过程感悟其与

三角形内角和定理证明的内在联系，为今后学习多边形内角和等相关知识打下基础.

从作业反馈情况来看，全班42名学生此题的解答情况如下：

解法4种3种2种1种未交

人数6191142

所占百分比14.3%45.226.2%10%5%

可以看出近60%的学生能够类比三角形内角和定理的证明，使用3种及3种以上的方

法解决此题；86%的学生能够用2种方法证明，可见大部分学生能够较好的掌握证明三角形

内角和定理的思想和方法，并实现迁移应用.

《三角形内角和定理》教材分析

初中数学分为四大板块：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。图形与几

何主要研究三个方面：图形的性质、图形的变化、图形与坐标，三角形隶属于图形的性质。

《三角形内角和定理》是鲁教版七年级下册第八章平行线的有关证明的最后一节，是在学生

学习了证明的必要性和平行线的性质与判定基础上进行学习的.之前，学生对三角形内角和

定理有了一定的直观认识，具有初步的几何意识、掌握了检验数学结论的常用方法.《三角

形内角和定理》是对前几节证明的自然延续，是平行线性质的后续应用，是对推理证明的巩

固与加深.

同时,三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用，是计算角的度数的方法之一，

是学生今后学习多边形内角和以及圆等知识的基础,证明中引入的辅助线的添加方法也为后

面的学习奠定了基础，具有承上启下的作用.探索过程中体现的数学思想和方法对学生的学

习和生活都有较为深远的影响.

《三角形内角和定理》在初中数学知识树中的地位如下图所示:

1.证明：直角三角形两个锐角互余.

2.(1)ZVIBC中，NC=90。，ZA=a,ZB=.

(2)如图，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,AD±BC,

垂足为。，试找出图中相等的角，并说明理由.

设计意图：即时检测中设置了两个层次的题组，A组题重在

对三角形内角和定理计算功能的训练，B组则侧重推理功能的训练，使学生在运用定理解决

问题的过程中增强对其内涵的理解.

二、随堂检测

△ABC中，ZC=36°,乙4=72。，判断△ABC的形状并说明理由.

设计意图：每节课的达标检测是对学生的一种评价和激励措施.这道检测题的设置，将

计算与证明融合在一起，难度适中，面向绝大多数同学，能够较好的检验本节课教学目标的

达成.

三、课外拓展

已知：四边形A8C。是任意一个四边形./\

求证：/A+/B+NC+NO=360°.

设计意图：能够产生课外延伸的课堂才是好的课堂.此道作业题的设计有两个目的，一

是巩固三角形内角和定理的应用，二是实现数学思想方法的迁移，使学生在证明四边形内角

和定理的过程感悟其与三角形内角和定理证明的内在联系，为今后学习多边形内角和等相关

知识打下基础.

摒弃浮华，立足基础，关注发展

.........《三角形内角和定理》课后反思

一、情景引入：摒弃浮华，提升理性思维

初备时，我对本节课第一环节的设计为：操作与思考，我想各位评委老师很容易想象出

我最初的设计，正是让学生采用小学阶段以及初中七年级上学期都曾使用过的撕纸拼图的方

法验证三角形内角和定理.但是在平行班试上后发现，这一环节对学生而言近乎多余，学生

对这一过程的熟练程度出乎意料•，在团队研讨中我们对这一设计提出了质疑，学生已经非常

熟识的内容有没有必要为了追求课堂的“热闹”，追求所谓的“动手操作”刻意而为之，在

征求了威海教研中心陈主任的意见后，我们决定重新设计这一环节，充分利用学生已的有经

验，将七年级下学期几何教学的重点“提升理性思维”，融入到这一环节中，以“看到课题

你想到了什么”这一问题引领学生快速的在脑海中搜索与三角形内角和定理相关的内容，三

角形内角和定理是什么？怎样验证？向学生渗透有条理的思考问题的方式:是什么？为什么？

怎么样？

二、探究过程：自主合作，积累活动经验

我一直认为独立思考、合作探究，交流展示这三者之间是一种层层递进的关系，没有独

立思考的合作探究，实为假探究，不可能