学科整合视角下三角函数周期公式的教学

学科整合视角下三角函数周期公式的教学摘要：三角函数周期公式的教学是三角函数学习的一个难点，学生往往是照搬公式，不容接受理解，本文采取了“发现—归纳---推理---举证”的学习方法帮助学生学习，通过摩天轮的实际问题从物理意义上帮助学生学习周期的概念，进而思考了单位圆在三角函数教学中重要的工具作用。关键词：三角函数、周期、单位圆、整合正文：任意角三角函数作为一类特殊的函数，与学生认知基础中的其它基本初等函数一样都是描述客观世界变化规律的数学模型,是一般函数的下位概念。三角函数对于高一的学生来说，是一种新的基本函数类型，而周期又是三角函数中出现的既新鲜又重要的函数性质，新函数、新性质的抽象教学，这些都是学生的学习难点。可是从教材上来看，三角函数周期公式却出现的很匆忙，总是让人有一种急功近利的功利感，学生对周期的学习更多的是照葫芦画瓢，缺少直观感知，对周期的本质和三角函数周期公式的学习缺少理解。一、“周期”的认识周期现象是客观世界十分常见的现象。利用周期，我们可以更好的认识世界、学习世界。周期性在不同学科、不同领域有其不同而又丰富的含义，例如，在物理上，周期性指的是做简谐运动的质点做具有往复特征的运动；在化学上，元素的周期性是原子序数的递增而呈现出金属性与非金属性的交替；在时令上，四季的轮回是随时间的推移，春夏秋冬→春夏秋冬这种自然现象的循环往复。教材给出了函数的周期定义:对于函数，如果存在一个正数，使得对于函数定义域的一切，等式都成立，则叫周期函数，叫函数的周期。对于以上定义,先从自变量与函数值的变化分析，定义中对一切都有，表明了自变量从变到时,函数值没有发生变化,或者说函数值又重复出现一次。当然,由于定义中对一切都有恒成立，故自变量从变到数值不发生变化,以此类推,有=⋯可推知为周期，则2为周期,3为周期⋯⋯也就是若函数有周期，则函数就有无数个周期，它们是周期的非零整数倍。二、三角函数周期公式的教学课堂教学实践表明,学生知道一次函数刻画了匀速直线运动、二次函数刻画了抛物运动、指数函数描述“指数爆炸”、对数函数描述“对数增长”，我们不禁思考：匀速圆周运动该用什么函数来刻画呢？从而体会到三角函数在描述周期现象中的重要作用。本文章设计的三角函数周期公式教学是在学生已经学习了三角函数图像和周期的定义的基础上进行的，通过“发现—归纳---推理---举证”的学习方法，让学生更加轻松的认识和推导三角函数的周期公式。通过生活中刻画周期现象的物理背景使学生在心理上接受，并在动态中学习和理解周期现象及周期公式。（一）通过图像变换归纳出周期公式例1.在同一直角坐标系中作出函数及的简图.x0sinx010-102sinx020-20sinx00-0通过表格我们可以看出几个不同函数横坐标相同，纵坐标发生变化，图像上表现出来的特征来看，自变量X在一个周期内间距相同，由图表可知振幅A发生变化，函数图像发生了纵向的伸缩变换，故，函数周期不发生变化。例2在同一直角坐标系中作出函数及的简图.xX+0010-10xX-0010-10通过表格我们可以看出一个周期内，函数的两组自变量的间距相同，都是2，从图像上可以清楚的看到几个函数的周期相同，由图表可知初相发生变化，图像沿x轴发生平移变换，因为函数图像是平移变换，故函数周期没有发生变化。例3在同一直角坐标系中作出函数及的简图.x02X0010-10x0X0010-10通过表格我们可以看出，当函数值不变的前提下，由于x的系数不同，函数自变量的取值和一个周期内自变量的间距发生了变化，也就是说x的系数对周期产生了影响，我们可以归纳出系数和周期存在这样的关系，即。（二）利用诱导公式验证周期公式命题：函数（其中）周期为.证明：我们把看成一个新的变量，即=，函数的周期，这就是说增加到且至少要增加到时，函数的值才重复取得，而，因此，当自变量增加到且必须增加到时，函数的值才重复取得.因此，函数的周期为说明：教材例题为我们很好的展示了周期公式的证明过程，只不过教材例题是具体的三角函数，而我们要证明的公式里具有未知的字母符号。通过诱导公式的使用一方面让学生体会到诱导公式的应用，让学生对知识的发生、发展认识的更加体系化，另一方面，通过推理论证，加深对公式的正确性的确认，在主观意识里承认和接受这个公式。（三）在生活背景中理解周期公式我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象。从周期现象的定义看，周期现象蕴含了运动的对应关系，即“相同间隔”就体现出这种动态，重复出现就是“相同间隔”运动后的结果，同时，这个定义里面也蕴含了“任意性”，即不管在何处，只要通过“相同间隔”，该现象就会重复出现。教材的封页给我们展示了旋转的摩天轮，这个实例学生们都很熟悉，是一个很好的背景载体，学生们对周期和运动能很好的建立起认知关系，那么以这个背景为载体设计一个问题来解释周期就能很好的帮助学生记忆和理解公式。例：大观览车的示意图，设观览车转轮半径长为R，转动的角速度为rad/s，点表示座椅的初始位置，此时，当转轮转动秒后，点到达点位置，射线的转角为，由正弦函数定义，得点的纵坐标与时间的函数关系式为，在函数中，点旋转一周所需要的时间，叫做点的转动周期。从物理意义上来看，点运动一周距离为，角速度为，故运动一周的时间是，从物理角度上来理解周期更符合学生的认知规律，和心理预期。从上面这个具体的问题中，我们发现圆和旋转对于三角函数的周期和周期公式学习有突出的作用，不仅能有效的帮助学生记忆三角函数的周期公式，也能将静态的抽象的函数运动起来，增加学生的直观想象能力，加强数学与实际联系。三、课后反思数学来自实际生活，而又超脱于实际，函数是对实际问题的抽象，学生对于函数的学习是从感性具体上升到理性具体的思维过程。从数学教育心理学我们可以知道学生易于接受直观感知的东西，而对于看不见摸不到的东西不容易接受，为了学生很快的掌握三角函数，就需要老师在讲解问题时，多结合实际表象的内容，而单位圆对于三角函数的教学就起到这个作用，从知识形态上看，圆和旋转对于三角学的研究和发展起着至关重要的作用；从教育形态上看，圆和旋转有利于学生接受和学习概念、定义。如：利用单位圆学习三角函数定义，利用单位圆学习诱导公式，利用单位圆画出三角函数图像，利用单位圆比较三角函数大小，还有本文提到的利用单位圆学习三角函数周期，结合单位圆学习三角学的发展历史等等，这样我们的教学也切实的体现了提高学生直观想象这一数学核