辽宁省朝阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（ 含答案解析 ）

2023-2024学年度朝阳市高一年级12月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，若集合，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解不等式求出集合A，再由补集的概念求解答案即可.【详解】∵集合，∴或，故选：B．2.下列统计量中，能更好地度量样本，，…，的离散程度的有（）A.样本，，…，的众数 B.样本，，…，的中位数C.样本，，…，的标准差 D.样本，，…，的平均数【答案】C【解析】【分析】利用众数，中位数，标准差，平均数定义及含义分析求解.【详解】众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；极差是最大值与最小值之差，能在一定程度上刻画数据的离散程度，但可能会忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一组数据离散程度的是标准差.故选：C．3.函数的零点一定位于下列哪个区间（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】在上为单调递增函数，又，故，所以的零点一定在内.故选：B.4.“”是“函数在区间上是增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由二次函数的性质结合充要条件的概念求解即可.【详解】的对称轴为，且图象开口向上，则要使其在区间上是增函数，需，解得．当时，，即对称轴在区间左侧，图象开口向上，在区间上是增函数．故选：C．5.实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数轴点的位置以及不等式相关性质直接求解.【详解】对于A，由数轴可得，，，所以，，则，故选项A错误；对于B，由，，，得，故选项B错误；对于C，因为，即，又，所以，又，所以，故选项C错误；对于D，因为，，且由图可知，即，所以，又，所以，故选项D正确．故选：D6.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当时，单调递减，，且最小值为，当时，当时，单调递增，不符题意，又注意到是上的减函数，故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，则由题意有，解得．故选：A.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“分段法”求得正确答案.【详解】由题意知，，即，，即，，又，即，∴．故选：C8.已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，构造函数，由题可知在上单调递增，结合是定义在上的奇函数可知，是定义域上的偶函数，得到在上单调递减，再求出不等式的解集.【详解】因为，，所以，设函数，则函数在上单调递增，且.当时，不等式等价于，即，即，解得.当时，，不满足.因为是定义在上的奇函数，所以为偶函数且在单调递减，则，当时，不等式等价于，即，即，解得.综上，不等式解集为.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则（）A.B.估计产品长度的样本数据的分位数是C.估计产品长度的样本数据的众数是D.估计产品长度的样本数据的平均数是【答案】ABC【解析】【分析】根据频率和为1计算A正确，确定分位数位于内，计算得到B正确，根据众数定义计算得到C正确，计算平均数得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：，解得，正确；对选项B：长度在以下的比例为，长度在以下的比例为，故分位数位于内，设为，则，解得，正确；对选项C：产品长度的样本数据的众数是，正确；对选项D：平均数为，错误.故选：ABC.10.以下结论中，正确的是（）A.方程组的解集是B.若，则C.函数（且）的图象过的定点坐标为D.函数与函数是相同函数【答案】AB【解析】【分析】A选项消元法解方程组；B选项根据对数函数的单调性解不等式；C选项中可令得定点坐标；D选项通过判断两函数定义域和对应法则是否相同判断函数相等.【详解】对于A选项，由，可得或，当时，，即；当时，，即，所以原方程组的解集为，A正确；对于B选项，由，得，即，B正确；对于C选项，当时，即，，故的图象恒过点，C选项错误；对于D选项，与函数定义域相同但对应法则不同，故不是相同函数．故D选项错误．故选：AB．11.若x，．且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；对于B，，，，B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；对于D，，则有，变形可得，故，当且仅当时，取等号，故D正确；故选：ABD．12.已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点中心对称 B.函数的图象关于直线轴对称C. D.【答案】AC【解析】【分析】由首先得出函数的图象关于点中心对称，由此即可判断AB，结合函数在区间上单调递增，且，以及即可判断CD.【详解】由题意定义域为，且满足，所以函数关于点中心对称，A正确，B错误．又在上递增，故在上递增．由，因为，所以，则，所以，C正确，D错误故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______．【答案】10【解析】【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】．故答案为：10．14.不等式组的解集为，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先解不等式组，再结合解集为可确定a的取值范围.【详解】由得，因为不等式组的解集为，所以，即a的取值范围是．故答案为：．15.若是幂函数，且在上单调递增，则______．【答案】【解析】【分析】由幂函数的定义求出m的值，再结合幂函数的单调性验证即可.【详解】因为是幂函数，所以，解得或2，当时，在上单调递增，满足题意；当时，，不满足题意．故答案为：-1.16.写出一个同时具有下列性质①②③函数_________．①在R上单调递增；②；③．【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】【分析】由指数函数的性质以及运算得出.【详解】对函数，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增；，.故答案为：（答案不唯一，形如均可）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数在上的最小值为1，求实数a的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.（2）根据的对称轴进行分类讨论，根据的最值求得.【小问1详解】当时，，，即即，解得或，所以的解集是或．【小问2详解】的对称轴为，图象开口向上，①当，即时，，即，符合题意；②当，即时，，即，不符合题意；③当，即时，，无解，不符合题意．综上，可得．18.已知函数，且．（1）求a的值；（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．【答案】（1）（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）将代入求值；（2）利用单调性定义证明函数单调性.【小问1详解】由，得，解得．【小问2详解】在区间上是减函数，证明过程如下：由（1）得，对任意，且，则，所以，由，得，，又由，得，于是，即，所以在区间上是减函数．19.已知a，b是一元二次方程的两个不等实数根．（1）求的值（用m表示）；（2）是否存在实数m，使成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2）不存在实数m，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）利用判别式求得的范围，然后根据根与系数关系求得正确答案.（2）根据根与系数关系化简已知等式，根据的范围确定正确答案.（3）用表示，然后根据函数的单调性求得的取值范围．【小问1详解】因为一元二次方程，所以，解得，且，即．由韦达定理可得，，．所以，的值为．【小问2详解】由韦达定理可知．令，整理得，解得．由（1）可知，所以不存在实数m，使成立．【小问3详解】，记，在和上单调递减．由（1）知．所以．20.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）（1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）（2）100百辆，最大利润为1800万元．【解析】【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；（2）分和,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可.【小问1详解】∵∴当时，，当时，．故【小问2详解】由（1）得当时，，∴；当时，，当且仅当，即时等号成立，故．∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．21.已知，（1）用分段函数表示的解析式，作出其图象；并指出函数的定义域与值域，单调区间；（2）解不等式；（3）讨论直线与图象的交点个数，并写出实数a的取值范围（不需要证明）．【答案】（1），作图见解析，定义域为R，值域为，单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）采用分段讨论法可求解析式，由解析式画出图形，结合图形写出的定义域与值域，单调区间；（2）采用分段讨论法，解分段函数对应不等式即可；（3）结合图形可判断，需讨论三种情况下与图象的交点个数.【小问1详解】当时，，当时，，当时，，所以，，作出函数的图象，如下图所示：函数的定义域为，值域为.函数的单调递增区间为：；函数的单调递减区间为：.【小问2详解】当时，由可得，此时，，当时，由可得，此时，，当时，由可得，此时，.综上所述，不等式的解集为.【小问3详解】由（1）中的图可知，当时，直线与图象有2个交点；当时，直线与图象只有1个交点；当时，直线与图象有0个交点.综上所述，当时，直线与图象有2个交点