2024届河南省信阳市高级中学高三上学期数学一模试题及答案

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学试题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．ðA5x0,B{∣yln(x7)},则B（UA∣x21．若集合）A．7]B．C．(7,)D．)2．已知a,b是单位向量，若a(ab),则a在b上的投影向量为（）1A．a1B．a11C．bD．b3333143．设xR,则“2x”是“x2x20”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知tan32,则（4）33A．3B．C．3D．335．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为（）5exex5exex25sinx5xx12A．B．C．D．x22x21x2x112sinxxRf(x)在区间,2)的取值6范围是（1f(x)sin222）115B．15C．,15D．A．,48884887．在四棱雉P中，底面ABCD是直角梯形，AB∥．若CD,ABC90,ABBC23PAPD,PCPB,且三棱雉P的外接球的表面积为，则当四棱雉P的体积最大值时，CD长为（A．3）B．2C．5D．1028．已知a4b21.2,c22.1则（）5A．abcB．bacC．cbaD．acb4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．己知复数z,z，下列命题正确的是（）12A．1z112B．若zz12,则zz21C．zzzz1212D．zzzz1212710．己知等比数列a的公比为q(q0),前n项积为T,若T68,则（）nnA．0q1B．q1C．131TD．141T1514111ABCDABCL中，AB∥CD,ABBC,BCCDABE为为2折痕把△折起，使点A到达点P的位置，且PC23．则下列说法正确的有（）A．平面B．四棱雉P外接球的体积为4D．与平面所成角的正切值为2B．二面角PCDB的大小为4|ln(2x)|(0x2)12．定义在x[0,3]都的函数fx满足fx6fx,且f(x),sinx(2x有f(6x)f(x)0f(x)a(aR)的解构成单调递增数列n,）A．f(2023)0B．若数列n为等差数列，则公差为61nxx3,则0a2D．若1a，则3i16n2nC．若21x3i22122i1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列a满足1a2a46,则公差d__________．n14．己知函数f(x)axsinx22x（a0,且a1yfx在点(0,f(0))处的切线与直线2x2y90平行，则a__________．15108和6表面积是__________．ex,不等式2sinx对任意的x)恒成立，16．己知函数()fxexfaxe2xf(2xx)0则a的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．1710分）己知函数f(x)x(axa,aR,2（1）求关于x的不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)2x0在区间)上恒成立，求实数a的取值范围182分）已知函数f(x)Ax)A0,0,0的图象相邻两条对称轴间的距离为2，2函数f(x)的最大值为2，且__________．fx3；③请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①fx为奇函数；②当x0时()6x是函数f(x)的一条对称轴并解答下列问题：（1）求函数fx的解析式；（2△ABC中，c分别是角,B,C()fA3,c△ABC的面积S33,求△a的值．a1n12nnnN1912分）己知数列a中，*n（1）令nn1a1,求证：数列b是等比数列；nna（2）令cn,当n取得最大值时，求n的值．n3n2012分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,ABCDABC．3（1）若AC27，求梯形ABCD面积；（2）若,求．2112分）如图，五面体P中，平面，ABCD为直角梯形，BCD，21CDAD,PD．2（1）若E为的中点，求证：∥平面（2）求PC的余弦值．22121）证明：当0x1时，xxsinxx;2f(x)cosax1x2,若x0为fx的极大值点，求a的取值范围．（2）已知函数河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学答案一、选择题：题号答案123456C789101112CDACDDDACACABCABD220，bc2122212220.22220.121220.120.12120.18．因为10所以bc；令f(x)x1x(xf(x)1,所以f(x)在)上单调递增，x因为20.21，所以f20.2f,即20.2120.20,2所以ba21.242220.222ln20.2220.2120.20．5所以ba；同理20.11，所以f20.1f,即20.1120.10,也即120.120.10,2ac4222.144ln20.12220.14120.120.10,所以ac．所以5综上，acb,故选：D．11．解：对于E为中点，CD,BE∥CD,∴四边形EBCD为平行四边形，又ABBC,∴四边形EBCD为矩形，CDPD2222,CD2，22PC23,PD2CD2PCCDPD,又PDD,PD,平面,2平面,A正确；对于BC∥DE,BC,即DECD平面EDP,PE平面,CDPE,又CDD,CD,平面EBCD平面EBCD；1∵矩形EBCD的外接圆半径r2222，∴四棱锥P的外接球半径222124Rr2PE213，∴四棱锥P外接球的体积VR34，B3平面EDP,平面，CD；又,∴二面角PCDB的平面角为,PEDE,PEPDE，∴二面角PCDB的大小为,C正确；44对于平面EDPCPD即为直线与平面CDPDPD,22，CD222CDtanCPD与平面所成角的正切值为DPD2222选：ABC．12x[0,3]都有f(6x)f(x)0f(x)关于(3,0)对称，令x3,则ff0,即f0．∵在)的函数f(x)满足f(x6)f(xf(x)的周期为6，作出函数f(x)在6)内的图象如图：A．f(2023)f(6337f0,故A正确．Bx为等差数列，则a(,),此时yf(x)与ya在6)内有且仅nf(x6)f(xf(x)周期是6，即n1x6,即数列x的公差为6，故B正确，nnln(2x0,则C．若21xxx3,即2x2x1,可得2x2x2x2121212122122,即yf(x)与ya在2)内有且仅有20a2C错误；1D．若1a2,则yf(x)与ya在6)内有且仅有3个交点，且2xxf(x6)f(x),则123i263i13i1是以7为首3i13i23i1x3i13i163i212,x3i2项，公差d的等差数列，可得3i23i1712(n12n5,nn(712nn12)3i23i16n2n,故D正确．故选：ABD．22i1二、填空题：13．216．解：因为(所以f(x)为R上的奇函数，14．e15．16．1fx)exex2sin(x)exex2sinxf(x),xexxex22cos又f(x)e2cosx2e2cosxxC，所以f(x)在(,)上单调递增．f(2xx)0对任意的xfaxf(2xx)fx2lnxxxa对任意的x)恒成立，2ex)恒成立，因为所以所以a2exa对任意的x)恒成立，e2x2ex(2xx)ex2ex(2xx)e2lnxx(2xx)对任意的x)恒成立．令即xh(x)exx,所以h(x)ex1,所以当x0时，hxhx在上为增函数；,0上为减函数．当x0时，hxhx在h(x)h(0)e001,设g(x)2lnxx,显然g(x)为)上的增函数，因为所以11111e2000,所以g2ln2g10，所以存在x,1，使得gxe00eee2lnxx(2xx)1,此时2lnxx0,e所以a1，即a的最大值为1．故答案为：1．三、解答题171）由fx0得xax10,1,令xax10,得1a,2当a1时，原不等式的解集为a；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a．（5分）（2）由fx2x0即x2axxa0在)上恒成立，xx2得a令txt，x1x2xt2t12则t322a223．x1tt故实数a的取值范围是(,2210分T181）由题意得A，∴最小正周期T，则2，22T66f(x)2sin(2x)．若选①，为奇函数，则0，fxf332sin0，即sin0，0，即0，即，2336333f(x)2sin2x．32若选②，当x0时f(x)3,2sin3，即sin，30f(x)2sin2x．23若选③，x是函数f(x)的一条对称轴，2k(xZ)，即k(xZ)，122330f(x)2sin2x．6分23333（2f()3,2sin2A3，即sin2A，2A(0,)即333，即A，2A,2A3361c△ABC的面积△ABC33,bcsinA33得b43，23在△ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcA489243321，解得2a21．12分191）证明：由题意，当n1时，a2a12011,21则baa11012,ban2an11121n112a2n1n2nn2n22an1，n1nn∴数列b是以2为首项，2为公比的等比数列．5分n（2）解：由（1）可知，n22n12n,则an1an12n，an1n2n121213222,nn12n11,各项相加，可得即1an02112212n122n2(n2122n1n12,nn112∵当n1时，10也满足上式，an2nnnN*，ann2nn1n2n1(n12n1n2n,则n1，n1n12n1n22nn12n12nn1n,9分n1nn1令()212fnnn,则f(n2n32n1,f(nf(n)2n32n12n12n22n,∵当n1时，22n2210，此时ff(2),当n2时，22，此时f(nf(n),n0ff(2)ff(4)，ff(2)1f10，∴当n1或2时，f(n)0,当n3时，f(n)0,f(n)即当n1或2时，n1nf(n)n1n，n1当n3时，n1nn1n，n1ccccc∴当n3时，数列取得最大值，故n3．12分cn12345142x2201）设x，在△ABC中，由余弦定理可得28x2，整理可得：2x22x240,解得x4,1355△ABC所以4，则△2423，因为CD，所以S△ACD53，所以2222S梯形ABCD△△ACD73；5分（2）设,则,BAC,,BCA，2362BC在△ABC中，由正弦定理可得，6sinsin25sin在△BCD中，由正弦定理可得，2sin331232cossin2sinsin22sincos两式相除可得，展开可得，所以可得315sinsin5sin622253sin27sincos2320,233即53tan27tan230,解得tan或tan，35又因为,，所以tan23323，即tanABD．12分623211）证明：取的中点F,连接EF,CF,1E,F分别是,的中点，∥且；EFAD21BCAD,BC∥ADEF∥BC且EFBCBE∥CF．又平面PCD,CF平面2PCDBE∥平面；5分（2）解：方法一、以P为坐标原点，PD,所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC1,13则P(0,0),3,0),D0),CB,,1，22123PA3,0),AB,,1,AD3,0)．2n3y0设平面PAB的一个法向量为n(x,y,z),则,得x2n(2,13nxyz022nm615求平面的一个法向量为3,0)n．．|n||m|5125平面和平面为同一个平面，∴二面角P的余弦值为；5方法二、以D为坐标原点，,DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，13不妨设BC1,则P,,0,(2,0)，DCB，22323,,0,(，2设平面PAB的一个法向量为n(x,y,z),nPAx33y0y3，得n．，取则22nABxz0易知平面的一个法向量为0)．nm35155n,．|n||m|∴二面角PC的余弦值为．522121）证明：当0x1时，xxsinxx；2f(x)cosax1x2,若x0为f(x)的极大值点，求a的取值范围．（2）已知函数（1）证明：设