2023-2024学年重庆市渝北区渝北区实验中学校九年级上学期期中数学试题（含解析）

2023-2024学年重庆市渝北实验中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（每小题4分，共40分）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．3．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．4．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（

）A． B．C． D．5．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20246．如图，将绕点按顺时针方向旋转115后能与重合，若∠C=90，且点、、在同一条直线上，则∠BA等于（）A． B． C． D．7．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（

）A．3 B．4 C．7 D．3或48．函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

9．抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．有两个整数把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（

）①若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为2；②三次操作后得到的整数对可能为；③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空：（每小题4分，共32分）11．已知方程的一个根是1，则m的值为12．已知抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为．13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则．14．把一元二次方程x（x+1）=4（x﹣1）+2化为一般形式为．15．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是．16．设是抛物线上三点，则的大小关系是(用号连接)．17．若关于的一元一次不䇡式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的的值之积为．18．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19．计算：(1)；(2)．20．解方程：(1)；(2)．21．如图平行四边形中，平分，交于点．(1)请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空．证明：四边形是平行四边形，，，（两直线平行，内错角相等），又平分，平分，，，，__________________（填推理的依据）．22．今年入春以来，我国北方很多地区都经历了多次强烈沙尘天气，但是川渝地区却没有这个困扰，因为秦岭凭借“一己之力”阻挡沙尘暴南下，那么，秦岭是如何挡住风沙的？NK中学的同学通过开展秦岭知识问答活动普及相关知识．现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理，描述和分析，将学生活动成绩分为A、B、C、D四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：抽取的20名八年级学生的成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；抽取的九年级等级C的学生成绩为：88，83，84，81，87，85，89．抽取的八，九年级学生活动成绩统计表学生平均数中位数众数八年级85.286b九年级85.2a91根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：________，_______，________；(2)根据以上数据，你认为在此次知识问答活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若八，九年级共有1200名学生参加活动，请估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求线段的长度；(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．24．在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，．(1)如图1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长；(2)如图2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值．答案与解析1．B【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A项，，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符题意；

B项，，是一元二次方程，故本项符题意；

C项，，不是整式方程，即不是一元二次方程，故本项不符题意；

D项，，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本项不符题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2是解题关键．2．A【分析】根据顶点式解析式即可解答．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：A．【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．3．B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念求解．【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D.是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后图形重合；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后可重合．4．C【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．5．B【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．【详解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．6．C【分析】根据旋转的性质知，再根据是△ABC的外角可求得∠B的度数，即可知∠BAC的度数，再利用180°-∠BAC-∠B1AC1即可求得∠BA的度数.【详解】∵将绕点按顺时针方向旋转115后能与重合，∴，又∵是△ABC的外角，∴∠B=-∠C=25°，∴∠BAC=90°-∠B=65°=∠B1AC1，∴∠BA=180°-∠BAC-∠B1AC1=，选C.【点睛】此题主要考查旋转的性质与应用，熟知三角形中角度计算是解题的关键.7．D【分析】先把方程化为，可得，，再根据等腰三角形的定义可得答案．【详解】解：∵，∴，∴或，解得：，，∴等腰三角形的两边长分别3或4；∴该等腰三角形的底边长为3或4；故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．8．A【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可．【详解】解：当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，三象限，当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第一，三，四象限，所以B不符合题意；当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第二，三，四象限，当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，四象限，所以C不符合题意，D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．9．C【分析】利用二次函数的图像和性质注意判断即可解题．【详解】由图象可得，,∴,故①错误；∵，∴,故,故②正确;抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；∵当时，该函数取得最大值，此时，∴点在该抛物线上,则,即,故④正确．所以正确的有②③④共三个，故选:C．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．10．B【分析】根据把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，对分别进行操作，对各结论逐一判断即可得答案．【详解】对分别进行第一次操作得（34，32），（，32），（32，2），第二次操作得（66，32），（-62，32），（32，34），（2，32），（，32），（32，），（34，2）（，2），（2，32），∴若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为2；故①正确，∵第二次操作中的（，2）经过（，）的操作可得（2，），∴三次操作后得到的整数对不能为，故②错误，∵2和32都是偶数，∴进行或或操作的结果都是偶数，∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是，故③正确，综上所述：正确的结论为①③，共2个，故选：B．【点睛】本题考查数字类变化规律，正确找出操作后的整数对是解题关键．11．4【分析】将代入方程即可求m的值．【详解】解：∵方程的一个根是1，∴将代入方程，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．12．【分析】把代入可得抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当时，；∴点C的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数与y轴的交点坐标，熟练的求解二次函数与y轴的交点坐标是解本题的关键．13．【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再代入所给代数式计算得出答案．【详解】解：∵点关于原点对称的点为，∴，则．故答案为：．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．14．x2﹣3x+2=0．【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax2+bx+c=0的形式即可.【详解】x2+x=4x﹣4+2，x2﹣3x+2=0．故答案为x2﹣3x+2=0．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.15．【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与定义，熟知对于二次函数当时，二次函数图象开口向下是解题的关键．16．【分析】根据解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，进而根据离对称轴越远的点的函数值越小，即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，而离直线的距离最远，离直线的距离最近，∴．故答案为：．17．35【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得．【详解】解：解不等式，去分母得：，解得：，解不等式移项合并同类项得：，∵关于的一元一次不䇡式组的解集为∴由“同大取大”得：a≤7；解分式方程：，分式方程去分母，得：，移项合并同类项得：，系数化为1得：，∵方程的解为非负整数，∴，又∵a≤7，∴满足条件的整数a可以取7，-1，-5其积为．故答案为：35．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．18．【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意求得，，结合题意可得，，推导出所有可能情况，即可求解，理解题意求得，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵能被整除，，∴；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵为整数，∴或，∵，，当，时，；当，时，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，当，时，；∵，，∴的值为：或，∴的最大值为：，故答案为：，．19．(1)(2)【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算：（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．20．(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练的根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键．（1）根据因式分解法求解；（2）根据公式法求解．【详解】（1）解：则∴或∴，；（2）解：，，，∴∴，．21．(1)见解析(2)；；；同位角相等，两直线平行【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的判定，（1）根据题意作的角平分线，交于点；（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，进行推理证明，即可求解．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：四边形是平行四边形，，，（两直线平行，内错角相等），又平分，平分，，，，（同位角相等，两直线平行）．故答案为：，，，同位角相等，两直线平行．22．(1)87.5；86；40(2)九年级的成绩更好，理由见解析(3)估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共约有420人【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由九年级D等级的人数可求出m的值；（2）根据平均数，中位数，众数定义可判断得出答案；（3）利用样本估计总体即可．【详解】（1）解：由题意可知，九年级B等级人数为：（人），A等级人数为：（人），抽取的九年级的学生成绩从小到大排列，排在中间的数分别为：87、88，故九年级学生活动成绩中位数；抽取的20名八年级学生的成绩中，86出现的次数最多，故众数；，即．故答案为：；86；40；（2）解：九年级的成绩更好，理由如下：因为两个年级的成绩平均数相同，但九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级，所以九年级的成绩更好；（3）解：（人），答：估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共约有420人．【点睛】本题考查中位数，众数，样本估计总体，平均数等知识，解题的关键是掌握中位数，众数等概念．23．(1)(2)最大值6，P的坐标为(3)N的坐标为或或或【分析】（1）在中，得，即可得线段的长度为；（2）由，得抛物线的对称轴是直线，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，且，②若为对角线，则的中点重合，且，③若为对角线，则的中点重合，且，分别列方程组即可解得答案．【详解】（1）在中，令，得；∴；令得：，解得，或，∴，∴，∴线段的长度为；（2）∵，∴抛物线的对称