统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练16概率文

概率(16)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．[2023·云南省玉溪第一中学月考]袋中有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中取出2只小球，则取出两只球编号之和是偶数的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,5)D．eq\f(2,5)3．[2023·四川成都月考]已知x、y满足|x|＋|y|≤1，则事件“x2＋y2≤eq\f(1,2)”的概率为()A．eq\f(π,8)B．eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,4)4．[2023·全国乙卷(文)]某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A．eq\f(5,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)5.[2023·全国高三专题练习]如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,9)D．eq\f(4,9)6．[2023·全国甲卷(文)]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)7．[2023·全国高三专题练习]龙马负图、神龟载书图象如图1所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图象如图2所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)8．[2023·全国高三月考]《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)9．祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算eq\r(3)取1.70，结果精确到0.01)()A．3.13B．3.14C．3.15D．3.1610．[2023·黄冈中学、华师附中等八校联考]如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率为()A.eq\f(2,9)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(1,3)11．已知边长为2的正方形ABCD，在正方形ABCD内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A，B，C，D的距离都大于1的概率为()A．eq\f(π,16)B．eq\f(π,4)C．eq\f(3－2\r(2),4)πD．1－eq\f(π,4)12．[2023·贵州黔东南苗族侗族自治州模拟]数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，直线y＝2与抛物线x2＝4y交于M、N两点，M、N两点在x轴上的射影分别为A、B，从长方形ABNM内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·黑龙江哈尔滨市高三模拟]从1，4，9，16，25中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是________．14．[2023·百校联盟高三教学质量考试]张老师每天晚上20：05－20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是________．15．[2023·云南省高三适应性考试]七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是________．16．[2023·四川省眉山市仁寿一中高三模拟]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sineq\f(π,4)x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．概率（16）1．B由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.2．A在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{1，3}，{2，4}共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故选A.3．B区域A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(|x|＋|y|≤1))))是由（1，0），（0，1），（－1，0），（0，－1）为四个顶点的正方形及其内部，区域B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤\f(1,2)))))是以原点为圆心，半径为eq\f(\r(2),2)的圆及其内部，如图所示：区域A是边长为eq\r(2)的正方形及其内部，区域A的面积为SA＝（eq\r(2)）2＝2，区域B的面积为SB＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(π,2)，因此，所求概率为P＝eq\f(SB,SA)＝eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4).故选B.4．A设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：乙甲ABCDEFA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（A，F）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）（C，E）（C，F）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）（D，E）（D，F）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）（E，E）（E，F）F（F，A）（F，B）（F，C）（F，D）（F，E）（F，F）共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故选A.5．D∵tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,2)＝2，∴tanB＝eq\f(EF,FB)＝2，EF＝2FB＝2（BC－EF）＝2（2－EF），解得EF＝eq\f(4,3)，∴S△ACB＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×4×2＝4，S四边形DEFC＝eq\f(4,3)×eq\f(4,3)＝eq\f(16,9)，根据几何概型P＝eq\f(\f(16,9),4)＝eq\f(4,9).故选D.6．D记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故选D.7．A依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为（1，3），（1，5），（1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5，7），（5，9），（7，9），共10种，其中满足条件的为（3，9），（5，7），（5，9），（7，9），共4种，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选A.8．C从八卦中任取一卦，基本事件有8种，其中恰有1根阳线和2根阴线，基本事件共有3种，∴从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为p＝eq\f(3,8).故选C.9．C由题意可得，S正三角形＝4eq\r(3)，内切圆的半径r内＝eq\f(2\r(3),3)，S内切圆＝eq\f(4π,3)，则eq\f(S内切圆,S正三角形)＝eq\f(\f(4π,3),4\r(3))＝eq\f(618,1000)，π＝3.1518≈3.15.故选C.10．A由已知得甲的成绩从小到大为84，86，91，98，98，其中位数为91，平均成绩eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(84＋86＋91＋98＋98,5)＝eq\f(457,5)，因为甲、乙两人5次综合测评的成绩的中位数相等，所以乙的成绩的中位数也是91，两个被污损的数字其中一个必为1，另一个不小于1，不妨设该数字为a（a∈N，1≤a≤9），当乙的平均成绩低于甲的平均成绩时，eq\f(457,5)>eq\f(86＋88＋91＋90＋a＋99,5)，所以a<3，即1≤a<3（a∈N），所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率P＝eq\f(2,9)，故选A.11．D分别以A，B，C，D四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分SABCD＝2×2＝4，S阴影＝SABCD－4×eq\f(1,4)π×12＝4－π由几何测度的古典概型，P＝eq\f(S阴影,SABCD)＝1－eq\f(π,4).故选D.12．B由题可知，M（－2eq\r(2)，2），N（2eq\r(2)，2），∴SABNM＝2×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，由阿基米德理论可知：弓形面积为S弓＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2＝eq\f(16\r(2),3)，S阴＝8eq\r(2)－eq\f(16\r(2),3)＝eq\f(8\r(2),3)，∴概率P＝eq\f(S阴,SABNM)＝eq\f(\f(8\r(2),3),8\r(2))＝eq\f(1,3).故选B.13．答案：eq\f(3,10)解析：1，4，9，16，25的平均数为：eq\f(1,5)（1＋4＋9＋16＋25）＝11，从1，4，9，16，25中任取两个数，基本事件总数n＝10，它们均小于这五个数的平均数包含的基本事件个数m＝3，∴它们均小于这五个数的平均数的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,10).故答案为eq\f(3,10).14．答案：eq\f(11,18)解析：由题意可知，该学生在19：00至20：30之间加入群聊，其时间长度为90分钟．该学生等待直播的时间不超过30分钟，则应该在19：35至20：30之间的任意时刻加入，区间长度为55.由测度比为长度比，可知他等待直播的时间不超过30分钟的概率是eq\f(55,90)＝eq\f(11,18).15．答案：eq\f(7,16)解析：设大正方形边长为1，大正方形面积为S＝1，阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形，由图可知阴影部分正方形的边长为eq\f(\r(2),4)，阴影部分大的等腰直角三角形的直角边长为eq\f(\r(2),2)，小的等腰直角三角形的直角边长为eq\f(\r(2),4)，阴影部分的面积为S′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc