直角三角形的边角关系配套课件-北师大版

第二十六讲直角三角形的边角关系1.了解：锐角三角函数的定义，实际问题中专业术语(仰角、俯角、坡角、坡度)的意义.2.理解：锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)的意义.3.掌握：特殊角的三角函数值.4.能：运用三角函数的知识解决与直角三角形有关的实际问题.一、直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°.1.三边关系：___＋___＝c2.2.角的关系：∠A＋∠B＝_____.3.边角关系：sinA＝___＝cos__；cosA＝___＝sin__；tanA＝___.a2b290°BB【即时应用】1.如图，在4×4的正方形网格中，tanα=___.22.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么sinA的值为___.3.如下图，等腰三角形ABC中，AB=AC=6，底边BC=4，那么cosB=___.二、30°,45°,60°角的三角函数值sinαcosαtanα30°

45°60°

角α

三角函数值三角函数1【即时应用】1.在等腰△ABC中，∠C=90°，那么tanA=__.2.假设∠α的余角是30°，那么cosα的值是__.3.tan60°·cos30°+sin245°=__.12三、实际问题中术语的意义1.仰角、俯角2.坡度i、坡角ααl【即时应用】1.如图，某大坝的横截面为梯形ABCD，坝高AE=12米，斜坡AD的坡度为1∶0.75，那么斜坡AD=___米.152.长为4m的梯子搭在墙上与地面成60°角，作业时可以爬上墙最高为_____m.【核心点拨】1.锐角三角函数的值是一个比值，没有单位，它只与角的大小有关系，而与三角形的三边长无关.2.锐角三角函数是在直角三角形中定义的，但并不是只有直角三角形中的锐角才有三角函数值.3.对于符号“sinA，cosA，tanA〞，每一个都是一个整体，不能拆开.【记忆助手】使运算尽可能地简便，对于选用关系式可归纳为斜边求直边，正弦余弦很方便；直边求直边，正切选用理当然；两边求一边，勾股定理最方便；两边求一角，函数关系要选好；锐角求锐角，互余关系要记好；直边求斜边，用除还需正余弦;计算方法要选择，能用乘法不用除.最后一句话：根底题目堂堂练，中档题目多变变，特别难题少见面，应用问题找化归，融会贯穿最关键.锐角三角函数◆中考指数：★★★★★知识点睛求锐角三角函数值的两个思路1.由已知条件求出角的度数，进而求出其三角函数值.2.将锐角转化为直角三角形中的锐角，利用锐角三角函数定义求出.

特别提醒运用三角函数的前提条件是在直角三角形中，若没有直角三角形，则要设法构造直角三角形.

【例1】(2023·绵阳中考)△ABC，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，那么sin∠ABD=()(A)(B)(C)(D)【思路点拨】作DE⊥AB于点E，构造含∠ABD的直角三角形→∠CBD=∠A→tan∠CBD=tanA=→设BC=2x→CD，AC，AB，BD的长→△ADE∽△ABC→DE的长→结论【自主解答】选A.如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，设BC=2x，∵∠C=90°，tanA=，∴AC=4x，由勾股定理可知AB=.∵∠C=90°，tan∠CBD=，∴CD=x，AD=3x，由勾股定理可知BD=，∵∠CBD=∠A，∠C=∠DEA，∴△ABC∽△ADE，∴，∴DE=∴sin∠ABD=应选A.【对点训练】1.(2023·陕西中考)在△ABC中，假设三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，那么cosB=()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.设BC=5x，那么CA=12x，AB=13x，那么BC2+CA2=AB2，所以△ABC是直角三角形,其中∠C=90°.在Rt△ABC中，2.(2023·内江中考)如下图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为()【解析】选B.设正方形网格的边长为1，构造三角形如图：因为AD2=22+22=8,CD2=12+12=2，AC2=32+12=10，所以AC2=AD2+CD2,即△ADC是直角三角形,所以sinA=所以正确选项是B.【高手支招】求锐角三角函数值常用的方法有三种：(1)设法求出角的度数，然后利用特殊角的三角函数值求值.(2)构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中，然后利用锐角三角函数的定义求解.(3)找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此角的三角函数值.3.(2023·临沂中考)如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC=5,那么△ABC的面积是()(A)(B)12(C)14(D)21【解析】选A.过A作AD⊥BC,因为cosB=,所以∠B=45°，所以AD=BD,因为sinC=,所以,解得AD=BD=3，根据勾股定理得DC=4,所以BC=BD+DC=7，4.(2023·扬州中考)如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是______.【解析】设AB=2k,BC=3k，∴DC=2k,CF=3k.在Rt△DCF中，所以tan∠DCF=答案：30°，45°，60°角的三角函数值◆中考指数：★★★★★知识点睛识记特殊角的三角函数值的两种方法：1.sin30°，sin45°，sin60°的值可巧记为“分母都是2，分子分别是”，而cos30°，cos45°，cos60°的值可记为“cos60°=sin30°＝，cos45°＝sin45°＝cos30°＝sin60°＝”；同时“tan30°和tan60°互为倒数”.◆中考指数：★★★★★知识点睛2.借助一副三角板记忆，如图：特别提醒

sin30°，cos45°等都是作为一个整体参与运算的，不能出现类似sin60°=2sin30°的错误理解.

【例2】(2023·南通中考)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，那么河宽AB为_______m(结果保存根号).【思路点拨】∠CAD的度数→等腰三角形→AD的长→AB的长【自主解答】因为∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠CAD=30°，因此AD=CD=60m，在Rt△ABD中，sin∠ADB=,因此AB=AD·sin∠ADB=答案：【对点训练】5.(2023·济宁中考)在△ABC中，假设∠A，∠B满足|cosA-|+(sinB-)2＝0，那么∠C＝_______.【解析】由非负数的性质得，cosA-=0,sinB-=0,即cosA=，sinB=，得∠A=60°，∠B=45°,所以∠C=180°-45°-60°=75°.答案：75°6.(2023·张家界中考)计算：(2023-π)0-3tan30°.【解析】原式=◆中考指数：★★★★★知识点睛用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型，常见的基本模型有：基本图形关系式BD=CE,AC=BC•tanα，AE=AC+BD直角三角形边角关系的应用知识点睛特别提醒1.坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度.2.仰角和俯角都是视线和水平线的夹角.基本图形关系式【例3】(2023·潍坊中考)校车平安是近几年社会关注的重大问题，平安隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°.(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据=1.73，=1.41)；(2)本路段对校车限速为40千米/小时，假设测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.【思路点拨】(1)在Rt△ADC中求AD→在Rt△BDC中求BD→AB的长(2)由AB的长及时间→求速度→单位换算→结论【自主解答】(1)由题意得，在Rt△ADC中，在Rt△BDC中，所以=24.22≈24.2(米).(2)汽车从A到B用时2秒，所以速度为24.2÷2=12.1(米/秒).因为12.1×3600=43560,所以该车速度为43.56千米/小时，大于40千米/小时，所以此校车在AB路段超速.【对点训练】7.(2023·宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，那么BC的长为()(A)4(B)(C)(D)【解析】选A.在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=6，cosB=，∴可得BC=4.应选A.8.(2023·襄阳中考)在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD，如图，李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m.李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，那么假山的高度为()(A)(4+1.6)m(B)(12+1.6)m(C)(4+1.6)m(D)4m【解析】选A.∵铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，∴李明的仰角是30°，作AM⊥CD，垂足为M，∴tan30°=∴CM=12×tan30°=∴CD=(+1.6)m.9.(2023·潜江中考)五月石榴红，枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角为30°,看房屋底部D处的俯角为45°,石榴树与该房屋之间的水平距离为米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.【解析】作AE⊥CD于点E.由题意可知：∠CAE=30°，∠EAD=45°，AE=米.在Rt△ACE中，tan∠CAE=，即tan30°=∴CE=tan30°=3(米)，∴AC=2CE=2×3=6(米).在Rt△AED中，∠ADE=90°－∠EAD=90°－45°=45°，∴DE=AE=(米).∴CD=CE+DE=(3+)米.答：AC=6米，CD=(3+)米.【创新命题】方程思想在三角函数中的应用【例】(2023·绵阳中考)周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A，B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm，那么可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：＝1.414，＝1.732)()(A)36.21米(B)37.71米(C)40.98米(D)42.48米【解题导引】设人的水平视线到塔顶的高度为x，然后利用x分别表示出点A和点B到塔底的距离，然后利用AB=30米列出方程求解.【标准解答】选D.如图，AB＝EF＝30米，CD＝1.5米，∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∠DFG＝30°.设DG＝x米，在Rt△DGF中，tan∠DFG＝即tan30°＝在Rt△DGE中，∵∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∴DE＝DG＝x.根据题意，得x－x＝30，解得∴CG＝40.98+1.5＝42.48(米).【名师点评】通过对方程思想在三角函数中的应用类试题的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创新点拨此类题目所求的线段的长度与所给的已知条件往往不在同一个直角三角形中，因此不能直接通过某个直角三角形求解，此时需要设出未知数，然后通过列方程求解.解题启示首先根据题意设出未知数,所设未知数应满足的条件是：利用未知数可以表示其他边的长度，从而达到列方程的目的.或者借助于所设未知数，利用三角函数的