2023年甘肃省白银市九年级第二次诊断考试数学试卷（解析版）

白银市2023年九年级第二次诊断考试试题数学试卷注意事项：1.全卷满分150分，答题时间为120分钟．2.请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．1.在实数中，最小的数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据实数大小比较的法则即可解答．【详解】解：∵，∴，∵正数大于零，零大于负数，∴，∴最小的数是，故选：．【点睛】本题考查实数比较大小的法则，熟记实数比较大小的法则是解题的关键．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项．【详解】解：∵，∴错误，故项不符合题意；∵，∴错误，故项不符合题意；∵，∴正确，故项符合题意；∵，∴错误，故项不符合题意．故选：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则，掌握同底数幂的乘运算法则和同底数幂的除法运算法则是解题的关键．3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形概念求解．【详解】解：A、不轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、是轴对称图形；

D、不是轴对称图形；

故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据方程组解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．两方程相减即可得出答案．【详解】∵是方程组的解，∴．两个方程相减，得a﹣b=4．故选：D．5.下面命题正确的是（）A.矩形对角线互相垂直B.方程的解为C.六边形内角和为D.一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质，配方法解一元二次方程的方法，多边形内角和定理，直角三角形全等的判定即可求解．【详解】解：选项，矩形的对角线相互平分，不是相互垂直，故选项错误，不符合题意；选项，方程的解为，故选项错误，不符合题意；选项，六边形内角和为，故选项错误，不符合题意；选项，直角三角形全等的判定方法是“斜边直角边”，故选项正确，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查相关知识的综合，掌握矩形的性质，配方法解一元二次方程的方法，多边形内角和定理，直角三角形全等的判定是解题的关键．6.如图，在中，点D在边上，，交于点E，若线段，则线段的长为（）A.7.5 B.10 C.12 D.15【答案】C【解析】【分析】根据平行线截三角形相似得到，得到，代入数值计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了平行线截三角形相似，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选B．点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．8.如图，在中，为弦，于点D，，过点A作的切线，交的延长线于点C，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，于是得到结论．【详解】解：∵于D，，∴，∵是的切线，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9.如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据平角的定义求出的度数，再用三角形内角和定理可求得；【详解】解：四边形为矩形，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．10.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【详解】①当时，∵正方形的边长为，∴；②当时，，所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．11.计算的结果是_________．【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．详解】解：．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．12.分解因式：=__________．【答案】##【解析】【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．13.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，______．【答案】##50度【解析】【分析】根据平行线的性质，可以得到和的关系，从而可以得到的度数，然后根据，即可得到的度数．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．14.某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是______元．工资/元5000520054005600人数/人1342【答案】5400【解析】【分析】根据中位数的概念求解．【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，则中位数为：．故答案为：5400．【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可．【详解】解：由题意得1+4m≥0，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．16.已知点，，都在反比例函数（为常数，且）的图像上，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据比例函数（为常数，且）中，，图像在第二、四象限，根据图像所在象限的特点即可求解．【详解】解：∵比例函数（为常数，且）中，，∴图像在第二、四象限，当时，图像在第二象限，函数值大于零，函数值随自变量的增大而增大，∴在点，中，，当时，图像在第四象限，函数值小于零，函数值随自变量的增大而增大，∴在点，中，，，综上所述，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像，掌握反比例函数图像的位置，增减性是解题的关键．17.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____．【答案】【解析】【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，∵，∴，由勾股定理，得：，即：，解得，∴圆拱形门所在圆的半径为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18.如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则线段的长为______．【答案】5【解析】【分析】根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，故答案为：5．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19.解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．【答案】x1＝，x2＝1【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（2x－5）（x－1）＝0x1＝，x2＝1【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是移项后利用提公因式进行因式分解．20.化简：．【答案】【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是注意运算顺序和约分．21.如图，在中，．（1）尺规作图：在边上求一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交边即可；（2）先证，，得，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．【小问1详解】解：如图．点P为所求作的点，【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴∽．【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．22.如图，轮船沿正南方向以海里/时的速度匀速航行，在处观测到灯塔在其南偏西方向上，航行小时后到达处，观测到灯塔在其南偏西方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，求此时轮船离灯塔的距离（由科学计算器得到，，，）．【答案】（海里）【解析】【分析】如图所示，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，根据题意可算出的距离，是等腰三角形，在中根据三角函数的计算即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，（海里），∵，，，∴，∴，∴是等腰三角形，即海里，∵，∴（海里）．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握方位角的知识，三角函数的计算方法是解题的关键．23.为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A.书法，B.剪纸，C.足球，D.乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等．（1）小军选修的课程是篮球这一事件是________.（填序号）①不可能事件②必然事件③随机事件（2）若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率．【答案】（1）①（2）【解析】【分析】（1）直接根据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件进行解答即可；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：小军选修的课程是篮球这一事件是不可能事件，故答案为：①；小问2详解】解：

解：画树状图如图：

共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种，则两人恰好同时选修球类的概率是．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了随机事件．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24.为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计表.调查结果统计表组别分组（单位：元）人数4162调查结果扇形统计图请根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有人，，；（2）求扇形统计图中扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数.【答案】（1）50；28；8；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；（2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．【详解】（1）调查的总人数是16÷32%＝50（人），则b＝50×16%＝8，a＝50−4−16−8−2＝20，A组所占的百分比是＝8%，则m＝8．a＋b＝8＋20＝28．故答案是：50，28，8；（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360×＝；（3）每月零花钱的数额x在范围的人数是1000×＝（人）．【点睛】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体百分比大小．25.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．【详解】解：（1）∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数解析式为；∵，，点B在y轴负半轴上，∴点．把点、代入中，得，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）不等式，反比例函数在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值，∵，令，则，∴点；由图象知反比例函数图像在一次函数图像的上方在点的左侧，直线AB与x轴交点的右侧，∴不等式的解集为．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．26.如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）4π﹣8【解析】【分析】(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF得证；(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【详解】(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴D是BC的中点，连接OD，由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；(2)连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，故答案为4π﹣8．【点睛】本题考考查了圆的综合知识，圆的切线的证明，等腰三角形的性质和面积计算，扇形的面积计算，平行的性质应用，掌握圆的知识概念是解题的关键．27.如图，在中，，于点E，过点C作于点F，交于点M，点N在边上，且，连接，延长到点G，使，连接．（1）求证：；（2）试判断的形状，并说明理由．（3）若，，则______．【答案】（1）见解析（2）是等腰直角三角形．见解析（3）4【解析】【分析】（1）先证明，可得是等腰直角三角形，从而得到，可证明，即可；（2）根据平行四边形的性质可得，，，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，可得，即可；（3）根据是等腰直角三角形，可得，再证得四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可．【小问1详解