《解三角形》单元测试卷

《解三角形》单元测试卷

一、选择题

1.己知三角形三边之比为5：7：8,则最大角与最小角的和为（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

2.在△ABC中，下列等式正确的是（）

A.a：b=/A：ZBB.a：b=sinA：sinBC.a：b=sinB：sinAD.asinA=bsinB

3.若三角形的三个内角之比为1：2：3,则它们所对的边长之比为（_

A.1：2：3B.1：2C.1：4：9D.1：^[3

4.在△ABC中，a=^/5,b=V15»A=30°,则c等于（）

A.275B.匹C.2d戢代D.以上都不对

5.已知ABC中，ZA=60°,a=V6-b=4,那么满足条件的△ABC的形状大小（）

A.有一种情形B.有两种情形C.不可求出D.有三种以上情

形

6.在△ABC中，a2+b2-c2<0,则△ABC是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.都有可能

7.在△ABC中，b=V3>c=3,B=30°,则a等于（）

A.眄B.12A/3C.73^273D.2

8.（2004•贵州）△ABC中，a,b、c分别为/A、ZB,/C的对边，如果a,b、c成等差数列，a+c=2b,ZB=30",

△ABC的面积为心，那么b等于（）

2_

A.1+夷B.1+V3c.2W3D.2+V3

22

9.（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150%然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好娟kir,

那么x的值为（）__

A.2V3SKV3B.2V3c.V3D.3

10.有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45。，在其西南方B处看塔顶时仰角为60。，若AB=120米，则

电视塔的高度为（）_

A.60我米B.60米C.60我米或60米D.30米

二、填空题

11.在△ABC中，ZA=45°,ZB=60°,a=10,b=.

12.在△ABC中，ZA=105°,ZB=45\c=&,贝Ub=

13.在△ABC中，A=60°,a=3,则----a+b+c-----=

sinA+sinB+sinC

14.在△ABC中，若a2+b2<c2,且sinC=2^,则NC=.

2

15.平行四边形ABCD中，AB=4&，AC=4如,ZBAC=45",那么AD=

16.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4,则最大角的余弦值=.

三、解答题

17.已知在△ABC中，ZA=45°,a=2,c=V6.求角C.

18.在△ABC中，已知c=l,B=60°,求a,A,C.

19.根据所给条件，判断△ABC的形状.

(1)acosA=bcosB；

(2)

cosAcosBcosC

20.△ABC中，己知NA>NB>NC,且NA=2NC,b=4,a+c=8,求a,c的长.

21.在△ABC中，边a,b,c的对角分别为A.B、C,且siifA+sin2C-sinA・sinC=sin2B

(1)求角B的值；

(2)求2cos'A+COS(A-C)的范围.

22.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c,若cosBcosC-sin8sinC=1/2

(I)求A；

(H)若8+c=4,求AABC的面积.

《解三角形》单元测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.己知三角形三边之比为5：7：8,则最大角与最小角的和为（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数.

专题：解三角形.

分析：设最小边为5,则三角形的三边分别为5,7,8,设边长为7的边对应的角为&则由余弦定理可

得cos。的值，从而求得8的值，则最大角与最小角的和为180。-。.

解答：解：设最小边为5,则三角形的三边分别为5,7,8,设边长为7的边对应的角为则由余弦定

理可得49=25+64-8Ocos0,

解得cosB=2，.♦.3=60。，则最大角与最小角的和为180。-60。=120。，

2

故选B.

点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，体现了转化的数学思想，属于中档题.

2.在△ABC中，下列等式正确的是（）

A.a：b=ZA：ZBB.a：b=sinA：sinBC.a：b=sinB：sinAD.asinA=bsinB

解答：解：在三角形BAC

中，由正弦定理可得

a：b=sinA：sinB.

故选B.

3.若三角形的三个内角之比为1：2：3,则它们所对的边长之比为（）

A.1：2：3B.1：^3：2C.1：4：9D.1：5/2:

4.在△ABC中，b=^i5，A=30°,贝l]c等于（）

A.2匹B.遍C.2/m代D.以上都不对

考点：正弦定理.

专题：计算题.

分析：由a,b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c

的值.

解答：解：由彳而，b=V15，A=30°,利用余弦定理得：

（75）2=（715）入2-2^^哼,即c?-3代+10=3

因式分解得：（c-2后）（c-依）=0,解得：c=2j戢代.

故选C

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.

5.已知△ABC中，ZA=60°,a="R,b=4,那么满足条件的△ABC的形状大小（）

A.有一种情形B.有两种情形C.不可求出D.有三种以上情

形

考J，占、八,•正弦定理.

专题：解三角形.

分析：由条件利用正弦定理可得娓。=」一，解得sinB=&>l,可得B不存在，从而得出结论.

sin60sinB

解答：解：已知△ABC中，ZA=60°,a=JE，b=4,那么由正弦定理可得―返_=—^—,解得sinB=料

sin60°sinB

>1,

故B不存在，

故选C.

点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题.

6.在△ABC中，若a2+b2-c2<0,则△ABC是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.都有可能

考点：三角形的形状判断.

专题：计算题.

分析：

222

利用余弦定理cosC-+b-c即可判断.

2ab

解答：解：•在△ABC中，a2+b2-c2<0,

2,,2_2

：.cosC=-^^——0,

2ab

TT

A_<c<n.

2

•••△ABC是钝角三角形.

故选A.

点评：本题考查三角形的形状判断，考查余弦定理的应用，属于基础题.

7.在△ABC中，c=3,B=30°,则a等于（）

A.MB.12A/3C.73^273D.2

考点：余弦定理；正弦定理.

专题：计算题.

分析：由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可

得到a的值.

解答：解：：b=«,c=3,B=30°,

二由余弦定理b'a'c?-2accosB得：（4耳）-3J&，

整理得：a2-3,\/3i+6=0,即（a-2-\/3）=0，

解得：或a=2«,

贝1」2愿.

故选C

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练

掌握余弦定理是解本题的关键.本题a有两解，注意不要漏解.

8.（2004•贵州）△ABC中，a,b、c分别为NA、NB、NC的对边，如果a,b、c成等差数列,a+c=2b,NB=30。,

△ABC的面积为心，那么b等于（)

2_

A.l+表B.1+V3c.2+V3D.2+V3

22

考点：解三角形.

专题：计算题；压轴题.

分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c,两边平方求得a,b和c的关系式，利用三角形面积公式求

得ac的值，进而把a,b和c的关系式代入余弦定理求得b的值.

解答：解：Va,b、c成等差数列，.，.2b=a+c,得/+/=41）2-2ac、

又「△ABC的面积为旦NB=30。，

2

_=ac=

故由S^ABC="|acsinB=|acsin30。^^2

得ac=6.

797

.*.a+c~=4b~-12.

a?+c2_匕24b2-12-b2炉-443

由余弦定理,得cosB===

2ac=2X6~4~~2,

解得b2=4+21。

又b为边长，.•.b=l+«.

故选B

点评：本题主要考查了余弦定理的运用.考查了学生分析问题和基本的运算能力.

9.（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150。，然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好娟kir,

那么x的值为（）

A.B.273C.V3D.3

考点：解三角形的实际应用.

专题：计算题.

分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求

得x的值._

解答：解：如图，AB=x,BC=3,AC=V3>ZABC=30".

由余弦定理得3=x?+9-2x3xxxcos30".

解得X=2J5或X=A/3

故选A.

点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形.根据数据特点选择合适的定理建立方程求

解.

10.有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45。，在其西南方B处看塔顶时仰角为60。，若AB=120米，则

电视塔的高度为（）_

A.60百米B.60米C.60代米或60米D.30米

考点：解三角形的实际应用.

专题：解三角形.

分析：作出符合题意的图形，利用三角函数及勾股定理，即可求得结论.

解答：解：如图所示，设电视塔的高度CD=h,ZCAD=45",ZCBD=60°,ZADB=90°,AB=120米，

则AD=h,BD=落3，4Z\

在RSABD中，VBD2+AD2=AB2,/：\

/+咯）2=1202/5\

.,.h=60V3^/\

故选A.

点评：本题考查学生利用数学知识解决实际问题，考查方位角，考查学生的计算能力，属于中档题.

二、填空题_

11.在△ABC中，ZA=45°,ZB=60°,a=10,b=5%.

考点：正弦定理.

专题：解三角形.

分析：由条件利用正弦定理可得一旦一=^^―,由此求得b的值.

sin45sin60

解答：解：在AABC中，：/A=45。，ZB=60%a=10,则由正弦定理可得a=b,即

sinAsinB

10二b,

sin450sin600

解得b=5遍,

故答案为5瓜

点评：本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题.

12.在△ABC中，ZA=105°,ZB=450,c=&,则b=2.

考点：正弦定理.

专题：解三角形.

分析：利用三角形内角和公式求得角C的值，再利用正弦定理求得c的值.

解答：解：：在△ABC中，/A=105°,ZB=45\AZC=180°-A-B=30°.

再由c=&,利用正弦定理可得b=c,即b近解得c=2,

sinBsinCsin45sin30

故答案为2.

点评：本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题.

13.在△ABC中，A=60°,a=3,则----空叱-----=_2A/S_.

sinA+sinB+sinC

考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用.

专题：计算题.

分析：由A的度数求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA,算出比例式

的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值.

解答：解：由A=60°,a=3,

根据正弦定理得：a=b_邑L2我，

sinAsinBsinCsin60

则-----a+b+c-----=273.

sinA+sinB+sinC

故答案为：2dm

点评：此题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

14.在△ABC中，若a2+b2<c2,且sinC=2^,则NC=空

2—3―

考点：余弦定理.

专题：计算题.

分析：直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sinC=2^,求出/C的值.

2

解答：解：因为在△ABC中，若a2+b2〈c2,所以三角形是钝角三角形，ZO90%又sinC=1所以

2

ZC=22L.

3

故答案为：空.

3

点评：本题是基础题，考查三角形的有关计算，勾股定理、余弦定理的应用，考查计算能力.

15.平行四边形ABCD中，AB=4遍，AC=4«,ZBAC=45°,那么AD=4\质.

考点.余弦定理；正弦定理.

专题:计算题；解三角形.__

分析:在△ABC中利用余弦定理，算出BC=4«,再由平行四边形边的性质可得AD=BC=4j&

解答:解：:△ABC中，AB=4&，AC=4A/3，ZBAC=45°,

...根据余弦定理，得

BC2=AB2+AC2-2AB«ACcos45°=96+48-2x4^4^^48

/.BC=4我

•.•四边形ABCD是平行四边形,

.*.AD=BC=4V3

故答案为：4M

点评：本题给出平行四边形的对角线和一边之长，再已知对角线与边的夹角的情况下求平行四边形的另

一边长.着重考查了平行四边形的性质和余弦定理等知识，属于基础题.

16.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4,则最大角的余弦值=1

4-

考J，占、八,•余弦定理.

专题：计算题；解三角形.

分析：根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4.设a=2k,b=3k,c=3k,利用余弦定理求出cosC之值，

即得最大角的余弦值

解答：解：♦△ABC中,sinA：sinB：sinC=2：3：4,

...根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4,可得c为最大边，角C是最大角

设a=2k,b=3k,c=3k(k>0)

222222

.ra+b-c4k+9k-16k1

2ab2X2kX3k4

即最大角的余弦值为

4

故答案为：-工

4

点评：本题给出△ABC的三个内角的正弦之比，求最大角的余弦值.着重考查了利用正、余弦定理解三

角形的知识，属于基础题.

三、解答题

17.已知在△ABC中，ZA=45°,a=2,c=加，求角C.

考点：正弦定理.

专题：计算题；解三角形.

分析：

由正弦定理可得a=c,把己知可求sinC,进而可求C

sinAsinC

解答：解：vZA=45°,a=2,C=A/G

由正弦定理可得产=一

sinAsinC

.\sinC=csinA=^义返=立

a222

，C=60°或120°

点评:本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题

18.在△ABC中，已知c=l,B=60。，求a,A,C.

考点：解三角形；正弦定理.

专题：计算题.

分析：由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由c小于b,根据

大角对大边可得C小于B,由B的度数可得C的范围，进而利用特殊角的三角函数值即可求出C

的度数，由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，发现A为直角，故由b和c

的长，利用勾股定理即可求出a的长.

解答：解：*•,b=V3-c=l,B=60°,

近

由正弦定理得：sinC=SsinB2

bV32

又c<b,.,.C=30°；...（6分）

.,.A=180--B-C=90°；...(8分)

...△ABC为直角三角形，又b=f，c=l,

根据勾股定理得：a=A/b2+c2-2....(11分)

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的内角和定理，勾股定理，以及特殊

角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

19.根据所给条件，判断△ABC的形状.

(1)acosA=bcosB；

(2)

cosAcosBcosC

考点：三角形的形状判断.

专题：解三角形.

分析：(□△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB.故有sin2A=sin2B,可得2A=2B,

或2A+2B=rt,BPA=B,或A+B=2L.由此可得，△ABC的形状.

2

(2SABC中，由条件利用正弦定理可得sinA=sinB=sinC,即tanA=tanB=tanC,故有A=B=C,

cosAcosBcoC

由此可得结论.

解答：解：(1)△ABC中,acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,故有sin2A=sin2B,

；.2A=2B,或2A+2B=n,即A=B或A+B=2L.

2

若人=8,△ABC为等腰三角形；若A+B=E,则可得C=2L,△ABC为直角三角形.

22

综上可得，△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(2)△ABC中，:a=b=c,则由正弦定理可得sinA=sinB=sinC,即

cosAcosBcosCcosAcosBcoC

tanA=tanB=tanC,

・・・A=B二C,故△ABC为等边三角形.

点评：本题主要考查正弦定理的应用，判断三角形的形状，属于中档题.

20.△ABC中，己知NA>NB>NC,且NA=2NC,b=4,a+c=8,求a,c的