2023人教版八年级数学下册知识点

第十六章二次根式

1.二次根式：式子C(。20)叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：4a：①近20,②a20

附：具有非负性的式子：①及20；②同2()；③/N0

4.最简二次根式：必需同时满意以下条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;

⑶分母中不含根式。

5.同类二次箱式：

二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样,那么这几个

二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：

「a(。>0)

(1)(G'a(a20)；(2)"=时=J0(a=0)；

7.二次根式的运算：L-a(a<0)

(1)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二

次根式.

(2)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘〔除)，

所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

b\Jb

y[ab=A/O,>Jb(a20,b，0)；1b20,a>0].

a-Ja

(3)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法

的安排律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

第十七章勾股定理

1.勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为。，b,斜边长为c,那么

a2+b2=c\

应用：

⑴直角三角形的两边求第三边(在A4BC中，"=90。，那么c=

b=y/c2-a2=4c^)

(2)直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

2.勾股定理逆定理：假如三角形三边长a,b,c满意/+。2=,2,那么这个三角

形是直角三角形。

应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重

要方法。

(定理中a,b,c及a2+〃=c2只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如

假设三角形三边长”，b,c,满意笳+。2=〃，那么以〃，b,c,为三边的三角形

是直角三角形，但是6为斜边)

3、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即病+〃=02中，

a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25

等

4.直角三角形的性质

(1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：ZC=90°nNA+NB=90°

(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°]

[=>BC=-AB

f2

ZC=90°J

[3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90°]

L=>CD=-AB=BD=AD

|2

D为AB的中点J

5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原

命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)

推断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

7、证明的一般步骤

(1)依据题意，画出图形。

(2)依据题设、结论、结合图形，写出、求证。

(3)经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程。

第十八章平行四边形

一.平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

DC

2.平行四边形的性质

角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

边：平行四边形两组对边分别平行且相等;

对角线：平行四边形的对角线相互平分；

面积：①$=底、高=211;

3.平行四边形的判定方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组平行且相等的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

⑤对角线相互平分的四边形是平行四边形；

二、特别的平行四边形

（一）矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

2、矩形的性质

①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角

线相互平分且相等；

3、矩形的判定：

（1）平行四边形+一个直角'

（2）三个角都是直角四边形ABCD是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形

（二）菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、菱形的性质:

①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线相互

垂直平分且每条对角线平分每组对角；

3、菱形的判定方法：木

⑴平行四边形+一组邻边等1/\

（2）四个边都相等=四边形四边形ABCD是菱形.AZ-UAC

（3）对角线互相垂直的平行四边形）

（三）正方形B

1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形

2、正方形的性质：

①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；③对角线：对角线相互垂直平

分且相等，每条对角线平分每组对角。

3、正方形的判定方法：

⑴平行四边形+一组邻边等+一个直角’

(2)菱形+一个直角，=＞四边形ABCD是正方形.

(3)矩形+一组邻边等

(四)三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

如图：是AABC的中位线

，DE〃BC,DE=1BC

2

(五)几种特别四边形的面积问题

①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,那么S矩形=ab.

②设菱形ABCD的一边长为a,高为h,那么S菱形=ah；假设菱形的两对角

线的长分别为。，c,那么§菱形=/

③设正方形ABCD的一边长为°,那么SE方形=/；假设正方形的对角线的长

为鼠那么S正方形

第十九章一次函数

—.常量、变量：

在一个改餐过程中，数值发生改变的量叫做变量；数值始终不变的量叫

做常量。

二、函数的概念：

函数的定义：一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量x与y,并且

对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是

自变量，y是x的函数.

函数的推断：对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值和它对应。

三、函数中自变量取值范围的求法：

11)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

13)用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数

(4)假设解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各局部的取值范围，然

后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对

对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就

是这个函数的图象.

五、用描点法画函数的图象的一般步骤（一般取五个点）

1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）

留意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵

坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：1依据横坐标由小到大的依次把所描的各点用平滑的曲线连接起

来）。

六、函数有三种表示形式：

（1）列表法（2）图像法（3）解析式法

七、正比例函数

1、定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且kWO）的函数叫做正比例函数.其中

k叫做比例系数。

特征：（1）k为常数，旦kWO

（2）自变量的次数是1

（3）自变量的取值范围为全体实数。

2、图象：

（1）正比例函数y=kx（k是常数，kWO））的图象是经过原点的一条直线,

我们称它为直线丫=kxo必过点：（0,0）、（1,k）

（2）性质：当k>0时，直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着

x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二，四象限，从左向右下降，即

随着x的增大y反而减小。

八、一次函数

1、定义：一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且kWO）的函数叫做一次函数.

当b=0时，y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

特征：（1）k不为零

（2）x指数为1

（3）自变量的取值范围为全体实数

（4）b取随意实数

2、图象：

b

（1）一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（---0）两点的一条直线，我们称它

k

为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.〔当b>0时，向上平移;

当b<0时，向下平移）

（2）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b〈0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

（3）必过点：（0,b）和0）

k

(4)一次函数y=kx+b的图象的画法.

依据凡何学问：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条

直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.

九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:

(1)依据条件写出含有待定系数的函数关系式；

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系

数为未知数的方程；

(3)解方程得出未知系数的值；

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

十、当直线y=kix+bi与尸kzx+bz平行时，k*且b,#b2

十一、一次函数与方程、不等式

1.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数ax+6的值为0.

2.求ax+G0(a,。是常数，a/0)的解，从“形”的角度看，求直线ax域与x轴交

点的横坐标

3.一次函数与一元一次不等式：

解不等式aKb>0(a,6是常数，a#0).从“数”的角度看，x为何值时函数ax+6

的值大于0.

4.解不等式a户6>0(a,8是常数，aWO).从“形"的角度看,求直线尸ax历在x轴

上方的局部(射线)所对应的的横坐标的取值范围.

5.一次函数与二元一次方程组：

x+

解方程组\aibiy=a

<

a2x-biy=C2

从“数”的角度看，自变量（X；为何值时两个函数值相等.并求出这个函数值

Q|X+ZV=Ci

解方程组\.从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.

x

a2-b2y=C2

其次十章数据的分析

（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据王,马,…，怎，那么它们的算术平均数为

X+X+--•+%„

A—12.

n

（2）加权平均数：

假设在一组数字中，无的权为W，的权为班，…，X”的权为WJ那么

-_XW1+X2W2+---+X,W,

A——I叫做X，，…X"的加权平均数。

W+W2+，"+W,

其中，W'…、W"即别是为，X2,…X"的权•

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据依据由小到大（或由大到小）的依次排列，假如数据的个数是奇数,

那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；假如数据的个数是偶数，那么中间两个数

据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.平均数中位数众数的区分与联系

一样点：平均数、中位数和众数这三个统计量的一样之处主要表现在：都是来描述数据集

中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

不同点：

1）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。

中位数：像一条分界限，将数据分成前半局部和后半局部，因此用来代表一组数据的“中

等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。这三个统计量虽

反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

2）、特点不同

平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺

点是易受极端值的影响，这里的极