2022年北师大版新教材高中数学必修第一册第六章统计 教学设计

第六章统计

6.1获取数据的途径.............................................................1

6.1.1直接获取与间接获取数据...............................................1

6.1.2普查和抽查............................................................3

6.1.3总体和样本............................................................7

6.2抽样的基本方法.............................................................9

6.2.1简单随机抽样..........................................................9

6.2.2分层随机抽样.........................................................17

6.3用样本估计总体分布........................................................20

6.4用样本估计整体数字特征....................................................22

6.4.1样本的数字特征......................................................22

6..4.2分层抽样的均值与方差..............................................26

6.4.3百分位数.............................................................29

6.1获取数据的途径

6.1.1直接获取与间接获取数据

【教学目标】

了解收集数据的两类方法：直接收集数据与间接收集数据.

【教学重难点】

直接收集数据与间接收集数据的区别.

【教学过程】

一、情境引入

2018年2月9日〜25日，第23届冬季奥林匹克运动会在韩国平昌举行，以下

是来自腾讯网的平昌奥运会奖牌榜，同时对超过3100例运动员进行兴奋剂检测，

这是奥运史上最多的一次.

2018年平昌冬奥会奖牌榜

••总数

1有撞感14141139

2・德国1410731

321加拿大1181029

4至美国98623

5=荷兰86620

6：=帆76114

7：•：韩国58417

8E3雌56415

9II法国54615

问题：我们看到的奖牌榜是通过腾讯网得到的，这是直接收集还是间接收集数

据？

提示：间接收集.

二、新知探究

直接获取与间接获取数据：

对于需要使用数据的人而言，获取数据的方法有两种：直接获取与间接获取.

直接获取是指通过社会调查或观察、试验等途径获取数据.直接获取的数据称为

直接数据或一手数据.

在实际中，直接获取数据通常有问卷调查、试验收集等形式.另外，在直接获取

数据时，应注意数据来源的广泛性、代表性、均衡性.

【思考】直接获取数据有什么优点与缺点？

优点：可信度高；

缺点：费时费力。

如果需要获取的数据量较多，那么直接获取数据会消耗较多的人力、物力与时

间，此时，可考虑间接获取数据.

间接获取是指借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或

互联网等获取数据.间接获取的数据称为间接数据或二手数据.

随着信息技术的发展，许多数据来源于间接数据，其中，通过互联网获取数据

越来越成为获取间接数据的主要方式.在生活中，恰当地运用间接数据往往能够节约

大量的时间和费用，从而取得较好的效益。

与此同时，因为数据的来历和渠道的多样，所以质量会参差不齐。因此，使用

间接数据时，要注意以下两个方面:

(1)对下载的数据进行多方的核实，确保数据的真实性、准确性；

(2)引用间接数据时要注明数据来源，尊重他人的劳动成果，保护他人的知识

产权。

【思考】间接获取数据有什么优点与缺点？

优点：快捷、高效；

缺点：真实性、准确性参差不齐。

三、课堂小结

直接获取数据：注意数据来源的广泛性、代表性、均衡性.

间接获取数据：注意数据来源的真实性、准确性.

四、课堂检测

请同学们以小组为单位，分别通过直接获取与间接获取的方式对以下数据进行

收集：

(1)个人家庭人口数量；

(2)本城市人口数量。

6.1.2普查和抽查

【教学目标】

1.了解普查与抽样调查的概念。

2.明确普查与抽样调查的优缺点。

【教学重点】

1.普查的概念、抽查的运用；

2.判断对一个总体是抽查还是普查。

【教学难点】

1.分清抽查与普查;

2.对总体抽查；

3.分析普查与抽查之关系。

【教学过程】

一、抽样调查与普查辨析

例1下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽查方法来收集数据的？

(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；

(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查;

(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调

查；

(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学

生做调查。

解(1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查。

(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽

样调查。

(3)、(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学

号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间。

点评设计合理的调查方案是调查的基础，是统计活动中非常重要的环节。若

是大批量且有破坏性的检验问题，只能进行抽样调查，这样检验是科学、合理的。

在抽样调查中应注意：抽取的样本要具有全面性、代表性、随机性。

变式迁移1

下列调查项目中，哪些适宜普查？哪些适宜抽样调查？

(1)在中学生中，喜欢阅读大学生、中学生写的小说的学生占百分之多少；

(2)“五一”期间，乘坐火车的人比平时多很多，铁路部门要了解所有旅客是否都

是购票乘车的；

(3)即将进入市场的大量猪肉是否符合防疫标准；

(4)全国观众对中央电视台“春节联欢晚会”的满意程度。

解(1)(4)适宜抽样调查，(2)(3)一般适宜普查。

二、实际应用题

例2某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次

调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象。校医务室若从

高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结

果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？

解由于学生的身高会随着年龄的增长而增高，校医务室想了解全校高中学

生的身高情况，在抽样时应当关注高中各年级学生的身高，并且还要分性别进行抽

查。如果只抽取高一的学生，结果一定是片面的。

这个问题涉及的调查对象的总体是某校全体高中学生的身高，其中准备抽取的

50名学生的身高是样本。

变式迁移2

“非典”期间，我国每日公布非典疫情，其中有关数据的收集所采用的调查方式

是。

解：普查

课堂小结

普查与抽样调查是我们调查问题常用的方法，它们各有优缺点。普查一般适用

于：总体容量不大，要获取详实、系统和全面的信息；而抽样调查一般适用于：大

批量检验，且检验具有破坏性。

抽样调查最突出的优点⑴迅速、及时，节约人力、物力和财力。

课堂检测

一、选择题

1.对于下列调查：

①测定海洋中微生物的含量；②某种灯泡使用寿命的测定；③入学报考者的学

历调查；④全国人口普查。

其中不属于抽样调查的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

2.下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（）

A.为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率

B.为了了解初三年级某班的每个学生周末（星期六）晚上的睡眠时间

C.为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况

D.为了考察一片试验田某种水稻的穗长情况

二、填空题

1.抽样调查一定要保证原则，尽可能地避免人为因素的干扰，并且要

保证每个个体以被抽取到。

2.(1)对某班学生视力作一个调查；

(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；

(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查。

对于上述3个实际问题所应选用的调查方法分别为、、

3.某公司新上市一款MP4,为了调查产品在用户中受欢迎的情况，采用

形式调查为好(填“普查”或“抽样调查”)。

三、解答题

1.儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不

当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育。为了了

解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加

的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫

血相关因素的调查研究。请给出一个合理的调查方案。(该地区共10个县)

2.为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是2名同学设计的方案：

学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到

这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平

均每户居民的月用水量；

学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可

以统计出小区平均每户居民的月用水量。

请你分析上述2名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？

为什么？

6.1.3总体和样本

【教学目标】

理解总体、样本、样本容量的概念.

【教学重难点】

样本的代表性.

【教学过程】

一、基础铺垫

1.总体、个体、样本与样本容量

考察问题涉及的对象的全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象

组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体的数目是样本容量.

2.总体的分布

总体中各类数据的百分比称为总体的分布.

二、实例探究

1.从一批零件中抽取10个，测得它们的长度(单位：cm)如下：

22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.3222.35

由此估计这批零件的平均长度.

在此统计活动中：

(1)总体为;

(2)个体为；

(3)样本为；

(4)样本量为.

答案：(1)这批零件的长度

(2)每个零件的长度

(3)抽取的10个零件的长度

(4)10

2.某城市准备出台限制私家车的政策，以缓解城市的交通拥堵状况，为此要进

行民意调查、某小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的抽样是否具有代

表性？

解：一个城市交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系

到每个人的利益。在这个问题中，总体应为全体市民的意见.该调查小组选择的样本,

只是拥有私家车的市民的意见，并不能很好地代表总体，所以结果一定是片面的。

3.为了解某校学生的消费能力，某小组选择在学校超市门口对购物的学生进行

调查.你认为这样的调查结果会怎样？

解：这项调查的总体应为该校全体学生的消费能力.该调查小组选择的受访者为

去学校超市购物的学生，而这部分学生的消费情况并不能很好地代表总体，所以结

果是片面的。

上述两个例子表明，要想从样本出发，对总体作出基本合理的判断（由于样本

是随机的，误差是不可避免的），就要求样本能够很好地代表总体。例如，如果全校

有40%的学生常去学校超市购物，那么样本中常去学校超市购物的学生也应该近似

占40%.

【教师小结】

在抽样调查中，首先需要确定调查对象，即明确总体。对总体来说，人们最看

重的是它的各类数据所占的百分比。总体中各类数据的百分比都清楚了，这个总体

也就清楚了。总体中各类数据的百分比称为总体的分布.其次，在抽取样本时，要尽

可能地使得样本的分布（即样本中各类数据的百分比）与总体的分布相同。所谓样

本能很好地“代表”总体，就是指样本的分布与总体的分布近似相同。

三、课堂练习

1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随

机抽取了100名学生的成绩单.判断下列说法的正误.

（1）1000名学生是总体.（X）

（2）每名学生是个体.（x）

（3）每名学生的成绩是所抽取的一个样本G）

（4）样本的容量是100.（4）

提示1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取

的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量为100.所以（4）对.

2.如果现在有一项面对全市学生的日常花费的调查，你将如何完成这项调查？

某同学采用了在朋友圈发问卷调查的方式，你觉得这样得到的数据具有代表性吗？

（答案略）

6.2抽样的基本方法

6.2.1简单随机抽样

【教学目标】

1.知识与技能

理解统计学需要解决的问题、抽样的必要性，简单随机抽样的概论，掌握简单

随机抽样的两种方法。

2.过程与方法

通过对生活中的实例分析、解决，体验简单随机抽样的科学性及其方法的可靠

性，培养分析问题，解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观

通过身边事例研究，体会抽样调查在生活中的应用，培养抽样思考问题意识，

养成良好的个性品质。

【教学重难点】

重点：掌握简单随机抽样常见的两种方法（抽签法、随机数法）

难点：理解简单随机抽样的科学性，以及由此推断结论的可靠性

【教学过程】

知识点一简单随机抽样的概念

【问题导思】

1.某月某种商品的销售量、电视剧的收视率等这些数据是如何得到的？

【提示】一般是从总体中收集部分个体数据得出结论。

2.要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗？应如何判断？

【提示】不需要，只要将锅里的汤“搅拌均匀''品尝一小勺就知道汤的味道。

在抽取样本的过程中，要保证每个个体被抽取到的旌相同。这样的抽样方

法叫作简单随机抽样。这是抽样中一个最基本的方法。

知识点二简单随机抽样的方法

简单随机抽样：抽签法、随机数法

类型1简单随机抽样的概念

【例1】下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么？

(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，

从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里。

(3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本。

【思路探究】要判断所给的抽样方式是否是简单随机抽样，关键是看它们是

否符合简单随机抽样的特点。

【自主解答】(1)不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限

的而不是有限的。

(2)不是简单随机抽样。因为它是放回抽样，简单随机抽样，可分为不放回抽样

和放回抽样，而本章定义中规定的是不放回抽样，所以它不是简单随机抽样。

(3)不是简单随机抽样。因为它是一次性抽取，而不是“逐个”抽取。

【规律方法】

简单随机抽样具备以下四个特点：①总体的个体数较少，②逐个抽取，③不放

回抽样，④等可能抽样。判断抽样方法是否是简单随机抽样，只需看是否符合上述

四个特点，若有一条不符合就不是简单随机抽样。

【变式训练】

下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是()

A.某电影院有32排座位，每排40个，座位号是1〜40,有一次报告会坐满了

听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检查

C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32

人。教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本

D.某乡镇有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，

要抽取田地480亩估计全乡田地平均产量

【解析】根据简单随机抽样的特点进行判断：A的总体容量较大，用简单随

机抽样的方法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样的方法比较简单、方

便；C中由于学校各类人员对这一问题的看法的差异可能很大，不宜采用简单随机

抽样；D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不易采用简单随机抽样。

【答案】B

类型2抽签法

【例2]怎样用抽签法从某班50位学生中随机选出5位作为参加校学生会的

代表？

【思路探究】抽签法的执行步骤为：第一步编号，第二步写号签，第三步搅

匀，第四步抽取。

【自主解答】第一步，编号。用正整数1,2,3,…，50来给总体中所有的

50个个体编号。

第二步，写号码标签。把号码写在形状、大小相同的号签上，号签形式可不限，

如小球、卡片等。

第三步，均匀搅拌。把上述号签放在同一个容器(箱、包、盒等)内进行均匀搅

拌。

第四步，抽取。从容器中逐个连续地抽取5次，得到一个容量为5的样本。(如

2,41,7,29,18.)

另外如果该班同学已有学号，可以直接利用学号不必再编号，直接从第二步进

行。

【规律方法】

1.抽签法的实施步骤是：①编号，②制签，③搅匀，④抽签。

2.一个抽样试验能否用抽签法，关键是看两点：一是抽签是否方便；二是号签

是否容易被搅匀。

【变式训练】

要从10双运动鞋中抽取4双进行质量检验，若用抽签法，怎样设计方案？

【解】(1)将10双运动鞋编号为0,1,2,…，9；

(2)将号码分别写在相同的十张纸条上，揉成团，制成号签；

(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中并充分搅均；

(4)从袋子中依次抽取4个号签，每次抽取后再次搅匀，并记录上面的编号；

(5)所得号码对应的4双运动鞋就是要抽取的对象。

类型3随机数法

【例3]假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800

袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验。利用随机数法抽取样本，写出抽样过程。

【思路探究】已知总体中的个体数为800,是三位数。用随机数法进行抽样

时，给总体编号为000,001,799,采用教材中表1-2抽取50个不重复且在

编号内的三位数，号码对应的个体组成样本。

【自主解答】第一步：将800袋袋装牛奶编号为000,001,799；

第二步：从随机数表中任意一个位置，例如从教材表1-2中第1行的第8歹！J,

第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208,依次得到样本号码：

026,314,070,243,...»其中超出000〜799范围的数和前面已出现的数舍去,一

直到选出50个样本号码为止；

第三步：所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本。

【规律方法】

1.此题中共800个个体,故编号为三位数,然后借助于随机数表进行样本抽取。

2.在用随机数法抽取样本时，应注意以下几点：

（1）编号位数一致，一是为了方便在随机数表中找到，二是要保证每个个体被抽

取的概率相等；（2）抽样时所需的随机数表可临时产生，也可以沿用已有的随机数表。

【变式训练】

欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动,试用随

机数法确定这10名职工，请写出抽样过程。现将随机数表部分摘录如下：

162277943949544354821737932378

873520964384421753315724550688

770474476721763350256301637859

169555671998105071751286735807

【解】第一步：将45名职工编号为01,02,03,...»44,45；

第二步：从随机数表中任意一个位置，例如从所给数表中第1行的第1列和第

2列的数字开始向右读，首先取16,然后取22；77,94大于45,跳过；继续向右

读数得到39；49,54大于45,跳过；继续可以得到43,然后同样跳过大于45及与

前面重复的数字可以得到17,37,23,35,20,42.

第三步：确定编号为16,17,20,22,23,35,37,39,42,43的10名职工

作为参加该项社区服务活动的人选。

1.下列说法正确的是（）

A.抽签法中可一次抽取两个个体

B.随机数法中每次只取一个个体

C.简单随机抽样是放回抽样

D.抽签法中将号签放入箱子中，可以不搅拌直接抽取

【解析】由随机数法的特点知，B正确。

【答案】B

2.下列抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.从50个零件中一次性抽取5个做质量检验

B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验

C.从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性

D.运动员从8个跑道中随机地抽取一个跑道

【解析】A错在“一次性”抽取；B错在“有放回地”抽取；C错在总体容量无

限。

【答案】D

3.用随机数表法从1000名学生（男生25人）中抽选20人参加某项运动，某男

学生被抽到的概率是o

【解析】根据简单随机抽样的特点，每个个体被抽到的概率相同，所以某男

生被抽到的概率为2（儡）=会1。

【答案】专

4.现要从20名学生中抽取5名进行问卷调查，写出抽取样本的过程。

【解】（1）先将20名学生进行编号，从1编到20.（2）把号码写在形状、大小均

相同的号签上。（3）将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，力求均匀，然后依次从箱

子中抽取5个号签，按这5个号签的号码取出对应的学生，即得样本。

【课堂检测】

一、选择题

1.下列关于简单随机抽样的叙述不正确的是（）

A.一定要逐个抽取

B.它是一种最简单、最基本的抽样方法

C.总体中的个数必须是有限的

D.先被抽取的个体被抽到的可能性要大

【解析】由简单随机抽样的特点可以得出判断。A、B、C都正确，并且在抽

样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，不分先后。

【答案】D

2.一个总体中有6个个体，用抽签法从中抽取一个容量为3的样本，某个个体

。前两次未被抽到，则第三次被抽到的机会占（）

A.'B.；C.JD.：

【解析】按照简单随机抽样的特点，每个个体被抽到的机会均等，机率相同，

均是所以某个体。尽管前两次未被抽到，但第三次被抽到的机会仍然为最

【答案】D

3.下面的抽样方法是简单随机抽样的个数是（）

①某班45名同学，学校指定个子最高的5名同学参加学校的一项活动；

②从20个被生产线连续生产的产品中一次性抽取3个进行质检；

③一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件玩，玩完放回再拿一件，连续

玩了5次。

A.1B.2C.3D.0

【解析】①不是，因为它不是等可能；②不是，因为它是“一次性”抽取；③

不是，因为它是有放回的。

【答案】D

4.（2013.江西高考）总体由编号为01,02..19,20的20个个体组成,利用

下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数

字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,

07,01,所以第5个个体的编号是01.

【答案】D

5.从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发

现合格产品有36个，则该产品的合格率为（）

A.36%B.72%C.90%D.25%

【解析】||xl00%=90%o

【答案】C

二、填空题

6.一个总体的60个个体编号为00,01,...»59,现需从中抽取一容量为8的

样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始，向右

读取，直到取足样本，则抽样取本的号码是

9533952200187472001838795869328176802692

8280842539908460798024365987388207538935

9635237918059890073546406298805497205695

1574800832166470508067721642792031890343

3846826872321482997080604718976349302130

【解析】即从18起向右读，可依次得到号码18,00,38,58,32,26,25,

39.

【答案】18,00,38,58,32,26,25,39

7.某总体容量为M,其中带有标记的有N个,现用简单随机抽样从中抽出一

个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为

N

【解析】总体中带有标记的比例是否，则抽取的m个个体中带有标记的个数

估计为m嗡N。

mN

【答案】

8.在下列各种说法中：

①在简单随机抽样中采取有放回抽取个体的方法；

②抽签法抽样时，由于抽签过程中是随机抽取的，所以每次抽取时每个个体不

可能有相同的机会被抽到；

③如何抽取样本，直接关系到对总体估计的准确程度，因此抽样时要保证每一

个个体都等可能地被抽取到；

④随机数表中每个位置出现各数字的可能性相同，因此随机数表是唯一的；

⑤当总体容量较大时，不可用简单随机抽样的方法来抽取样本。

其中正确的是O（填上你认为正确结论的所有序号）

【解析】简单随机抽样是无放回抽样；抽签法中每个个体被抽到的概率相等;

随机数表不是唯一的；容量较大时也可采用简单随机抽样，只是工作量很大。所以

只有③正确。

【答案】③

三、解答题

9.在2013年的高考中，A省有40万名考生，为了估计他们的数学平均成绩,

从中逐个抽取2000名考生的数学成绩作为样本进行统计分析，请回答以下问题：

(1)本题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？

(2)本题中采用的抽样方法是什么？

(3)假定考生甲参加了这次高考，那么他被选中的可能性有多大？

【解】(1)总体是指在该年的高考中，A省40万名考生的数学成绩，个体是

指在该年的高考中，A省40万名考生中每一名考生的数学成绩，样本是指被抽取的

2000名考生的数学成绩，样本容量是2000.

(2)采用的抽样方法是简单随机抽样。

(3)甲被选中的可能性为超=志。

10.上海某中学从40名学生中选1人作为上海世博会志愿者成员，采用下面两

种选法：

法一将这40名学生从1〜40进行编号，相应地制作1〜40的40个号签，把

这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号

一致的学生幸运入选；

法二将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从

中摸取一球，摸到红球的学生成为志愿者成员。

试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？

【解】法一是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号

互不相同，而法二中39个白球无法相互区分。这两种选法相同之处在于每名学生被

选中的可能性都相等，等于表。不同的是选法一简单易行；法二过程比较麻烦，不

易操作。

11.某校为了解毕业班阶段复习情况，准备在模拟考试后从参加考试的500名

学生的试卷中抽取20名学生的试卷，进行详细的试卷分析，请问选择哪种抽样方法

为宜？并设计出具体的操作步骤。

【解】将500名学生的试卷看成一个总体，从中抽取一个〃=20的样本，宜

采用随机数法抽取。

第一步:编号:000,001,002,...»499；

第二步：从随机数表中的某行某列对应数字起，以三个数字为一组，向右连续

读取数字，遇到大于499或重复的舍弃，得到20个号码即可。

6.2.2分层随机抽样

【教学目标】

1.理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤；

2.理解分层抽样与简单随机抽样的区别与联系；

3.在概念形成和问题的解决过程中，培养学生的数学抽象核心素养。

【教学重点】

分层抽样的概念及其步骤。

【教学难点】

理解分层抽样与简单随机抽样的区别与联系。

【教学过程】

一、情境引入

2018年4月18日，中国新闻出版研究院首次发布我国阅读指数。调查数据显

示,2017年我国成年国民人均纸质图书阅读量为4.66本,人均每天读书20.38分钟。

这些数据是历时大半年，选取的有效样本量18666个，进行数据处理得出的。如果

你是调查员，你该如何选取样本，让其接近真实情况呢？

【设计意图】创设了情境，让学生充分理解分层抽样的必要性。对分层抽样概

念有初步的认识。

二、新课探究

“全民阅读”已成为了社会关注的热点。为了了解全校学生的阅读情况，我校

值周班以“课外阅读”为主题进行调查。派出甲乙两个小组调查，两小组都是发放

240份问卷进行调查。但两组调查报告存在较大的差异。这是其中一项“平均每天

课外阅读时间”的统计结果。

班主任找来这两个小组的组长了解情况。了解到：甲组是在高一年级的14个班

上做随机的问卷调查；乙组是在学校广场做随机的问卷调查。班主任听完后，说:

“两组的数据都不合理，重新再调查」

探究：如果你是调查员，你应当怎样较为合理地做全校“阅读情况”的抽样调

查呢？

分组讨论，并完成以下两个问题：

（1）分析出实施抽样的过程；（2）为什么要这样抽取样本呢？

【设计意图】让学生在解决问题的过程，从中发现“等比”抽样的特点。对分

层抽样概念有进一步的认识。并让学生体会中，要让样本更具有代表性，这就需要

调查者对调查对象事先有所了解，并利用所掌握的各种信息开展调查工作。

思考归纳：

1.分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照所占比例，从各层独

立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法

叫分层随机抽样（简称分层抽样）。

2.分层抽样的步骤

分层+求比*定数►抽样组样

3.分层抽样有哪些特点？

①分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证

样本结构与总体结构一致性。

②“等比”抽样

【设计意图】经历实例探究过程后，学生抽象，归纳出分层抽样的定义；并概

括出分层抽样的一般步骤，体现了从具体到一般思维过程；通过分析，比较，得出

分层抽样的特点。

三、典例精析

例1：假设某地区共有24300名学生，其中高中生2400人，初中生10900人，

小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，

要从本地区的中小学生中抽取243名的学生进行调查。试确定用何种方法抽取，并

写出抽样过程。

展示学生成果，其他同学评价与补充。

【设计意图】让学生在解决实际问题的过程中，进一步理解掌握分层抽样的方

法步骤。

变式：案例中的数据变成高中生2430人，初中生10870人，小学生11000人，

又应该如何抽取呢？

练习1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,

300,100件。为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60

件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲件。

练习2.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异。

为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽

样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是o

四、板书

分层随机抽样

1.分层抽样的定义案例分析

2.分层抽样的步骤

3.分层抽样的特点。

五、作业

课外阅读是开拓学生视野，发展学生智力的重要途经之一。请同学们设

计份调查问卷，利用抽样的方式调查城区中小学生的阅读情况，要求按学习

小组合作写出统计报告，要求体现统计数据、抽样过程和结论。利用假期时

间，把调查研究推广到全市。

6.3用样本估计总体分布

【教学目标】

了解频数与频率的概念、区别与联系。

【教学重难点】

频率的概念。

【教学过程】

一、问题导入

情境1：某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品.

情境2：某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%.

上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况？

二、实例探究

例1：下表是某两名篮球运动员在中国男子篮球职业联赛（CBA）某个赛季的

得分情况统计.

场均得分总得分投篮命中三分球罚球命场均参赛

率命中率中率时间场次

运动员甲33.9101649.7%41.1%86%30.530

运动员乙25.175246.3%34.4%80.9%36.230

根据这些数据分析两名运动员的得分水平。

学生交流思考，教师解疑。

解：由上面的数据可以看出，两名运动员的参赛场次相同，每场出场平均时间

甲少于乙；甲的场均得分和总得分均高于乙.

从投篮命中率、三分球命中率和罚球命中率来看，甲均高于乙，可以认为运动

员甲的各项命中率较高。

例2：下面给出了2012年-2016年我国普通高等学校和高中新生录取人数及其

相应的录取比例，请根据图中的数据说明频数与频率的不同之处。

普通高等学校录取新生高中录取新生

数量行人比例数量行人比例

87.02%50.86%

6882012年02012年

_ZT\8758%/T\5169%

加。）2013年/82Z70（\）2013年

/T\9O22%ZT\56.36%

72140W20,4*榜网（\）2014年

ZTX9149%56.19%

年

737.802015®2015年

ZT\94.47%ZT>,56,39%

748-60W2016*802.90Q2y2016«f

学生交流思考，教师解疑。

解：从2012年-2016年，普通高等学校新生录取人数及其相应的录取比例都在

逐年递增；高中新生录取人数基本呈逐年下降趋势，其相应的录取比例基本呈逐年

上升趋势。

从频数来看，高中录取新生，2013年是822.70万人，2014年是796.60万人，

较上一年减少了26.10万人.但是从这两年的频率来看，2013年-2014年的频率却增

长了3.67%.

这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的。

三、课堂总结

频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数。在实

际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量

较大时，频率就更能客观地反映总体分布。

在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布

进行估计.

四、课堂练习

2016年7月11日，某新闻报道：“英国政府9日发表声明，正式拒绝数百万

公众要求就英国是否留在欧盟再次举行公投的请愿，理由是先前公投所体现的民意

必须得到尊重，截至8日，英国政府和议会请愿网站上要求举行'二次公投’的人

数已经超过412万”.你认为412万人的态度能代表英国民众的意愿吗？

6.4用样本估计整体数字特征

6.4.1样本的数字特征

【教学目标】

1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的

数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2.通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生

的运算能力。

【教学重点】

平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

【教学难点】

根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

【教学过程】

一、身△.新课

提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和

六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加

一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不

错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”

小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个

人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮

啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下：

人员小小明弟亲领工

明戚工人

周工资24001000250200100

人数116510

合计24001000150010001000

这到底是怎么了？（学生思考交流）

教师点出课题：样本的数字特征

二、新知探究

1.提出问题

（1）什么叫平均数？有什么意义？

（2）什么叫中位数？有什么意义？

（3）什么叫众数？有什么意义？

（4）什么叫极差？有什么意义？

（5）什么叫方差？有什么意义？

（6）什么叫标准差？有什么意义？

讨论结果：

（1）一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据

和々,4的平均数为元=*+%+…+Z。平均数对数据有“取齐”的作用，代表

n

该组数据的平均水平。

（2）一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的

中位数。一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势。

（3）一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可

能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势。

（4）一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间

的差异情况。

（5）方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用$2表示，通常用公式

$2=］_［（%一元）2+每一元）2+…+（怎一君2］来计算。反映了数据的离散程度。方差越大,

n

数据的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。

（6）标准差等于方差的正的平方根，即5=席，与方差的作用相同，描述一

组数据围绕平均数的波动程度的大小。

2.应用示例

例1某公司员工的月工资情况如表所示:

月工资/元80005000400020001000800700600500

员工/人

12461282052

（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？

工会领导呢？

解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为

800元，众数为700元。

（2）公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中

位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主

张用众数，因为每月拿700元的员工最多。

点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平

最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个

数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据

的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。

变式训练

1.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：

分数012345

人数4710X8y

请参照这个表解答下列问题：

（1）用含x,y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分一；

（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求的值。

解：⑴y=3x+5y+59；

40

,3x+5y=41[x=7

（2）依题意，有'x+y=ll解得'y=4

例2甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从

两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示

甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8

乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差。

解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值

我们分别计算它们直径的标准差：

222

s甲=7[(40-40)+(39.8-40)+•••(39.8-40)]/10=0.16l(mm)

s乙=4(40-404+(40-40>+…+(39.9-40『]/10=0.077(=m)

由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲

机床生产的产品直径的标准差为0.161mm,比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙

机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。

点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在

新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度。

三、课堂检测

1.下列说法正确的是(D)

A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一

样。

B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙

班好。

C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习

甲班比乙班好。

D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习

甲班比乙班好。

2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如

下表：

甲的成绩：

环数78910

频数5555

乙的成绩:

环数78910

频数6446

内的成绩:

环数78910

频数4664

.52、S3分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（C）

A.5]>52>53B.53>5|>s2C.52>>53D.S2>S3>

3.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为

15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是-3

四、课堂小结

本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准

差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。

6..4.2分层抽样的均值与方差

【教学目标】

理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，会分析实际问题.

【教学重难点】

分层抽样的均值与方差.

【教学过程】

一、问题导入

在之前的学习中我们已经知道一组数据平均数与方差的概念与计算方法，那么

对于分层抽样，其平均数与方差又该如何计算呢？

二、基础知识

分层抽样的数字特征：

我们以分两层抽样的情况为例.假设第一层有机个数，分别为XI，尤2,…，儿”

平均数为三，方差为小；第二层有〃个数，分别为6,”，…，泗，平均数为7，

方差为产则三=百£0，S2=-X(Xi-7)2,及=[£住一歹)2

z=li=li=lz=l

如果记样本均值为z,样本方差为从，则可以算出

—]3"tnx+〃y

a"?+