2023人教A版高中数学精讲1

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

例1用列举法表示下列集合：

（I）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程/=x的所有实数根组成的集合.

解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（2）设方程所有实数根组成的集合为8,那么8={0,1}.

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列

举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}等.

例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程V—2=0的所有实数根组成的集合A；

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

解：（1）设xeA,则x是一个实数，且/一2=0.因此，用描述法表示为

A=|XGR|X2-2=0|.

方程V一2=0有两个实数根0,一日因此，用列举法表示为人={也,一血}.

（2）设xeB,则x一个整数，即xeZ,且10<x<20.因此，用描述法表示为

B={XGZ|10<X<20}.

大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列举法表示

为

B=1,12,13,14,15,16,17,18,19}.

练习

1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）与定点A,B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)与定点A,B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；

(2)游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.

【详解】(1)与定点A,8等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.

(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.

【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于

基础题.

2.用符号“e”或“青'填空：

0N；-3N；0.5Z；V2Z；；Q；冗R.

【答案】①.e②.至③.史④.史⑤.e(6).e

【解析】

【分析】

根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.

【详解】0是自然数，则OeN；-3不是自然数，则—3/N；0.5,拒不是整数，则

0.5Z,>/2Z；

g是有理数，则geQ；乃是无理数，则%GE

故答案为：(1)G;(2)史;(3)史;(4)自(5)e.(6)e

【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.

3.用适当的方法表示下列集合：

(1)由方程炉-9=0的所有实数根组成的集合；

(2)一次函数丁=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；

(3)不等式4尤-5<3的解集.

【答案】(I){-3,3}；(2){(1,4)};(3){x\x<2}.

【解析】

【分析】

(1)求出方程的根，用列举法表示即可；

(2)求出交点，用列举法表示即可；

(3)化简不等式，用描述法表示即可.

【详解】(1)f_9=0nx=±3,则该方程所有实数根组成的集合为{-3,3}；

y=x+3fx=i

(2)由If，c/解得：4,则图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

f>=-2x+6[y=*4

(3)不等式4x-5<3可化为x<2,则该集合为{x|x<2}

【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.

习题1.1

复习巩固

4.用符号“e”或“右”填空：

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________4美国

A,印度A,英国_____________A；

(2)若A={x|x2=x},则-1A；

⑶若6={X|X2+X-6=O},贝1J3B；

(4)^C={XGN|M10},则8C,9.1C.

【答案】(1)片包e,住

(2)出

(3)史

(4)。史

【解析】

【分析】

(1)根据国家的地理位置直接得到答案.

(2)计算得到4={x\x2=x}={0,1},再判断关系.

(3)计算得到3={%，+尸6=0}={2,_3},再判断关系.

(4)计算得到。={%€?^|1<%<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},再判断关系.

【详解】(1)根据国家的地理位置直接得到答案：中国美国任A,印度

GA,英国任A；

(2)A={x|x2=x}={0,1},故一1，A；

(3)B={x|/+x-6=0}={2,-3},故3eA；

(4)C={XGN|1<X<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),故8eA,9.1eA；

故答案为：([)w,区w,史；(2)匕(3)£；(4)e,史

【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.

5.用列举法表示下列集合：

(1)大于1且小于6的整数；

(2)A={x|(x-l)(x+2)=0}；

(3)8={xeZ卜3<2x-1<3}.

【答案】⑴{2,3,4,5}

(2)A={1,-2}

(3)8={0,1}

【解析】

【分析】(1)根据描述直接列举出集合中的元素即可；

(2)求出一元二次方程的解，即可得出结果；

(3)解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.

【小问1详解】

大于I且小于6的整数组成的集合为{2,3,4,5}；

【小问2详解】

A={x|(x_l)(x+2)=0}={1,-2}

【小问3详解】

B={%eZ|-3<2x-l<3}={xeZ|-l<x<2}={0,l}

综合运用

6.把下列集合用另一种方法表示出来：

(I){2,4,6,8,10)；

(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自

然数；

⑶{xeN|3cx<7}；

（4）中国古代四大发明

【答案】（1）{xeN|x=2左，女eZ且

（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321）

（3）（4,5,6）

（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}

【解析】

【分析】

（1）用描述法写出集合得到答案.

（2）用列举法写出集合得到答案.

（3）用列举法写出集合得到答案.

（4）用列举法写出集合得到答案.

【详解】（I）（2,4,6,8,10}={%6%次=2匕女€2且1<%<11}.

（2）由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自

然数：

{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.

（3）{xeN[3<x<7}={4,5,6}.

（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}

【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌

握.

7.用适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数）=/-4的函数值组成的集合；

2

（2）反比例函数>=一的自变量组成的集合；

x

（3）不等式3x24-2%的解集

【答案】（1）[y\y>-^]

(2){x|x*O}

⑶卜1臼

【解析】

【分析】

(1)求二次函数的值域得到答案.

(2)求反比例函数的定义域得到答案.

(3)解不等式得到答案.

【详解】(1)二次函数丁=炉一4的函数值为

...二次函数y=f-4的函数值y组成的集合为{y|y=x2-4,xeR}={)，|y»T}.

2

(2)反比例函数y=—的自变量为x

x

2

..•反比例函数丁=—的自变量组成的集合为{幻工工0}.

x

(3)由3x24—2x,Mx>|,不等式3尤24—2x的解集为

【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.

拓广探索

8.集