定积分讲义教师用

定积分知识点1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为〔〕，在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于〔亦即〕时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。说明：〔1〕定积分是一个常数，即无限趋近的常数〔时〕称为，而不是．〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：〔3〕曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功☆定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线〔〕，和曲线所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各局部面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。2．定积分的性质性质1性质2〔其中k是不为0的常数〕性质3性质4〔定积分对积分区间的可加性〕说明：性质解释：性质4性质1性质4性质1典型例题考点1、定积分的计算例1、计算以下定积分.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕〔11〕、〔12〕、〔〕；例2、1,__。考点2、定积分的意义和应用例1、曲线与坐标轴围成的面积是。例2、由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为〔〕A.eq\f(10,3)B．4C.eq\f(16,3)D．6例3、由抛物线y2＝2x与直线x＝eq\f(1,2)及x轴所围成的图形的面积为________．例4、由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为 例5、抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为_18_______．答由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x,y＝4－x))解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝eq\f(y2,2)、x＝4－y例6、如下图，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影局部)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在叶形图内部的概率是 (D)．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)例7、如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是(A)A.eq\f(1,π) B.eq\f(2,π) C.eq\f(3,π) D.eq\f(π,4)例8、自由落体运动的速率，那么落体运动从到所走的路程为。例9、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，那么力所做的功为0.18J。例10、如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所消耗的功是0.18。例11、一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，那么下落后第二个4s内经过的路程是(D)A．260mB．258mC．259mD．261.2m课堂练习1、以下等于1的积分是〔3〕。〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕2、求抛物线y2=x与x-2y-3=0所围成的平面图形。3、以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，那么此物体到达最高时的高度为(A)．A.eq\f(160,3)mB.eq\f(80,3)mC.eq\f(40,3)mD.eq\f(20,3)m4、由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(A)A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,12)5、由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为(A)A．4 B.eq\f(4,3) C.eq\f(18,5) D．66、正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成