实验一-插值方法实验

《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：班级学号：姓名：计算机科学与工程系实验一插值方法一.实验目的〔1〕熟悉数值插值方法的根本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。〔2〕熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的插值算法，并进行可视化显示。二.实验要求用Matlab软件实现Lagrange插值、分段线性插值、三次Hermite插值、Aitken逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。实验内容1.实验题目i0123x0.460470.480.49y0.48465550.49374520.50274980.5116683〔1〕概率积分的数据表

构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange插值公式，输出公式及其图形，并计算x=0.472时的积分值。〔2〕将区间[-5,5]分为10等份，求作的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x=3.3152时的函数值。〔3〕仿照附录C中“文件1.2逐步插值〞程序〔Neville算法，课本227页〕编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分在x=0.462的值，并比拟它们的结果。x0.30.40.50.60.7y0.298500.396460.493110.588130.68122〔4〕运行C中“文件1.3分段三次Hermite插值〞程序〔课本228页〕，要求自行选择实验数据2.设计思想〔1〕Lagrange插值：Lagrange具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。事实上，在逻辑上表现为二重循环，内循环〔j循环〕累乘求得系数，然后再通过外循环〔i循环〕累加得出插值结果y。〔2〕分段线性插值：分段插值是将被插值函数逐步多项式化。分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。〔3〕Neville插值：Neville插值的根本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。Atiken逐步插值：Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。〔4〕Hermite插值：Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点〞，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切〞，即在节点上还具有相同的导数值。3.对应程序〔1〕Lagrange插值function[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)%X,Y是的差值点坐标点%x0是插值点%y0是Lagrange多项式在x0处的值%N是Lagrange插值函数的权系数m=length(X);N=zeros(m,1);y0=0;fori=1:mN(i)=1;forj=1:mifj~=iN(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j));endendy0=y0+Y(i)*N(i);end〔2〕分段插值symsfx;f=1/(1+x^2);N=input('请输入插值节点数N=');X=-5:10/N:5;Y=zeros(1,length(X));fori=1:(N+1) x=X(i); Y(i)=eval(f);endM=-5:0.01:5;y=zeros(1,length(M));n=1;fori=1:N forx=-5:0.01:5 ifx<X(i+1)&&x>=X(i) y(n)=Y(i)*(x-X(i+1))/(X(i)-X(i+1))+Y(i+1)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i)); n=n+1; end endendezplot(f,[-5,5])holdonx=-5:0.01:5;plot(x,y,'r');〔3〕Neville逐步插值functiony0=Neville_eval(X,Y,x0)%X,Y是的插值点的坐标%x0是插值点%y0是多项式在x0处的值m=length(X);P=zeros(m,1);P1=zeros(m,1);P=Y;fori=1:mP1=P;k=1;forj=i+1:mk=k+1;P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(j-1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(k-1));endifabs(P(m)-P(m-1))<10^-6;y0=P(m);return;endendy0=P(m);Atiken逐步插值functiony0=Aitken_eval(X,Y,x0)%X,Y是的插值点的坐标%x0是插值点%y0是多项式在x0处的值m=length(X);P=zeros(m,1);P1=zeros(m,1);P=Y;fori=1:mP1=P;k=1;forj=i+1:mk=k+1;P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(1));endifabs(P(m)-P(m-1))<10^-6;y0=P(m);return;endendy0=P(m);〔4〕Hermite插值functiony0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)%X,Y是插值点向量序列%DY是插值点处的导数值%x0是插值点横坐标%y0是待求的分段三次Hemite插值多项式在x0处的值%N表示向量长度N=length(X);fori=1:Nifx0>=X(i)&x0<=X(i+1)k=i;break;endenda1=x0-X(k+1);a2=x0-X(k);a3=X(k)-X(k+1);y0=(a1/a3)^2*(1-2*a2/a3)*Y(k)+(-a2/a3)^2*(1+2*a1/a3)*Y(k+1)+(a1/a3)^2*a2*DY(k)+(-a2/a3)^2*a1*DY(k+1);4.实验结果列出相应的运行结果。如果要求可视化，那么同时需要给出相应的图形。Lagrange插值一次Lagrange插值：运行结果：>>X=[0.46,0.47];>>Y=[0.4846555,0.4937452];>>x0=0.472;>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49556314000000N=-0.200000000000001.20000000000000插值系数与作图：>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=0.90897000000001>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)二次Lagrange插值差值结果：>>X=[0.46,0.47,0.48];>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498];>>x0=0.472;>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49555292800000N=-0.080000000000000.96000000000000插值系数与作图：>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)三次Lagrange插值差值结果：>>X=[0.46,0.47,0.48,0.49];>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683]；>>x0=0.472;>>[y0,N]=Lagrange_1(X,Y,x0)>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49555296000000N=-0.048000000000000.86400000000000-0.03200000000000插值系数与作图>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=0.83708499999011>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)分段差值差值结果：>>Y=interp1(x,y,3.3152,'spline')Y=0.08342312935731作图：〔原函数：蓝色，插值函数：红色〕>>fenduan_eval请输入插值节点数N=6Neville逐步插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];>>x0=0.462;>>y0=Neville_eval(X,Y,x0)y0=0.45655811276280Aitken逐步插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];>>x0=0.462;>>y0=Aitken_eval(X,Y,x0)y0=0.77480886915945〔4〕分段三次Hermite插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=log(X);>>DY=1./X;>>x0=0.462;>>y0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)y0=-0.7722实验体会通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，了解了matlab的根本编程思想，学会了matlab的根本语法与常用操作命令，加深了对于Lagrange插值、分段线性插值、Neville逐步插值、Aitken逐步插值、Hermite插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；更加精进了编程的能力；综合运用专业及根底知识，解决实际数学问题的能力；深入的了解和体会了计算方法—算法设计及其matlab实现的根本原理与学习思路；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。同时对数学的研究有了更深入的认识，并对以往所掌握的数学及编程知识有了回忆及更深入的探索。对于各种插值方法的精度分析也有了清晰的认识，并对各种插值算法有了深刻的的理解；Lagrange插值在高次插值时同原函数插值偏差大，拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。分段线性插值是将整个区间分成许多小段，运用低次插值，从而提高精度。分段线性插值算法简单，计算量小，但精度不高。Neville插值的根本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插