4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类

n项和公式5题型分类一、等比数列的前n项和公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为

=.二、等比数列前n项和公式与指数函数的关系(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.(2)当q≠1时，=.记A=，则=+Aq>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.三、等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.（一）等比数列基本量的求解1．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.2．等比数列的前n项和公式：Sn=a113.等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”．题型1：等比数列前n项和基本量的求解11．（2023·全国·高二专题练习）在等比数列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.【答案】（1）；（2）；（3）2或【分析】（1）解方程组求出即得解；（2）解方程组求出即得解；（3）根据已知求出或即得解.【详解】（1）由题意知解得或从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.（2）由题意知解得从而S5＝＝.（3）因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.从而或又Sn＝＝126，所以q为2或.【点睛】方法点睛：在等比数列的五个量中，存在“知三求二”的解题规律,即知道了五个量中的三个量，其它两个量可求.12．（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）已知递增的等比数列中，，，则（

）A．25 B．31 C．37 D．41【答案】B【分析】根据已知条件求得等比数列的首项和公比，由此求得.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则①，②，由①②得，解得或，即（不满足单调递增，舍去）或，所以.故选：B13．（2023·浙江·）设为等比数列的前项和，，则A．11 B．5 C． D．【答案】D【详解】试题分析：设公比为，由，得，解得，所以．故选D．考点：等比数列的前项和.14．（2023上·四川·高三树德中学校考阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由，有，即．由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．故选：A15．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于的方程，求解作答.【详解】正项等比数列中，，由得，整理得，即，解得，所以数列的公比.故选：C16．（2023上·河南安阳·高三统考开学考试）已知等比数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项.【详解】因为数列的前n项和，所以，，，又数列为等比数列，所以数列的公比，所以，所以，，所以，故，故选：B.17．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为数列是等比数列，且已知前项和，所以可求通项，进而可求，仍然是等比数列，再利用求前项和公式解出结果.【详解】解：因为数列是等比数列，且，解得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，则，那么，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以根据前项和公式得.故选：.18．（2023下·高二课时练习）已知是等比数列，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求等比数列的公比，数列也为等比数列，利用公式求前项和.【详解】，，设等比数列公比为，由，得，所以，，设，，，数列是首项为，公比为的等比数列，所以．故选：C19．（2023上·河南安阳·高二林州一中阶段练习）设数列的前项和为，点均在直线上．若，则数列的前项和.【答案】【分析】依题意得，利用求出，得，根据等比数列求和公式可得结果.【详解】因为点在直线上，所以，即，当时，，当时，；经检验满足，所以，则，由，可知为公比为9等比数列，且，故，故答案为：.110．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】D【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D.【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，设数列前n项和为，则，故，解得，则，故，该人第五天走的路程为12里，A错误；，该人第三天走的路程为48里，B错误；，该人前三天共走的路程为里，C错误；由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：D111．（2023·湖南·统考二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（

）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．56 C．63 D．70【答案】C【分析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，利用等比数列求和公式，结合，即可得到答案；【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，解得，两边取对数得，则，所以，故需要的天数约为.故选：C（二）等比数列前n项和的性质等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.题型2：等比数列片段和性质及应用21．（2023下·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考期中）等比数列的前n项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为等比数列可求的值.【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，故，解得，故选：B.22．（2023·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【分析】利用等比数列的性质可得，代入数据即可得到答案【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，又，故可得即，解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C23．（2023上·宁夏银川·高二银川九中阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.24．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（

）A．36 B．39 C．40 D．44【答案】B【分析】利用等比数列的性质可得，进而即得.【详解】由题可得，由，得，解得，所以，所以.故选：B．25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（

）A．40 B．60 C．32 D．50【答案】B【分析】运用等比数列的性质，成等比数列.【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．故选:B.26．（2023上·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知等比数列的前项和为，，，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.【详解】因为成等比数列，所以代入数值所以，则.【点睛】（1）形如的式子，可表示为；（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.27．（2023上·贵州铜仁·高二贵州省思南中学校考阶段练习）设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件可得，即可求出.【详解】因为，所以所以，即因为，所以故选：A【点睛】本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单.题型3：等比数列奇、偶项和的性质及其应用31．（2023·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.32．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，又，则，解得，故数列的所有项之和是.故选：D33．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由和等比数列的前n项和可得答案.【详解】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．34．（2023上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.题型4：等比数列前n项和的其他性质41．（2023·上海奉贤·统考一模）已知等比数列的公比q，前n项的和，对任意的，恒成立，则公比q的取值范围是．【答案】【分析】分公比的范围与前n项的和的公式分析讨论即可.【详解】时,有,∵,∴,则恒成立,①当时,恒成立,即恒成立,由,知成立；②当时,只要,就一定成立；③当时,需恒成立,当时,恒成立,当时,也恒成立,当时,当n为偶数时,不成立,当时,也不可能恒成立,所以q的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等比数列前n项的和的性质,需要根据题意讨论公比的范围再分析的性质.属于中等题型.42．（2023·上海·统考模拟预测）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号，若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D43．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知等比数列的前项和，则函数的最小值．【答案】16【分析】根据等比数列前项和公式，化简题目所给后求得的值.然后化简题目所给函数解析式，最后利用基本不等式来求得最小值.【详解】因为，而题中，易知，故；所以，即，等号成立条件为，所以最小值为16.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的函数特点，考查利用基本不等式求式子的最小值问题.属于中档题.44．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（

）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项【答案】A【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案.【详解】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；，则B正确；，则C正确；因为，所以是数列中的最大项，则D正确.故选：A.45．（2023上·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为【答案】B【分析】根据，，分，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断.【详解】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B.46．（2023·四川成都·校联考三模）已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为．【答案】②④【分析】由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题.【详解】由为等比数列，其前项和，则，故①不正确；由，可得，则，若对恒成立，即对恒成立，令，则当时，；当时，，当时，，则，则，故②正确；由，，令，则当，时，，当，时则，故③不正确；，由单调递增，则，则，故④正确．故答案为：②④【点睛】关键点点睛：（1）等比数列的前项和；（2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式；（3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续.（三）等差数列与等比数列的综合应用1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d.等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).2.等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.等比数列的前n项和公式：Sn=a113.根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.题型5：等差数列与等比数列的综合应用51．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）在正项等比数列中，，是，的等差中项，则.【答案】54【分析】由题可得，进而可得数列的公比，即可求．【详解】设数列的公比为q，则，由是，的等差中项，则，∴，解得，或舍去，∴．故答案为：54．52．（2023下·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为．【答案】【分析】设公比为,首项为，列出方程求得，即可求得答案.【详解】由题意数列为等比数列，设公比为,首项为,故，即,解得，则，故，故答案为：53．（2023·江苏·校联考模拟预测）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则．【答案】2【分析】由数列是等比数列，及是与的等差中项，得出的值，再由即可得出答案．【详解】因为是与的等差中项，数列是等比数列，所以，即，解得，所以，故答案为：．54．（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知等比数列的前项和为．若为和的等差中项，，则．【答案】11【分析】利用性质转化为基本量运算，求出，再利用前项和公式可求.【详解】设等比数列的公比为，为和的等差中项，，即，化简得，则，又，即，代入，解得，故，故答案为：.55．（2023·四川巴中·统考一模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（

）A．B．C．，，成等比数列D．“”是“，，成等差数列”的充要条件【答案】C【分析】根据和等比数列的概念，即可判断选项A是否正确；根据和等比数列的概念，即可判断选项B是否正确；当时，，即可判断选项C是否正确；若，，成等差数列，可得，即，由此根据等比数列的概念，即可判断选项D是否正确.【详解】对于选项A，因为，又等比数列的公比为，所以所以，即，故A正确；因为，所以，故B正确；当时，，显然此时，，不能成等比数列，故C错误；若，，成等差数列，则，所以，即，所以，所以“”是“，，成等差数列”的充要条件，故D正确.56．（2023下·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用数列通项与前n项和的关系求解.【详解】由已知，，则，∴，∴，∴是等比数列．又∵，∴，∴，∴．故选：B一、单选题1．（2023·安徽·统考模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．【详解】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根据与的关系得到，设出公比，列出方程组，求出公比.【详解】因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：故选：A3．（2023·高二课时练习）在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得是以为公比的等比数列，再根据求出的通项公式，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：若，则，又，显然不满足条件，所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，当时，即，当时，所以又，所以，解得．故选：D4．（2023下·黑龙江绥化·高二绥化市第九中学校考期末）已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用等比数列的性质由“数列是等比数列”可以得到“”；利用数列通项与前n项和的关系由“”可以得到当时，“数列是等比数列”，故“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件【详解】由，可得两式相减得，，即从第3项起，每一项是前一项的q倍.又由，可得则数列从第2项起，每一项是前一项的q倍.综上，当时，数列是等比数列.由数列是等比数列，可得则，即成立.则“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件故选：A5．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）等比数列的前n项和，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】，当时，，因为是等比数列，所以，得，所以A正确.故选：A.6．（2023上·山东·高三统考阶段练习）已知数列满足，若数列前5项的和为31，则的值为（

）A．8 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】对进行赋值即可得到，利用递推式结合等比数列求和公式得出的值.【详解】令，则，解得.故选：B.7．（2023·贵州·统考模拟预测）在数列中，，，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可.【详解】解：由题意得，，，即，所以当为奇数时，；当为偶数时，；设的前n项和为，则，.若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；当为偶数，则，即，所以.故选：B8．（2023·江苏南通·沭阳如东中学校联考模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列前n项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式即可.【详解】第一次操作去掉，设为；第二次操作去掉，设为；第三次操作去掉，设为，依次类推，.故，整理，得，，，故n的最小值为7.故选：B.9．（2023上·江苏无锡·高二江苏省梅村高级中学校考阶段练习）我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的频率为440Hz，那么频率为的音名是（

）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【解析】设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，由等比数列的性质可得，即可得解.【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（

）A．31 B． C．31或5 D．或5【答案】B【分析】数列为等比数列，通过等比数列的前项和公式化简，从而得到公比的值，从而求出的值.【详解】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且当时，，计算得所以当时，，，所以综上：故选：B11．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.【详解】因为，且也成等比数列，因为，，所以，所以8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)=1，即，所以.故B，C，D错误.故选：A.12．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考开学考试）设为等比数列的前项和，且则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由为等比数列的前项和，根据等比数列前项和的性质有，，，成等比数列，从而即可求解.【详解】解：因为为等比数列的前项和，所以，，，成等比数列，因为，，所以公比，所以，，所以，所以，故选：A.13．（2023上·河北廊坊·高三校考阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里【答案】C【分析】根据题意确定每天走的步数构成等比数列，根据数列的前7项和求解数列的首项，进而确定数列的第3项，即可得到此人第三天走的路程.【详解】由题意得此人每天走的步数构成公比为的等比数列，且该数列的前7项和为378，设该等比数列为，则有，解得，则，即第三天走了48里.故选：C.14．（2023·河北·校联考一模）设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】设公比为，则由已知可得，从而可求出公比.【详解】设公比为，因为，，所以，所以，即两个方程左右两边分别相除，得，因为数列是正项等比数列，所以，故选：D.15．（2023下·辽宁·高二校联考期中）等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选：A16．（2023下·安徽滁州·高二校联考期中）若等比数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出.【详解】，，由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，所以，则．故选：D17．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）为等比数列的前项和，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用等比数列前n项和性质，成等比数列，可求得关于x的方程.【详解】因为，所以成等比数列，所以，即，整理得.故选：C.18．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则的值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根据题意，由等比数列的性质可知成等比数列，从而可得，即可求出的结果.【详解】解：已知等比数列的前项和为，，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为1即成等比数列，，，.故选：B.19．（2023·高二课时练习）一个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A．63 B．72 C．75 D．87【答案】A【分析】根据等比数列前n项和的等片段和性质可求解.【详解】由题意知，，又，解得，所以.故选：A.20．（2023上·安徽池州·高三统考期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系.【详解】设，则，又因为，所以，所以.故选:D【点睛】若等比数列有偶数项，则,用整体的思想处理问题，方便简捷.21．（2023下·浙江·高一校联考期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.【详解】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（2023下·浙江·高一校联考期中）等比数列中，，，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，求出首项和公比，进一步求出，最后求新等比数列的前1010项和即可.【详解】解：设等比数列的公比为q，∵，，∴，解得，.∴，，，故选：A.【点睛】从等比数列中抽取某些特定的项组成新的等比数列然后求和，考查求等比数列的通项公式的方法以及求和的方法，同时考查运算求解能力；基础题.23．（2023上·陕西商洛·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A．9 B．10 C．12 D．17【答案】B【解析】利用已知条件求得，由此求得所求表达式的值.【详解】设等比数列的公比为q，因为.所以，则.故选：B24．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可【详解】当时，，解得.当时，，所，即，所以，即，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，从而，故.故选：C二、多选题25．（2023·河北·校联考模拟预测）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（

）A．数列是公比为的等比数列 B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和【答案】BD【分析】根据题意有，即可判断数列为等比数列，进一步求出可判断.【详解】由图可知，所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故A错误；则，由题可得，所以，故B正确；因为，所以数列是公比为的等比数列，故C错误；，故D正确.故选：BD.26．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知为等比数列，是其前与的等差中项为20，则（

）A． B．公比C． D．【答案】ACD【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.【详解】由得，又与的等差中项为20，则，所以公比为，故，故，故ACD正确，B错误，故选:ACD27．（2023上·福建宁德·高二统考期中）已知等比数列前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．数列的通项公式为 B．C．数列是等比数列 D．【答案】ABD【分析】对于AD，利用等比数列的基本量法求得公比和，从而求得，由此得以判断；对于C，利用等比数列的定义判断即可；对于D，利用分组求和法求得，再利用作差法即可判断．【详解】由于等比数列前项和为，且，所以，整理得，所以数列的公比；由于是与的等差中项，故，整理得，解得.故，故A正确；所以，故B正确；由于数列满足，所以当时，不为常数，所以数列不是等比数列，故C错误；，又，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题选项D的解决关键是利用分组求和法求得，再利用作差法，结合二次函数的性质证得，计算量大，需要多加练习熟悉.28．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列的通项公式B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是【答案】AD【分析】根据已知条件求得、的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算，再运用裂项相消法求和可求得的前n项和.【详解】设等比数列的公比为q，则，所以，故A项正确；所以，故B项错误；所以，故C项错误；因为，所以，又因为为单调递增，所以，所以取值范围为.故D项正确.故选：AD.29．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB；再利用基本不等式判断CD.【详解】由等比中项的定义可知，，等差中项的定义可知，，故A错误，B正确；若是负数，则，若是正数，则，，因为数列是公比的正项等比数列，所以，根据基本不等式可知，故C正确；D错误.故选：BC30．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（

）A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差B．若数列为等比数列，则C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列【答案】AD【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可.【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，；若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，若数列为等差数列，公差为，由，得，即，则，所以，得，又，则，故C不正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD.三、填空题31．（2023·广东·高考真题）设数列是首项为，公比为的等比数列，则.【答案】【详解】试题分析：因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，.考点：等比数列通项公式.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的应用，属于基础题，解答时先根据给出的首项和公比求出的通项公式.求数列各项绝对值的和解答的关键是判断出各项的符号，本题中公比为，显然，显然第一项、第三项为正数，第二项、第四项项为负数，求和时就都变成了正数，求和就容易了.32．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）等比数列的前项和，则．【答案】【详解】数列的首项是1，公比2，所以数列的首项是1，公比是4，所以数列的前项和是.33．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，若，则.【答案】28【分析】由等比数列性质：也成等比数列可解此题.【详解】由数列是等比数列，且易知公比，所以也构成等比数列，即构成等比数列，从而可得，解得或，又，所以.故答案为：2834．（2023下·高二课时练习）若等比数列的公比为，且，则的前100项和为．【答案】80【分析】由等比数列前n项和性质求解即可.【详解】令，，

则，由等比数列前n项和性质知：，所以，即S100＝X＋Y＝80.故答案为：80.35．（2023下·高二课时练习）公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则.【答案】22【分析】根据等比中项可得，进而可得，结合等差数列运算求解.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为成等比数列，所以，且，即，所以，可得，即，所以等比数列的公比，所以，又因为，且，所以，所以.故答案为：22.36．（2023·江苏·高三专题练习）作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前个内切圆的面积和是．【答案】【分析】根据题意得到每个正三角形边长之间的关系与每个内切圆半径之间的关系，再求出第一个圆的半径，从而得到一组等比数列，最后利用等比数列前项和公式即可得解.【详解】依题意，设第个正三角形的内切圆的半径为，易得从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，设前个内切圆的面积和为，则.故答案为：.37．（2023·全国·校联考一模）设等比数列的前n项和为，若，且，则.【答案】【分析】由可得，根据前n项和公式即可求解.【详解】因为是等比数列，所以有，所以，所以，因为，所以，即，即：，解得：.故答案为：.38．（2023·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为．【答案】450【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解.【详解】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故答案为：45039．（2023·高二课时练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则．【答案】【分析】设等比数列的公比为，显然，再根据等比数列求和公式求出，最后根据前项和公式计算可得.【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，则，，所以，解得，所以；故答案为：40．（2023上·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前项和.【答案】.【分析】利用和求，进而得到的通项公式，再利用等比数列前项和公式计算即可.【详解】由得当时，所以，又因为，所以，，即是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：.41．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙尺．【答案】【分析】小老鼠和大老鼠每天打洞的距离为等比数列，分别求等比数列前6项和即可得结果.【详解】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前6天打洞之和为；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前6天打洞之和为．所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为．故答案为：.42．（2023上·浙江温州·高二统考期末）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为．【答案】4【分析】设小球从第（n1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.【详解】解：设小球从第（n1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则当时，得出递推关系，所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，设小球第n次落地时，经过的路程为，所以，所以，解得，故答案为：4.四、解答题43．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.(1)，，求n；(2)，求及.【答案】(1)6(2)，【分析】（1）由等比数列前n项和公式与通项公式可解；（2）等比数列前n项和公式列方程组，解方程组可解.【详解】（1）显然，由，即，解得，又，即，所以.（2）由知，由题意得

，两式相除得，得，，所以，.44．（2023下·高二课时练习）在等比数列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.【答案】(1)，.(2)或【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前项和公式列方程组求解即可.【详解】（1）由得，解得，又由得，解得.所以，.（2）显然，则，，