百分数与配比问题

百分数与配比问题百分数是分母为100的分数，表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题，在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面，而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用.小学高年级的同学都知道百分数，但不一定能算得很好，用得很活.因此我们专门编写一讲，通过许多例题和习题，帮助同学们学习百分数.第一节讲的是“卖买”，实质上是讲（1+百分数）与（1-百分数）的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节，从计算技巧来说，都是训练分数、比例的计算本领.一、商品的出售商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50=20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20十50=0.4=40%,我们也可以说获得40％的利润.因此利润的百分数=（卖价喊本）专成本X100%・卖价=成本X（1+利润的百分数）・成本=卖价专（1+利润的百分数）・商品的定价按照期望的利润来确定.定价=成本X（1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25%，就是按定价的（1-25%）=75%出售，通常就称为75折.因此卖价=定价x折扣的百分数.例1某商品按定价的80%（八折或80折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1”，卖价是定价的80%，就是0.8.因为获得20%l*X*0.8=l+0.2X=1.51.5-1=0.5定价的期望利润的百分数是答：期望利润的百分数是50%.例2某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1x（1+30%）=1.3.其中80%的卖价是1.3x80%，20%的卖价是1.3十2x20%.因此全部卖价是1.3x80%+1.3十2x20%=1.17.实际获得利润的百分数是1.17－1=0.17=17%.答：这批笔记本商店实际获得利润是17%.例3有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10%.甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是1x（1+15%），甲店的定价就是0.9x（1+20%）.因此乙店的进货价是11.2十（1.15-0.9X1.2）=160（元）.甲店的进货价是160x0.9=144（元）.答：甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40%，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了40%，转变成去年成本的10%，因此去年成本是40%十10%=4.在售价中，去年成本占4/（4+1）=80%因此今年占80%x（1+10%）=88%.答：今年书的成本在售价中占88%.因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.例5一批商品，按期望获得50%的利润来定价.结果只销掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%，问：打了多少折扣？解:设商品的成本是“1〃■原来希望获得利润0.5.现在出售70%商品已获得利润0.5x70%=0.35.剩下的30%商品将要获得利润0.5x82%-0.35=0.06.因此这剩下30%商品的售价是1x30%+0.06=0.36.原来定价是1x30%x（1+50%）=0.45.因此所打的折扣百分数是0.36^0.45=80%.答：剩下商品打8折出售.从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润（45-35）x12=120（元）.出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润120十8=15（元）.不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是（45-15）专（1-85%）=200（元）・答：每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果减价4%，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：减价4%,按照定价来说，每件商品售价下降了100x4%=4（元）.因此张先生要多订购4x3=12（件）.由于60件每件减价4元，就少获得利润4x60=240（元）.这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润240十12=20（元）.这种商品每件成本是100-4-20=76（元）.答：这种商品每件成本76元.二、各种各样的问题百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.例8小明训练3000米赛跑，如果速度提高5%，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.）解：设原来的速度是“1”.时间缩短的百分数是也就是假设原来的路程时间看作1的话后面就好解了 1-1/（1+0・05）假设原来的速度为20m/s提高后为21m/s时间则由原来的150变为142.857,估算后就得到4.8%了。答：时间缩短了4.8％.从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高5%,时间就缩短了4.8%.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.例9采了10千克蘑菇，它们的含水量为99%，稍经晾晒后，含水量下降到98%.晾晒后的蘑菇重多少千克？解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是10x（1-99%）=0.1（千克）.晾晒后，干物质将占总重量的（1-98%）.此时蘑菇重0.1F（1-98%）=5（千克）.答：晾晒后蘑菇重5千克.这一例题的答案是否使你感到意外？下一例题可以说是例9的补充.例10有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？解：关键是先算出每次加多少水.浓度为3%，也就是盐3份，水97份，共100份.浓度下降为2%，原来3份，就成为2%，加水后总共是3十2%=150（份）.因此加入的水是150-100=50（份）.第三次加水后，浓度是未加入水时的浓度是答：三次加水后浓度是1.5%，未加水时浓度是6%.例11把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？解：设正方形的边长是“1”因.为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了20％，另一边将增加所以正方形的边长是2十25%=8（米）.正方形的面积是8x8=64（平方米）.答：正方形面积是64平方米.例12有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%■问这堆糖中奶糖有多少块？解：奶糖占25%，其他糖果就是奶糖的（100-25%）十25%=3（倍）.原来其他糖果只有1-45%=55%.放入16块水果糖后是45%x3=135%.因此奶糖的块数是16十（135%-55%）x45%=9（块）.答：这堆糖中，奶糖有9块.例13有两包糖果,第一包的粒数与第二包粒数之比是2:5.在第一包中奶糖占30%，在第二包中其他糖占42%，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？解：设第一包为2份，第二包为5份.第一包中奶糖是2x30%=0.6（份）.第二包中奶糖是5x（1-42%）=2.9（份）.合起来后，奶糖占（0.6+2.9）十（2+5）=50%.答：合在一起，奶糖占50%.这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的.例14早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水？解：白天和傍晚用去水后剩下1-20%=80%少27（升）晚上用去水是80%X10%=8%少27X10%=2・7（升）・白天、傍晚、晚上总共用去水20%+8%再加（27-2・7）升，它应该是50%少1升・因此50%-（20%+8%）是（27-2・7）+1升・早上水缸的水是（27-2・7+1）专（50%-20%-8%）=115（升）・答：早上注入水缸中的水是115升・三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例15基本问题一（1） 浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？（2） 浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度10%，含糖80x10%=8（克），有水80-8=72（克）.如果要变成浓度为8%,含糖8克，糖和水的总重量是8十8%=100（克），其中有水100-8=92（克）.还要加入水92-72=20（克）.（2）浓度为20%，含糖40x20%=8（克），有水40-8=32（克）.如果要变成浓度为40%,32克水中，要加糖x克，就有x:32=40%：（1-40%）,例16基本问题二20%的食盐水与5%的食盐水