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文档简介
百分数与配比问题百分数是分母为100的分数,表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题,在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面,而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用.小学高年级的同学都知道百分数,但不一定能算得很好,用得很活.因此我们专门编写一讲,通过许多例题和习题,帮助同学们学习百分数.第一节讲的是“卖买”,实质上是讲(1+百分数)与(1-百分数)的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节,从计算技巧来说,都是训练分数、比例的计算本领.一、商品的出售商店出售商品,总是期望获得利润.例如某商品买入价(成本)是50元,以70元卖出,就获得利润70-50=20(元).通常,利润也可以用百分数来说,20十50=0.4=40%,我们也可以说获得40%的利润.因此利润的百分数=(卖价喊本)专成本X100%・卖价=成本X(1+利润的百分数)・成本=卖价专(1+利润的百分数)・商品的定价按照期望的利润来确定.定价=成本X(1+期望利润的百分数).定价高了,商品可能卖不掉,只能降低利润(甚至亏本),减价出售.减价有时也按定价的百分数来算,这就是打折扣.减价25%,就是按定价的(1-25%)=75%出售,通常就称为75折.因此卖价=定价x折扣的百分数.例1某商品按定价的80%(八折或80折)出售,仍能获得20%的利润,定价时期望的利润百分数是多少?解:设定价是“1”,卖价是定价的80%,就是0.8.因为获得20%l*X*0.8=l+0.2X=1.51.5-1=0.5定价的期望利润的百分数是答:期望利润的百分数是50%.例2某商店进了一批笔记本,按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少?解:设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1x(1+30%)=1.3.其中80%的卖价是1.3x80%,20%的卖价是1.3十2x20%.因此全部卖价是1.3x80%+1.3十2x20%=1.17.实际获得利润的百分数是1.17-1=0.17=17%.答:这批笔记本商店实际获得利润是17%.例3有一种商品,甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜10%.甲店按20%的利润来定价,乙店按15%的利润来定价,甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元?解:设乙店的进货价是“1”,甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是1x(1+15%),甲店的定价就是0.9x(1+20%).因此乙店的进货价是11.2十(1.15-0.9X1.2)=160(元).甲店的进货价是160x0.9=144(元).答:甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1,比设甲店进货价是1,计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书,今年每册书的成本比去年增加10%,但是仍保持原售价,因此每本利润下降了40%,那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少?解:设去年的利润是“1”.利润下降了40%,转变成去年成本的10%,因此去年成本是40%十10%=4.在售价中,去年成本占4/(4+1)=80%因此今年占80%x(1+10%)=88%.答:今年书的成本在售价中占88%.因为是利润的变化,所以设去年利润是1,便于衡量,使计算较简捷.例5一批商品,按期望获得50%的利润来定价.结果只销掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品,商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润,是原来的期望利润的82%,问:打了多少折扣?解:设商品的成本是“1〃■原来希望获得利润0.5.现在出售70%商品已获得利润0.5x70%=0.35.剩下的30%商品将要获得利润0.5x82%-0.35=0.06.因此这剩下30%商品的售价是1x30%+0.06=0.36.原来定价是1x30%x(1+50%)=0.45.因此所打的折扣百分数是0.36^0.45=80%.答:剩下商品打8折出售.从例1至例5,解题开始都设“1”,这是基本技巧.设什么是“1”,很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售,每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个,所能获得的利润,与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元?解:按定价每个可以获得利润45元,现每个减价35元出售12个,共可获得利润(45-35)x12=120(元).出售8个也能获得同样利润,每个要获得利润120十8=15(元).不打折扣每个可以获得利润45元,打85折每个可以获得利润15元,因此每个商品的定价是(45-15)专(1-85%)=200(元)・答:每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品,共订购60件,每件定价100元.张先生对商店经理说:“如果你肯减价,每件商品每减价1元,我就多订购3件.”商店经理算了一下,如果减价4%,由于张先生多订购,仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少?解:减价4%,按照定价来说,每件商品售价下降了100x4%=4(元).因此张先生要多订购4x3=12(件).由于60件每件减价4元,就少获得利润4x60=240(元).这要由多订购的12件所获得的利润来弥补,因此多订购的12件,每件要获得利润240十12=20(元).这种商品每件成本是100-4-20=76(元).答:这种商品每件成本76元.二、各种各样的问题百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.例8小明训练3000米赛跑,如果速度提高5%,那么时间缩短百分之几?(百分数保留一位小数.)解:设原来的速度是“1”.时间缩短的百分数是也就是假设原来的路程时间看作1的话后面就好解了 1-1/(1+0・05)假设原来的速度为20m/s提高后为21m/s时间则由原来的150变为142.857,估算后就得到4.8%了。答:时间缩短了4.8%.从后一算式可以看出,无论是多少米赛跑,速度提高5%,时间就缩短了4.8%.换一句话说,考虑这一问题,与距离无关.例9采了10千克蘑菇,它们的含水量为99%,稍经晾晒后,含水量下降到98%.晾晒后的蘑菇重多少千克?解:晾晒前后蘑菇里的干物质(除了水分以外的其他成分)的重量是不变的.干物质的重量是10x(1-99%)=0.1(千克).晾晒后,干物质将占总重量的(1-98%).此时蘑菇重0.1F(1-98%)=5(千克).答:晾晒后蘑菇重5千克.这一例题的答案是否使你感到意外?下一例题可以说是例9的补充.例10有盐水若干升,加入一定量水后,盐水浓度降到3%,又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2%,再加入同样多的水,此时盐水浓度是多少呢?又问未加水时盐水浓度是多少?解:关键是先算出每次加多少水.浓度为3%,也就是盐3份,水97份,共100份.浓度下降为2%,原来3份,就成为2%,加水后总共是3十2%=150(份).因此加入的水是150-100=50(份).第三次加水后,浓度是未加入水时的浓度是答:三次加水后浓度是1.5%,未加水时浓度是6%.例11把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少?解:设正方形的边长是“1”因.为长方形与原来的正方形面积相等,一边减少了20%,另一边将增加所以正方形的边长是2十25%=8(米).正方形的面积是8x8=64(平方米).答:正方形面积是64平方米.例12有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放入16块水果糖后,奶糖就只占25%■问这堆糖中奶糖有多少块?解:奶糖占25%,其他糖果就是奶糖的(100-25%)十25%=3(倍).原来其他糖果只有1-45%=55%.放入16块水果糖后是45%x3=135%.因此奶糖的块数是16十(135%-55%)x45%=9(块).答:这堆糖中,奶糖有9块.例13有两包糖果,第一包的粒数与第二包粒数之比是2:5.在第一包中奶糖占30%,在第二包中其他糖占42%,如果把两包糖合在一起,奶糖所占的百分数是多少?解:设第一包为2份,第二包为5份.第一包中奶糖是2x30%=0.6(份).第二包中奶糖是5x(1-42%)=2.9(份).合起来后,奶糖占(0.6+2.9)十(2+5)=50%.答:合在一起,奶糖占50%.这是一个典型问题,与第五讲第二节中求平均数,做法是一致的.例14早上水缸注满了水,白天用去了其中的20%,傍晚又用去27升,晚上用去剩下水的10%,最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水?解:白天和傍晚用去水后剩下1-20%=80%少27(升)晚上用去水是80%X10%=8%少27X10%=2・7(升)・白天、傍晚、晚上总共用去水20%+8%再加(27-2・7)升,它应该是50%少1升・因此50%-(20%+8%)是(27-2・7)+1升・早上水缸的水是(27-2・7+1)专(50%-20%-8%)=115(升)・答:早上注入水缸中的水是115升・三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖,这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水,这就是配比问题.在考虑浓度和配比时,百分数的计算扮演了重要的角色,并产生形形色色的计算问题,这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例15基本问题一(1) 浓度为10%,重量为80克的糖水中,加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水?(2) 浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%的糖水,需加多少克糖?解:(1)浓度10%,含糖80x10%=8(克),有水80-8=72(克).如果要变成浓度为8%,含糖8克,糖和水的总重量是8十8%=100(克),其中有水100-8=92(克).还要加入水92-72=20(克).(2)浓度为20%,含糖40x20%=8(克),有水40-8=32(克).如果要变成浓度为40%,32克水中,要加糖x克,就有x:32=40%:(1-40%),例16基本问题二20%的食盐水与5%的食盐水
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