5.7 解直角三角形（一）（锐角三角函数）（题型精练）（原卷版）

第7讲解直角三角形（一）（锐角三角函数）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：正弦角度1：正弦概念辨析角度2：求角的正弦角度3：已知正弦值求边长题型二：余弦角度1：余弦概念辨析角度2：求角的余弦角度3：已知余弦值求边长题型三：正切角度1：正切概念辨析角度2：求角的正切角度3：已知正切值求边长题型四：特殊角的三角函数值角度1：求特殊角的三角函数值角度2：特殊角的三角函数值的混合运算角度3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型五：由三角函数值求锐角题型六：锐角三角函数的增减性角度1：已知角度比较三角函数值的大小角度2：根据三角函数值判断锐角取值范围第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：锐角三角函数的相关概念在中，，，，1正弦的定义与计算：我们把锐角的对边与斜边的比值叫做的正弦值。表示为，即2余弦的定义与计算：我们把锐角的邻边与斜边的比值叫做的余弦值。表示为，即3正切的定义与计算：我们把锐角的对边与邻边的比值叫做的正切值。表示为，即根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。知识点二：特殊角的三角函数1第二部分：课前自我评估测试1．（2023秋·山西朔州·九年级统考期末）已知是锐角，且，那么等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）正方形网格中，如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）________．5．（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）在中，若，，，都是锐角，则是______三角形．6．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在中，，如果，，那么的长为___．第三部分：典型例题剖析题型一：正弦角度1：正弦概念辨析典型例题例题1．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2022春·九年级课时练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（

）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定例题3．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．角度2：求角的正弦典型例题例题1．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在矩形中，，点E在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为_____．例题4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，为上一点，交于，若，求的值．角度3：已知正弦值求边长典型例题例题1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，大同南站某自动扶梯的倾斜角为，自动扶梯的长为15米，则大厅两层之间的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．以上都不对例题2．（2023秋·重庆·九年级校联考期末）如图，为的弦，直径，交于点，连接、、、，若，的半径为2，则的长度为（

）A．1 B． C． D．例题3．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（

）A． B． C． D．例题4．（2023秋·江苏南通·九年级启东市长江中学校考期末）如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点．（1）写出与之间的位置关系是：，（2）求证：（3）连接，若，，求的长．题型一同类题型归类练1．（2022·上海·九年级专题练习）在中，，那么锐角的正弦等于（

）A． B． C． D．．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）在中，，，，则边的长是（

）A．3 B． C． D．3．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为2，，则的值是（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么_____________．6．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，，D为AC上一点，∠BDC=45°，CD=6．求AD的长．题型二：余弦角度1：余弦概念辨析典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，则下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期末）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角的三角函数值A．也扩大3倍 B．缩小为原来的C．都不变 D．有的扩大，有的缩小角度2：求角的余弦典型例题例题1．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·湖南湘潭·九年级湘潭凤凰初级中学校考期末）在中，，，，则的值等于（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在中，，，则的值为______．例题4．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图，是的直径，弦，相交于点，如果，，那么________________．角度3：已知余弦值求边长典型例题例题1．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、,作直线，分别交于点、，则的长度为（）A． B．3 C． D．例题2．（2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市翰光学校校考期末）在中，，，，则的长为（）A．6 B．2 C．3 D．9例题3．（2022·北京·九年级专题练习）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，连接，求的长．例题4．（2022·四川成都·一模）如图，为的直径，为弦，，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的长度．题型二同类题型归类练1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则等于（

）A． B． C． D．2．（2022秋·重庆·九年级校考期末）如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（

）A．3 B． C． D．3．（2022秋·河南新乡·九年级校考期中）在中，，，则的值是___________．4．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，以上的一点O为圆心为半径作，若与边始终有交点（包括B、C两点），则线段的取值范围是_____．5．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、(1)求证：∽；(2)如图，延长图中交于点，交于点求的值．6．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图12，已知，点E在边AC上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连接．(1)求证：；(2)如果，，，求的长．7．（2022秋·安徽马鞍山·九年级校考期末）如图，点在反比例函数的图象上，点B的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)若过A、B的直线与x轴交于点C，求的值．题型三：正切角度1：正切概念辨析典型例题例题1．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）在中，，各边都扩大5倍，则的值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定例题2．（2023·九年级单元测试）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（）A． B． C． D．角度2：求角的正切典型例题例题1．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市翰光学校校考期末）如图，的顶点都在格点上，则的正切值是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·河南漯河·九年级漯河市实验中学校考期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则（）A． B． C． D．例题4．（2023秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在中，，，，求的值．例题5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的半径长及的值．角度3：已知正切值求边长典型例题例题1．（2023秋·上海徐汇·九年级统考期末）在中，，如果，，那么等于（

）A． B． C． D．例题2．（2023·四川·九年级专题练习）如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．2例题3．（2023秋·山东济南·九年级校考期末）如图，是的直径，点在上，是的切线，，的延长线与交于点．(1)求证：；(2)，，求的长．题型三同类题型归类练1．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校联考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）在中，a，b，c分别是的对边，，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，是的中点，，，，则的长为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·九年级专题练习）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（）A．米 B．米 C．10米 D．5米5．（2023秋·山东济南·九年级校考期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于H，，则k的值为______．6．（2023秋·河北石家庄·九年级校考期末）如图，在中，，为边上的中线，于点．(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，求的值．7．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，且．(1)求证：；(2)如果，求的值．8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，）(1)求C处距离水平地面的高度；(2)求建筑物的高度．题型四：特殊角的三角函数值角度1：求特殊角的三角函数值典型例题例题1．（2023秋·山东潍坊·九年级校考期末）的值等于（）A． B． C．1 D．例题2．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）下列三角函数中，值为的是（）．A． B． C． D．例题3．（2023·全国·九年级专题练习）已知是锐角，，则＝______；______．角度2：特殊角的三角函数值的混合运算典型例题例题1．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）计算题(1)(2)例题2．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）计算：(1)(2)角度3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状典型例题例题1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形例题2．（2023秋·河南漯河·九年级漯河市实验中学校考期末）在中，若，，都是锐角，则是___________三角形．例题3．（2023·安徽·九年级专题练习）在中，,都是锐角，若，，则的形状为______三角形.例题4．（2023秋·山东聊城·九年级校联考期末）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．题型四同类题型归类练1．（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）下列运算中，值为的是（

）．A． B．C． D．2．（2022春·九年级单元测试）在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）计算：___________．4．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）在中，，则的形状是______．5．（2022春·九年级课时练习）若，则以为内角的的形状是___________．6．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校联考期末）．7．（2023·上海静安·统考一模）计算：．题型五：由三角函数值求锐角典型例题例题1．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）已知为锐角，且，则等于（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·湖南湘潭·九年级湘潭凤凰初级中学校考期末）已知，且是锐角，则（

）A． B． C． D．例题3．（2022·九年级单元测试）求下列等式中的锐角：(1)(2)同类题型归类练1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若为锐角，，则为（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）在中，若，满足，则＝__________．3．（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β均为锐角，且满足，求的值．题型六：锐角三角函数的增减性角度1：已知角度比较三角函数值的大小典型例题例题1．（2023·上海静安·统考一模）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定例题2．（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期末）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（

）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°例题3．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）比较大小：___________（填“”或“”或“=”）．角度2：根据三角函数值判断锐角取值范围典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）已知为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2022·浙江·九年级专题练习）若是锐角，且，则（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°例题3．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）已知，则锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六同类题型归类练1．（2022·浙江·九年级专题练习）当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(

)A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90°C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°2．（2022·浙江·九年级专题练习）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是()A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°3．（2022·安徽黄山·统考一模）已知∠A为锐角，且cosA=0.6，那么（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°4．（2022秋·九年级单元测试）三角函数之间的大小关系是（

）A． B．C． D．5．（2022·浙江宁波·校联考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°第四部分：中考真题感悟1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A． B． C． D．32．（2022·宁夏·中考真题）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠C