第4章 实数（压轴必刷30题7种题型专项训练）（原卷版）

第4章实数（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．平方根（共2小题）1．（2023秋•雁塔区校级期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．2．（2023秋•德惠市校级月考）如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数．二．算术平方根（共7小题）3．（2020秋•高邮市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝；y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝1.8，若＝180，则a＝；（3）拓展：已知，若，则z＝．4．（2020秋•天宁区校级期中）我们称长与宽之比为：1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现；（3）①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为；②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为；③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则n＝．5．（2023春•芜湖期末）某小区有一块面积为196m2的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为100m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？（参考数据：≈1.414，≈7.070）6．（2022春•来凤县校级期中）某小区将原来400平方米的正方形场地改建300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3：2．如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？请说明理由．7．（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？8．（2023春•乐陵市期末）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．9．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若a是正整数，a除以13的余数为1，则称a是“映辰数”例如：14是正整数，且14÷13＝1⋯1⋅，则14是“映辰数”；41是正整数，且41÷13＝3…2，则41不是“映辰数”材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）＝．请根据以上材料，解决下列问题：（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．（2）若有一四位正整数q是“映辰数”，q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的q．三．非负数的性质：算术平方根（共4小题）10．（2023秋•顺德区校级月考）已知，则的值为．11．（2021秋•江都区月考）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根．12．（2022秋•新余期中）（1）已知+|2x﹣3|＝0，求x+y的平方根．（2）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．13．（2022秋•平度市校级月考）若+（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）3的值．四．立方根（共4小题）14．（2023秋•姑苏区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．15．（2020春•崇川区期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．16．（2022秋•高新区校级月考）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．17．（2023秋•雁塔区校级期中）求满足下列各式的未知数x（1）27x3+125＝0（2）（x+2）2＝16．五．实数与数轴（共3小题）18．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．（1）用代数式表示这个魔方的棱长．（2）当魔方体积V＝64cm3时，①求出这个魔方的棱长．②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．19．（2022秋•嵊州市校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．六．估算无理数的大小（共7小题）21．（2020秋•南京期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出+2的整数部分和小数部分；（2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．22．（2021春•宁阳县期中）化简求值：（1）已知a是的整数部分，＝3，求的平方根．（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．23．（2020秋•清江浦区期末）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414⋯，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是多少，请表示出来．（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求a+b﹣的值．（3）已知8+＝x+y，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求2x+（y﹣）2020的值．24．（2023春•太和县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．25．（2022春•广信区期末）阅读理解．∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1，∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．26．（2022秋•雁峰区校级期末）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．27．（2023春•荔城区校级期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求3a+2b﹣c的平方根．七．实数的运算（共3小题）28．（2021秋•灌南县校级月考）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z）•z﹣（﹣4★z）的值为．29．（2022秋•高新区校级月考）先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求x+y的值．30．（2023春•通川区期末）阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数