《热力学与统计物理学》课后习题及解答

《热力学与统计物理学》课后习题及解答

选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社

黄山学院、信息工程学院、应用物理研究所

（谢国秋、吕海江、程和平、刘仁臣、焦铮、沈来信等）集体制作

2007年8月6日

第一章热力学的基本规律

1.1试求理想气体的体胀系数a,压强系数B和等温压缩系数场。

解：由理想气体的物态方程为PV=nRT可得:

1(。吟1nR1

体胀系数:0L—---------------------------——

V{dT)pVPT

压强系数：=L空」

P\dT)~P~V~T

vV

等温压缩系数：叼=-$(靠卜骨」

1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质，其物态方程可由实验测得的

体胀系数a及等温压缩系数程，根据下述积分求得：lnV=J(a"T-K/P)

如果a=,，KT,试求物态方程。

TP

解：体胀系数：a=U更4,等温压缩系数：K产-U空〕

八。"v{dP)T

以T，P为自变量，物质的物态方程为：V=V(T,P)

其全微分为：JV=|—|JT+|—|dP^aVdT-VKTdP,-=adT-KTdP

\dT)pydP)TV

这是以T,P为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：lnV=J(adT-K*P)

根据题设，'^a=—,KT=—,^A：\x\V=\[—dT--dP\

得：lnV=lnN+C,PV=CT,其中常数C由实验数据可确定。

P

1.4描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力£,物态方程是

/（£，L,T）=0,实验通常在Ip“下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为：a=更］,等温杨氏模量定义为：Y=,其中A是

L{8T）£A\dL）T

金属丝的截面积。一般来说，a和丫是T的函数，对£仅有微弱的依赖关系。如

果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由

（降至7；时，其张力的增加为：△£=-工）。

解：由/（£,L,7）=0,可得：£=£亿，T）

d£=[^\dL+(^]dT,由题意可知：dL=()。

微分为:

UL)T\dT)L

即：d£=-aAYdT,积分得：AEM-aAnTz-TJ

1.61mol理想气体，在27℃的恒温下体积发生膨胀，其压强由20p“准静态

地降到1Pn，求气体所做的功和所吸取的热量。

解：恒温膨胀过程外界对气体做的功为：

W=-PPdV=-RT^—=-RTln匕=RTTn生

儿儿V匕?

气体所做的功:W'=-W,=-8.3lx300xln—=7.45x10sJ.mof1

PA20

等温过程理想气体的内能不变△"=（）,根据热力学第一定律：AU=Q+W

气体在等温过程中吸收的热量为：Q=-W==7.45xl03J.mor'

1.7在25℃下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为：

V-(18.066-0.715x10-3P+0.046x10^P2)tm3.mor'0如果保持温度不变，将1

mol的水从1p“加压至1000pn,求外界所作的功。

解：将体积与压强的关系简记为：V^a+bP+cP2,求导可得：dV^(b+2cP)dP

温度不变，将1mol的水从1p“加压至1000p”,此过程中外界所作的功为：

W=—V=—J：P(b+2cP)dP^-(-bP2+-cP3)J000=33AJ.mor'

"A123J

1.1o抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强与

时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U

与原来大气中的之差为U-=与匕，其中匕是它原来在大气中的体积。若

气体是理想气体，求它的温度和体积。

解：假设气体冲入小匣之前的状态为(玲，V0,Tn),内能是U。。气体冲入小匣

后的状态为(4，V,T),这时的内能为U；外界对气体所做的功为：P()dV0o

由热力学第一定律：AU=Q+W,Q=0,可得：(U—U0)=—

即：U-U0=PaV0(证毕)，

理想气体的内能：U-UQ=vCv(T-T^,由物态方程：P.Va=VRTQ

得：C"=(G+R用，所以：T=^-^=^T0=yTQ

等压过程：V==

1.11满足尸v〃=c常量的过程称为多方过程，其中常数〃名为多方指数。试证

明，理想气体在多方过程中的热容量c"为：C"=NQ。

n-l

'名、'dU+PdV、(dV^

证明：c„=CV+P—(1)

、dT->【dT)n

由理想气体的物态方程PV=RT,可得：PdV+VdP=RdT(2)

以及理想气体多方过程PV"=C,可得：PnV-'dV+V'dP^O

PndV+VdP=O(3),用(2)式减(3)式可得：PdV-PndV=RdT,

f—二1『(4),将(4)式代入(1)式可得：Cn=Cy+工(5)

\dT)n(1-H)P\-n

c

由迈耶公式：Cp—Cv=R,以及：上=>,可得：G(y—1)=R(6)

G

将(6)式代入(5)可得：C“=±2Cv,证毕

/2-1

1.12试证明：理想气体在某一过程中的热容量C.如果是常数，该过程一定是

C-C

多方过程，多方指数〃=一一乙。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

Cn-Cv

解：由热力学第一定律：dU=tfQ+dW,对于理想气体：dU=CvdT,而

tfW=-PdV,dQ=C,,dT。代入可得：GdT=C»dT—PdV

即：(C“-Cv)dT=PdV(1),理想气体的物态方程：RT=PV(2)

由(1)式和(2)式可得：(C“-CV)Q=R"(3)

将理想气体物态方程的全微分：—+—,代入(3)式，消去空，

PVTT

可得(G-G)誓+(Gf)粤=0：令:〃=》之

即：m吟二(),若cp,g都是常量，则积分得：PV=C

证明了该过程是多方过程。

1.16假设理想气体的g和g之比y是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T

和V的关系。该关系式中要用到一个函数尸(T),其表达式为：lnF(T)=［产］。

J

解：由热力学第一定律：dU=tfQ+dW,在准静绝热过程中：闻=0。

得到：GzdT=(aW)s=—RZV(1),由迈耶公式：C°-G=R，以及：4=

Cv

可得：Gz=—匕(2),结合理想气体的物态方程：PV=RT(3)o

7-1

将(2)式和(3)式代入(1)式可得：-^-dT=--dV,

y-1V

变形为：—+7^-=0,假设：,求导可得：—=^-

V(y-l)T3(y-l)TF(y-l)T

即：4ln(v)+ln(F)］=0,所以：WF(7j=常量

1.21温度为OC的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后，水温达到100C。

试分别求水和热源的端变以及整个系统的总燧变。欲使整个系统的端保持不变，

应如何使水温从0℃升至100℃?已知水的比热容为4.18J-g-'-K-'o

解：为了求水的端变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0℃

与100℃之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0℃升至100℃。在这

可逆过程中，水的燧变为：

tmmCdT373,373,

AS永=[—2—=mGIn--=103x4.18xln——=13046J-

水J273T273273

这一过程中水所吸收的总热量0为:

2==1000x4.18x(373-273)=4.18x10sJ

为求热源的端变，假设热源向温度比100C略低的另一热源放出热量0。在这可

逆过程中，热源的蜡变为：AS执源=—418/°5J•K-I=-112Q69L,

373

整个系统的总熠变为：=A5水+八％.源=1847为使水温从0℃升至

100℃而整个系统的端保持不变，将水逐个与温度分布在0℃与100℃之间的一系

列热源接触。这一系列热源的端变之和为：

1

△s找二--"7?CpdT=_mCIn—=-1000x4.18xln—=-1304.6J-/T-

r

舔源J273T273273

整个系统的总焙变为：州总=A5水+AS摭原=0

1.2210A的电流通过一个25。的电阻器，历时1s。(i)若电阻器保持为室

温27C,试求电阻器的蜡增加值。(ii)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温

为27℃,电阻器的质量为10g,比热容Cp为0.84J.g—k」，问电阻器的燧增加

为何？

解：(i)以7,P为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为

室温27c不变，则电阻器的端作为状态函数也就保持不变。

(ii)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量。将全部被电阻器吸收使

2

其温度由(升为《，即：IRt=mCP(T2-Tiy

-u.个子I~Rt/ccc10x25x1

求Z得H：T-,=T.+--