高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第九节 几何概型习题 理试题

第九节几何概型[基础达标]一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·北京海淀区期末考试)已知函数f(x)的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投入100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33,由此可估计f(x)dx的值约为 ()A. B.C. D.1.A【解析】豆子落入阴影部分的概率应为,由题可知f(x)dx=S阴影=S矩形×.2.(2016·珠海摸底)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 ()A. B.C. D.2.B【解析】因为矩形的面积为2,半径为1的半圆的面积为,所求概率为.3.(2015·安庆三模)某高二学生练习篮球,每次投篮命中率约30%,现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率;先用计算器产生0到9之间的整数值的随机数,指定0,1,2表示命中,3,4,5,6,7,8,9表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表3次投篮的结果.经随机模拟产生了如下随机数:807956191925271932813458569683431257393027556488730113527989据此估计该生3次投篮恰有2次命中的概率约为()A.0.15 B.0.25 C.0.2 D.0.183.C【解析】随机数共有20组,其中表示3次投篮恰有2次命中的有191,271,027,113,共4组,所以估计概率为=0.2.4.(2015·天津红桥区模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数x,使cos的值介于0到之间的概率为 ()A. B. C. D.4.A【解析】当0≤cosx≤时,-x≤-x≤,解得-1≤x≤-≤x≤1,所以所求概率为.5.(2015·山东实验中学诊断)某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 ()A. B. C. D.以上全错5.B【解析】设正三角形的边长为1,则其外接圆的半径R=,则所求概率为.6.(2015·黄山二模)已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直线y=0,x=a(0<a≤1)和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域,若向区域Ω上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是,则a的值为 ()A. B. C. D.6.D【解析】根据题意,区域Ω即边长为1的正方形,面积为1×1=1,区域A即曲边三角形,面积为x3dx=x4a4,若向区域Ω上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是,则有,解得a=.7.(2015·哈尔滨三中二模)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是 ()A. B. C. D.7.D【解析】区域D的面积为3,其中满足此点到坐标原点的距离小于2的区域面积为半径为2,圆心角是的扇形加上一个直角三角形的面积,即为×22×,所求概率为.8.(2015·贵阳适应性监测)已知函数:f(x)=x2+bx+c,其中:0≤b≤4,0≤c≤4,记函数f(x)满足条件:的事件为A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.8.A【解析】点(b,c)对应的区域是边长为4的正方形,面积为16,其中满足对应的区域如图中阴影部分,其面积为16-×2×2-×2×4=10,故所求概率为.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2015·重庆一中月考)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P,则点P恰好落在第二象限的概率为.

9.【解析】因为不等式组对应的平面区域是三角形,其面积为×3×,其中位于第二象限的面积为,所以点P恰好落在第二象限的概率为.10.(2015·大连二模)如图,设抛物线y=-x2+1的顶点为A,与x轴正半轴的交点为B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M,随机往M内投一点,则点P落在△AOB内的概率是.

10.【解析】由题意得区域M的面积为(-x2+1)dx=,又△AOB的面积为,故所求概率为.11.把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为.

11.【解析】设木棒长度为1,折成两段后,其中一段的长度为x,则另外一段的长度为1-x,则0<x<1,即D的测度是1,其中一段长度大于另一段长度2倍”,即为x>2(1-x)或1-x>2x,解得<x<1或0<x<,故d的测度为,所以所求概率为.12.假设某公共汽车站每隔15分钟发一班车,并且发出前在车站停靠3分钟,则随机到达的乘客等车时间不超过10分钟的概率是.

12.【解析】因为公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达,所以事件总数包含的时间为15分钟,又因为乘客到达车站的时刻是任意的,且出发前在车站停靠3分钟,所以满足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间为15-13=2分钟,故所求概率为.[高考冲关]1.(5分)(2015·武汉调研)如图,矩形OABC的四个顶点坐标依次为O(0,0),A,0,B,C(0,1),记线段OC,CB以及y=sinx0≤x≤的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω.若向矩形OABC内任意投一点M,则点M落在区域Ω内的概率为 ()A. B.1-C.1- D.-11.C【解析】阴影部分的面积为(1-sinx)dx=(x+cosx)-1,又矩形OABC的面积为,所以所求概率为=1-.2.(5分)(2016·邯郸摸底)把半径为2的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为 ()A.-1 B.C. D.2.A【解析】半径为2的圆的面积为4π,且星形面积为4π-2[4π-(2)2]=16-4π,所以此点落在星形内的概率为-1.3.(5分)(2015·福建高考)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.

3.【解析】由定积分的几何意义可得矩形ABCD内的空白部分的面积为S=x3,而矩形ABCD的面积为1×4=4,根据几何概型的概率公式可得所求的概率为P=.4.(5分)(2014·重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在