统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十三数学文化文

热点(十三)数学文化1．(数列中的文化)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了()A．192里B．48里C．24里D．96里2．(程序框图中的文化)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示为，执行如图所示的程序框图．若输入的x＝1，y＝2，则输出的S用算筹表示为()A．B．C．D．3．(生活中的文化)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问三女几何日相会？”大致意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为()A．58B．59C．60D．614．(推理与证明中的文化)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙5．(函数中的文化)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关所收税金为剩余持金的eq\f(1,3)，第3关所收税金为剩余持金的eq\f(1,4)，第4关所收税金为剩余持金的eq\f(1,5)，第5关所收税金为剩余持金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为()A．eq\f(1,36)斤B．eq\f(1,30)斤C．eq\f(1,25)斤D．eq\f(1,20)斤6．(线性规划中的文化)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计π的值．如果统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为()A．eq\f(23,7)B．eq\f(47,15)C．eq\f(17,15)D．eq\f(53,17)7．(生活中的文化)里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的标度，用来表示测震仪衡量的地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的振幅就越大，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A，A0分别是距震中100公里处接收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅是5级地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍8．(立体几何中的文化)堑堵、阳马、鳖臑出自中国古代名著《九章算术·商功》，其中阳马、鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼．取一长方体，如图(1)中的长方体ABCD­A1B1C1D1，沿平面ABC1D1斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，如图(2)，再沿平面D1BC切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥D1­ABCD以矩形ABCD为底，棱DD1与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥D1­BCC1是四个面均为直角三角形的四面体，称为鳖臑．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为()A．2eq\r(5)B．5C．eq\r(29)D．4eq\r(2)9．[2023·安徽省名校大联考](解三角形中的文化)秦九韶，字道古，汉族，鲁郡(今河南范县)人．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．南宋嘉定元年(1208)出生于普州安岳(今四川安岳)，咸淳四年(1268)二月，在梅州辞世．他在著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求三角形面积的方法．其求法是：以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．若把以上这段文字写成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))，若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2sinA＝2sinC，cosB＝eq\f(3,5)，a<b<c，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．1D．eq\f(5,4)10．[2023·陕西省百校联盟(一)](数列中的文化)斐波那契螺旋线也称黄金螺旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长作正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长作正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》(如图)，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段曲线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，再将扇形面积设为bn(n∈N*)，有下列结论：①4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021；②a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1；③aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＝2a2019·a2021；④a2019·a2021－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＋a2018·a2020－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))＝0.其中，正确结论的个数为()A．4B．3C．2D．111．(平面几何中的文化)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是()A．50πcm2B．100πcm2C．150πcm2D．200πcm212．(生活中的文化)某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同，已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”．如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”．则选择“饲养”的班级是()A．2班B．3班C．4班D．5班[答题区]题号123456789101112答案13.(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________．14．[2023·东北三校第二次联合模拟考试](推理中的文化)在学习推理与证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：eq\r(x)＋eq\r(y)＝1；C2：x4＋y4＝1.老师问同学们：你们想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答，甲：曲线C1关于直线y＝x对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成图形的面积S1<eq\f(1,2)；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成图形的面积S2<eq\f(π,4).四位同学回答正确的有________(选填“甲、乙、丙、丁”).15．(数列中的文化)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形数N(n，4)＝n2；五边形数N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六边形数N(n，6)＝2n2－n；……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．16．(推理中的文化)为了考查考生对于数学知识形成过程的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三名考生之间有如下对话．甲说：“我答错了．”乙说：“我答对了．”丙说：“乙答错了．”评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：“你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．”根据以上信息，面试问题答案正确的考生为________．热点（十三）数学文化1．B由题意可知此人每天走的步数构成公比为eq\f(1,2)的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得，eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a3＝a1q2＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝48.故选B.2．Cx＝1，y＝3，i＝2；x＝2，y＝8，i＝3；x＝14，y＝126，i＝4.退出循环，输出S＝1764，用算筹表示为，故选C.3．C由题意知，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5，三个女儿同一天回娘家的天数为1，因此，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为33＋25＋20－（8＋6＋5）＋1＝60.故选C.4．A由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．故若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．5．C设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为eq\f(x,2)斤；第2关所收税金为eq\f(x,6)斤；第3关所收税金为eq\f(x,12)斤；第4关所收税金为eq\f(x,20)斤；第5关所收税金为eq\f(x,30)斤，易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).则第5关所收税金为eq\f(1,25)斤．故选C.6．B由题意，120对正实数对（x，y）中的x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))，该不等式组表示的平面区域的面积为1.正实数对（x，y）中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>1,x2＋y2－1<0,0<x<1,0<y<1))，该不等式组表示的平面区域的面积为eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，则eq\f(π,4)－eq\f(1,2)≈eq\f(34,120)，eq\f(π,4)≈eq\f(94,120)，π≈eq\f(47,15)，故选B.7．D对公式M＝lgA－lgA0进行转化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，当M＝7时，地震震波的最大振幅为A7＝A0·107，当M＝5时，地震震波的最大振幅为A5＝A0·105，则eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故选D.8．C根据题意得，该阳马的最长棱长为D1B＝eq\r(4＋9＋16)＝eq\r(29).故选C.9．B因为c2sinA＝2sinC，所以由正弦定理可得ac＝2，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－eq\f(12,5)，所以a2＋c2－b2＝eq\f(12,5)，所以S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(36,25))))＝eq\f(4,5)，故选B.10．B由题意得bn＝eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，则4（b2020－b2019）＝4（eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))－eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))）＝π（a2020＋a2019）（a2020－a2019）＝πa2018a2021，故①正确；已知a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），所以an－2＝an－an－1，a1＋a2＋…＋a2019＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（a2021－a2020）＝a2021－1，故②正确；已知a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），则an－1＝an－an－2（n≥3），两边同乘以an－1得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝anan－1－an－2an－1，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋（a3a2－a2a1）＋（a4a3－a3a2）＋…＋（a2021a2020－a2020a2019）＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋a2021a2020－a2a1＝a2021a2020，故③错误；由an－1＝an－an－2（n≥3），可知a2019a2021－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＋a2018a2020－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))＝a2019（a2021－a2019）＋a2020（a2018－a2020）＝a2019a2020＋a2020（－a2019）＝0，故④正确．综上可知，正确结论的个数为3，故选B.11．B扇环的面积为S＝eq\f(1,2)αr2－eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)αr2＝eq\f(3,8)×eq\f(2π,3)×400＝100π.故选B.12．B通解由题意可知五个班级和五项活动一一对应，作出如下表格（不选活动项目打“×”，选择活动项目打“√”），当5班选“采摘”时，则4班选“农耕”，根据如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”，得1班选“酿酒”，再根据五个班级和五项活动一一对应，易得选“饲养”的是3班．农耕采摘酿酒野炊饲养1班××√2班××√3班××√4班√5班√当5班选“酿酒”时，则4班选“农耕”，根据如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”，得1班选“酿酒”，则1班和5班都选“酿酒”，与题意矛盾，舍去这种情况．综上可知，选B.优解由题意知，1班、2班、3班、5班均不选“农耕”，所以4班选“农耕”，根据如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”，得1班选“酿酒”，则5班选“采摘”，又3班不选“野炊”，所以2班选“野炊”，3班选“饲养”．故选B.13．答案：－eq\f(1,6)解析：由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表达式，可得eq\f(1－2cos227°,3·2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝eq\f(－sin36°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).14．答案：甲、乙、丙解析：对于甲，把曲线C1方程中的x换成y，y换成x，方程没变，可知曲线C1关于直线y＝x对称，故甲正确．对于乙，把曲线C2方程中的x换成－x，y换成－y，方程没变，可知曲线C2关于原点对称，故乙正确．对于丙，方法一曲线C1的方程可变形为y＝（1－eq\r(x)）2，其与坐标轴围成图形的面积S1＝eq\i\in(0,1,)（1－eq\r(x)）2dx＝eq\i\in(0,1,)（1－2eq\r(x)＋x）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－