2023海文高数赵达夫强化班讲义

高等数学强化讲义

一函数极限连续

§1函数

一函数的基本概念

。是一个非空实数集合，设有一个对应规则了,使每一个xe。，都有一个确定

的实数)，与之对应，则称这个对应规则/为定义在。上的一个函数关系，或称

变量y是变量x的函数，记作y=/(x),xeD.

二函数的基本性态

1奇偶性

⑴定义:偶/(一幻=/(X)；奇f(-x)=/(X)0

(2)导函数：奇导偶，偶导奇.

(3)原函数：奇原偶，偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数，其中

X偶J(x)奇

0.奇偶

2有界性

(1)定义：X/xeX,有\f(x)\<M.

(2)无界：VM>0,3x&X,有\f(x)\>M.

(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷;

无穷的本质是随意的子列趋向无穷。

(4)常见有界的判定：设/(x)在［a,目连续，则/(x)在［a,0有界.

设/(X)在(a,b)连续,且lim/(x),lim/(x)存在，则/(x)在(a,匕)有界.

3周期性

(1)定义：/(x+T)=/(x)

(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同

注：周期函数的原函数不肯定为周期函数。

4单调性

⑴定义:递增(递减)当玉<々时，均有/(%)</(%)(或〃X)〉/(工2))

(2)导函数：/(x)>(<)0与士/(x)单增(减)；/0)2(00^^/(%)单增(减).

题型一无界与无穷的判定

例1设/(x)=泥8sxsinx,贝犷(x)是()

(A)偶函数(B)有界函数

(C)周期函数(D)单调函数.

例2当x->0时，变量4sin，是

)

(A)无穷小(B)无穷大

(C)有界的，但不是无穷小量(D)无界的，但不是无穷大

题型二函数性态的判定

例3设f(x)是一个奇的连续函数,则下面必定是奇函数的是()

X

(B)j(/⑺—/(T)W

(A)

00

(C)f\x)(D)依据上面条件无法推断

例4设函数/(X)具有二阶导数，并满意f(x)=-/(-x),且f(x)=/(x+l).若

/,(1)>0,则()

(A)y"(-5)</'(-5)</(-5).(B)/(5)=/"(-5)</'(-5).

(07'(-5)</(-5)</"(-5).(D)/(-5)</'(-5)=/"(-5).

练习：设/(x)在(-8,+8)内可导，且对随意和无2，当王时，都有

/(.V,)>f(x2),则()

(A)对随意x,f\x)>0(B)对随意x,f\-x)<0

(C)函数./X-x)单调增加(D)函数/X-x)单调增加.

例5设函数加)=震器呆在下列哪个区间内有界()

A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)

三各种其他的函数

1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达

2复合函数S(x)]：y=/(〃)与〃=e(x)复合而成的复合函数，“为中间变量.

3反函数、隐函数

⑴原来的函数为y=/(x),若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数

x=e(y),且/Wy)]=y，称x=0(y)为y=/(x)的反函数.

(2)隐函数：F(x,y)=Q.

4初等函数

(1)基本初等函数：常数，器，指数，对数，三角，反三角.

(2)由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.

题型三分段函数的复合

方法：各种情形分别探讨.

4-|0,x<02—%2,国＜1

例6设>n/(x)=(试求f[g(x)]，g"(x)].

1,x>0|x|-2,匹1

§2极限

一极限的概念

1数列极限：limx“=ao对于X/£>0mV>0当“〉N时有lxn—«|<£.

2函数的极限

(1)xf/(自变量趋向于有限值的情形)

(a)lim/(x)=Aoxf/,/(x)->AoVe>0,3<5>0,当|<S时,

有"(X)-A|<£.

(b)lim/(x)=4(左极限)

x->b一

lim/(x)=A(右极限)<=>x->x0+,/(x)->A,.

XT%)+

(c)limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A,

XTXOXT与-1-»与+

⑵Xf8(自变量趋向于无穷大的情形)

(a)lim/(x)=A=x-oo,/(x)-AoVe>0,3M>0,当|x|>M时，

x—>00

有|/(X)-A|V£.

(b)limf(x)-ox->-oo"(x)fA.

lim/(x)=4u>x—>4-oo,/(x)—>4.

XT+cc

(c)lim/(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A.

X->CCX->-<OXT+00

(3)常见有不同极限的函数：分段函数、/,arctan无

二极限的性质

1有界性：lim=a=>{%}有界；

lim/(x)=a=>3^>O,O<|x-x|<瓦f(x)有界

XT%o

2有理运算性质：

(1)若lim/(x)=A,limg(x)=B,则(a)lim[/(x)±g(x)]=A±B

XT与XT而r-»A0

(b)lim/(x)g(x)=AB(c)lim—(B0)•

X»oXT•与g(x)B

(2)推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不

为0,上述运算法则就成立.

⑶延长：若lim/^=A,贝IJ

-g(x)

(a)limg(x)=0=lim/(%)=0;(b)limf(x)=0,A声0nlimg(x)=0.

XT%XT与XT与XT而

例设lim二丹t=3,求。和无

esin(x2-l)

3保号性：lim/(x)>(<)0nmb>0,当0Vx—/l<'有/(x)>(<)0

XT与

三极限的两个存在准则

(1)单调有界定理：若数列｛玉｝单调且有界，则｛%｝有极限.

(2)夹逼准则：设在%的领域内恒有8(x)W/(x)〈0x),且

lime(x)=limi//(x)-A,则lim/(%)=A.

XT%)X—>X0%—%

四无穷小和无穷大

1无穷大量：若lim/'(x)=8,/1(x)称为xfX。的无穷大量.

XT与

正无穷：limf(x)=+co；负无穷：lim/(x)=-oo.

XT而X->两

2无穷小量：若limf(x)=0,称/(x)是xf/时的无穷小量。

(1)设/(x)、g(x)都是x-尤0时的无穷小量，若且Iim4W=/,

ig(x)

(a)1=0,称/(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以/(x)=o[g(x)],

(b)/wO,称/(x)与g(x)是同阶无穷小。

(c)/=1,称/(x)与g(x)是等阶无穷小，记以_/(x)~g(x).

⑵若/'(x),g(x)为无穷小，且声0,称/'*)是g(x)的左阶无穷小.

(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小；

有限个无穷小的和(乘积)仍旧为无穷小.

(4)等价无穷小的作用：若a'~a,0'~0,则lim/=lim奈

(5)如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.

3无穷小和无穷大关系：非零无穷小的倒数为无穷大；

无穷大的倒数为无穷小.

题型一：极限概念、性质和存在准则的探讨

核心点：相关定理、定理的反问题、定理削减条件后的情形

例1设对Vx,有夕(x)</(x)Wg(x)且lim[g(x)-°(x)]=0,贝ljlim/(x)()

A存在且为0B存在但不肯定为0

C肯定不存在D不肯定存在

例2设数列｛%｝与｛y,J满意limx,,%=0,则下面断言正确的是()

71—>00

A若｛x,J发散，则｛y“｝必发散，B若｛X,,｝无界，则｛y,J必有界

C若｛相｝有界，则｛笫｝必为无穷小D若｛'｝为无穷小，则｛券｝必为无穷小

例3设{a,,},{）“},{%}均为非负数列，且lima”=0,limb”=1,lime”=oo,则（）

Aan<Z?„,V«Bbn<q,,V〃

Clima,,%不存在D不存在

例4设函数/(x)在(TO,+00)内单调有界，｛x,J为数列，下面命题正确的是()

A若｛%｝收敛，则"(七)｝必收敛B若｛X,｝单调，贝！|｛/(x.)｝必收敛

C若"(%)｝收敛，则｛x,J收敛D若｛/”")｝单调，则｛%｝收敛

题型二求函数的极限

步骤1：四则运算和等价无穷小

注1：四则运算特殊要留意左右极限不同的情形.

注2：常见的等价无穷小当x-0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,

arctanx〜x,l-cosx-；/,exx,lim(1+x)-x,(1+x)rt-ax

nn

当xfoo时，anx+a„_xx^++a0~anx".

例5求极限则十一2；

1+e"

例6若无一＞0时_］与尤sinx是等价无穷小，则。=

xln(l+x)

例7lim--------=_________

XT01-COSX

例8求/=lim（2>+1）"（.二1；5史+£）

例9求/=hmx2(ex-ex+l)

XTO

例10求lim

例11求limx2(arctan——arctan----)

mexx+1

例12设limln(l+/(x)sm5x)=［，求］出/(x)

A->02"-1KT。

步骤2：恒等变形

（1）.含〃3心）的极限.

(a)若干脆计算且M(X)->1,干脆利用公式

limu(x)v(x)=exp((w(x)—l)v(x))

(b)将u(x)vW写成“(x)心)=exp(v(x)Inu(x))求解.

例13求lim(但吧丫9”.

3J

2+cosx

例14lim-1)

*f°x3

(2)有理化变形&-初=:一”厂,也-。=「。二「

&+扬行+疹+病

例15/^lim^cVx+S-Vx+T)

XTOO

(3)分子、分母同时除以最大的无穷大方

00

常见的无穷比较：%—>+8,Inx«xa(a>0)«x。(0>0)«a\a>1)

例16求lim"“丁1+山

17yjx2+COSX

mi…小1/、vsin2x+2d”cosx_p._.

例17设/(x)=lim--------------------,求hvm/(xz).

xf°x+eio

步骤3：洛必达法则和导数定义

（1）先进行步骤1和2,然后再用第3步，符合洛必达法则用洛比达法则；

（2）若洛必达法则无法运用，则利用导数定义求解，此类问题一般为抽象型问

题.

X2

x2-jcosrdt

例18求lim----%----

iosinx

,丫56

例19设函数〃x)=]Lsin(/."⑴4+2■，则当x.0时，/(%)

是g（x）的（）［无穷小量的比较］

（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小

（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小

例20

X

,f(x+xy)

例21设/（幻〉0且可微，求极限lim

y->0/(x)

步骤3'：泰勒定理

含：sinx,cosx,(l+x)a,ln(l+x),e*可干脆利用Peano形式的泰勒定理.

例22求lim(止二-工).

“。1-""x

题型三求数列的极限

方法1：将〃换成x,干脆利用求函数极限的方法求解.

例23limtan"(-+-).

”->84n

/啦(l-cos!)

例24求lim---,——--

—V«2+l-«

方法2：单调有界必有极限，应用在递推数列求极限

例25设0〈再<3,且/川=,怎(3—七),证明｛当｝极限存在并且此极限.

方法3：夹逼准则.

例26求lim业；+田+…+,其中p〉0,q.>0.

题型四求数列连加和的极限

方法1：干脆合并

门22〃2

例27求lim-y+—2++—

n'n

方法2：夹逼准则

一般状况下只放分母不放分子，且必需使左右两边的放缩项极限相同.

例28求limf-i1+-i2,+.+〃

2”〃6+〃7«6+2Hy/n6+n2J

方法3：定积分定义.若函数/Xx）在区间［0,1］上可积，则

例29求lim|+———F+---

n+ln+2n+n

(.n.2%

sin—sin——

sm7

例30lim―———+

…n+1l

n+n+r

I2nJ

练习：lim"(1+-)(1+-)(1+-)

8Vnnn

题型五已知极限求未知参数

1若是Xf8的多项式型问题，考虑多项式的最高次数.

2若是9型，依据分子或分母极限为0得到一个参数再求解其他参数.

0

例31设+3/+2)'=1,求c,/.

例32确定〃也c值,使lim-.h0).

-Ldt

,t

§3连续

一连续与间断

1连续的概念

⑴若limf(x)=y(x),则称/(x)在点x处连续。

XT%)0Q

⑵若lim/(x)=/(x),则称函数/(尤)在点/处左连续；假如lim/(x)=/(x),

KT坛0X->后0

则称函数/(X)在点X。处右连续.假如函数)=/(X)在点X。处连续，则/(X)在X。

处既是左连续，又是右连续.

2间断点的分类：非连续点鹭〃尤)47(%)

(1)第一类间断点：lim/(x)与lim/(x)都存在的间断点：

X->X0XTX().

若lim/(%)*lim/(x),则称与为跳动型间断点.

X->XQ~

若Hm/(x)=lim/(x),则称/为可去间断点.

(2)其次类间断点：lira/(x)与lira/。)中至少有一个不存在的间断点

+

工-»而x->x0

若lim/(x)与lim./(x)中至少有一个为无穷大，则称与为无穷型间断点.

+

x->x0~A->A0

当XfX。时函数值在摇摆，称为摇摆型间断点.

3间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点.

二连续函数的性质

1连续函数运算的性质.

(1)若y(x),g(x)在与连续，则y(x)士g(x),y(x)g(x)在与连续，若还有条件

g(xo)*O,则等在在小也连续.

g(x)

(2)若/(x)在X。连续，g(x)在八龙。)连续，则g(/(x))在在X。连续.

(3)初等函数在定义域内都连续.

2闭区间连续函数的性质：闭区间［a,b］上的连续函数/(x)

(1)(有界性定理)/(x)在［a,b］上有界。

(2)(最值定理)/(x)在［a,b］上有最大值和最小值.

(3)(介值定理)设利,M为/(幻在［a,b］上的最小值最大值，则对Vc(,〃<c<M),

至少存在一点,使/(")=c.

(4)(零点定理)若/(a〉/®<0,则至少存在一点4《凡可，使/C)=0.

注：若/'(办/(加<0,则至少存在一点穴。力)，使/O=0.

题型一：探讨连续性与间断点的类型

详细函数：一般利用连续与间断的定义.

抽象函数：一般利用连续函数运算性质.

例1设/(X)和夕(X)在(YO+8)内有定义，/(X)为连续函数，且/(X)H0,0(X)有

间断点，则

(A)0［"力］必有间断点。(B)e［/(x)］2必有间断点。

(C)/［。(切必有间断点。(D)必有间断点。

1+X

例2设函数/(x)=lim----—探讨函数/（X）的间断点，其结论为（）

"f81+x

（A）不存在间断点（B）存在间断点％=1

（C）存在间断点％=0（D）存在间断点％=-1

-yIn[1+x3)sin—,x<0,

xv'x

例3设/(x)=<0,x=0,则/(x)在彳=。处()

—£sin(r)dt,x>0,

（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续

（C）连续，但不行导（D）可导

例4求0m…⑴的间断点，并判别其类型。

f'sinx）

题型二：证明遮/C)=C或者方程F(x)=c有根.

若详细已知了某些函数值或者函数值的等式，用零点定理；

若没有这些信息，一般实行介值定理，只要证明mWcWM.

例5设/.(x)在［a,句连续，且犬］,々，.，七e(a,b),求证存在使得

f®=Nf(x)f(X2)/(。).

例6设八幻是［0,1］上非负连续函数，且/(0)=/⑴=0.证明：对随意实数广

(0<r<l),必存在%€［0,必使得y+re［0,l］,且/(/)=/(%+厂)。

例5设/(x)在［0,1］上连续,即(0)=/⑴，

(1)证明：存在Je［0,1］,使/■©=/©+》；

(2)证明：存在〃e［0,1］，使/•(〃)=/(〃+，)(〃>2且”为正整数).

其次章一元函数微分学

§1导数与微分

一导数与微分的基本概念

1导数的概念：/5)=lim/(/+♦>/(/)=lim"x)T(x。)

ADAr1%x-x(.

左导数：£，)=lim/右导数：/5)=lim/X。十八')一”~>)

©THAX-—Ax

导数存在O左右导数存在且相等

2微分的基本概念

(1)/(x)在/可微：/(x0+Ax)-/(x0)=AAx+<?(Ax)(Ax->0).

/(x)在x=/的微分"(x)|*=而=AAx=Adx

(2)/(x)在x<)可微o/(x)在/可导且A=/'(x0)

4(x)|"=/'U0)Ax=fXx^dx

3可导(微)、连续关系：1(%)存在o/(x)在与可微/(x)在x0连续.

4导数的几何意义：切线的斜率

题型一：可导性的探讨

核心点：导数定义，特殊要对于分段函数要分左右导数探讨.

例1设函数/(幻在x=0连续，则下面命题错误的是()

(A)若1加丝存在，则/(0)=0(B)若Am存在,则/(0)=0

x->0%x-»0x

(C)若lim//存在，则尸(0)存在(D)若lim'⑴二"R存在,则尸(0)存在

xf0xx->0%

例2设/(0)=0,/(x)在x=0可导的充要条件的是()

(A)lim/(i°sh)存在(B)linT/O-e)存在

。->0h220h

(C)"…)存在⑺1用伽f㈤存在

A—>0h~A->oh

例3设/(x)可导，F(x)=/(x)(l+|sinx|),则/(0)=0是/(幻在x=0可导的()条件

(A)充分必要(B)充分非必要(C)必要非充分(D)即非充分也非必要

注：若，(%)=|工-々|9(%)且夕(%)在％=4连续,广(4)存在。0(。)=0.

例4函数/(x)=(f—x—2犷_耳有()个不行导点.

(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.

二导数与微分的计算公式

1导数的有理运算和复合运算法则

(1)"±力)'=工.±£(2)"6)'=/工+工£

(3)夕(4)"(力(x))]'=/"(》))&'(x)

2微分的有理运算和形式不变性

/八、jjJ』、vdu-udv

⑴d{u±v)=au±av,a(wv)=vdu+udv,a(—)=--------

vv-

(2)df(u)=f'(u)du,不管〃是最终变量还是中间变量.

3特殊函数求导法

⑴反函数求导：力(丁)=士，2T

>(》)[y'W]

⑵参数函数求导：女=皿，⑺。

dxx\t)dx-[%,(?)]

(3)隐函数求导三大方法：干脆求导、干脆微分、公式法.

⑷变上限函数求导：设/(x)在L㈤上连续，则=

推广：=，[网(x)M'(x)-f(切，(x)

4连环相乘的对数求导法：应用在形如/"）=/（幻”">〃2（%）"“"“。产⑴的函数

两边取对数Inf(x)=v,(x)Inu,(x)+v2(x)Inu2(x)++v„(x)lnM„(X)

从而=(Vj(x)Inu}(x)+v2(x)Inu2(x)++vn(x)Inwn(x))'

fM

题型二：求显函数的导师

（1）定义：探讨可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数.

（2）公式：四则、复合、对数.

例5设,/•*）=:二巨三，求尸（尤）

(3+4

(x-l)(x-2)(100)求

例6设f(x)=(x+l)(x+2)(x+100)'」

例7设/（幻=（1+/产”,求广（无）.

jf(xt')dt,x<0

例8设尸(x)在x=0连续，且lim/^=2,令尸(x)=|0,x=0,求F(x).

10X

y--z-»/_VQ__y--f-

例9设夕(x)=(/，且/(x)在x=0可导，令/(%)=/"(%)),求小(0).

0,x=0

题型三：隐函数和参数函数求导

隐函数求导有三种方法：一般情形下求导和求微分的方法等价.但若只要求隐函

数在某点的高阶导数(或导数)一般实行干脆求导得到的关系，不实行解出

)，'再求导的方法而实行干脆对关系式求导的方法.

例10函数y=y(x)由方程y=tan(x+y)确定,求

例11设可导函数＞=y(x)由方程sinx-j°(M)JM=0确定,其中可导函数

X

且9(0)=0(0),求y”(0).

1=3厂+2，+3匕匚*々上d~y.

例12设设可导函数y=y(x)由参数方程"­)，+1=。所确定'求U"

三高阶导数

⑴r(x)在点X。处的导数称为“X)在点X。处的二阶导数，记以/〃(x0).若“X)

的〃-1阶导数的导数存在，称为y=f(x)的〃阶导数，记为例)(无)或

ax

(2)运算法则:(〃(x)+v(x))""=〃(x严+v(x)⑺，(心)v(x))⑺=£C3(X)%(X)(M)

k=0

⑶常见函数的高阶导数：(优严=a'(lna)",(/严=",

sin(ox+0)""'=a"sin(ax+(p+m

[(1+x)'"]⑺=[m(m-l)-(7??-«+1)(1+x)'n~n,m>n

0,m<n

题型四求高阶导数

1干脆将函数写成常见函数的加减式，然后利用常见函数的公式求解.

2若函数为/(x)=fg(x),利用莱布尼茨公式求解.

3若只求某点的高阶导数/"Q),利用泰勒公式〃x)=£/⑼⑷(X-。)"

n=0

例13设)求/伙》).

x-5x+6

例14求函数/(x)=fin(l+x)在0点的100阶导数/<100,(0).

§2中值定理和导数的应用

一微分中值定理

1洛尔定理：设函数/(X)在闭区间上连续，在开区间(。力)内可导

f(a)=f(b),则存在)w(a,。),使得r©=0.

2拉格朗日定理：设函数/(九)在闭区间[a,“上连续，在开区间(a㈤内可导，则

存在Jw(a,彷，使得叱)-/(")=『⑥.

b-a

推论：若在(a,乃内可导，且:(x)=0,则/(x)在(a㈤内为常数。

冗

例证明arctanex+arctanex=—.

3柯西中值定理:设函数/(x)和g(x)在闭区间[a,河内皆连续，在开区间(a⑹内

/⑸―加)/团

皆可导，且g'(x)N0,则存在使得(a<J<〃)。

g0)-g(a)g'G)

二泰勒定理(泰勒公式)

⑴Lagrange余项：设/(x)在包含/的区间(。口)内有〃+1阶导数，在上有

”阶连续导数，则对xe[a,“，有公式

/(x)=〃x°)+牛(x-x°)+售(x-x。-…+

⑵皮亚诺余项：设f(x)在X。处有〃阶导数，则有

小)=/小)+乎(》7。)+空(x-xj++^^(xr°)"+H(xrj]

1!2!n\L」

注：上面展式称为以与为中心的〃阶泰勒公式；x0=0时，也称为麦克劳林公式。

(3)ex,sinx,cosx,ln(l+x)和(l+x)0等的〃阶泰勒公式.

三极值

1若对点x。，存在它的某一邻域，使得其中vMxw/)，总有〃x)<(>)/(占)，

称/'(%)为函数/(x)的一个极大(小)值，称X。为极大(小)值点.

2必要条件：/口。)为微小值n/'(x0)=0(驻点)或“X)的不行导点.

3充分条件：一阶判别法和二阶判别法

(1)玉,为可能极值点，/'(X)在(与-5,工0)和(尤0，入0+6)异号，左边小于0右边

大于0为极大值，反之为微小值.

(2)/⑴在/处有二阶导数，且/&)=0,尸&Ho,则当1r&)<0,fM

为极大值，/为极大值点.

题型一：极值的推断与求解

1若只知道函数的连续性，利用极值的定义求解.

2若已知函数可导，先求可能的极值点，然后再用充分条件推断.

注：极值的两个充分条件不能相互替代，例如求隐函数的极值问题只能用二阶导

数判别法.

例1设/(x)在x=0处连续，若lim以3=1,问

.v->0

(1)当x=0时，/(x)是否存在？

(2)x=0是否为/(x)的极值点？

例2设y=y(x)由方程2>3一2>2+2封=1确定，求y=y(x)的极值点和极值.

例3求函数f(x)=\(x2-t)e-,2dt的单调区间与极值.

四最大值和最小值

1闭区间卜力]上最值

(1)求出/(x)在内全部驻点，和不行导点X1,…,4；

⑵计算/(^}•••,f(xk),f{a),f(b)；

(3)比较上面的值，最大者就是最大值M；其中最小者就是最小值机.

2开区间(。力)上最值

(1)求出驻点,利用图表法划分单调区间；

(2)作出草图，求出最值.

X2

例4求函数〃x)=](2T)eT力的最大值与最小值.

五凹凸性与拐点

1若，(x)<0称/(x)是凸的，若/"(x)>0则称/(幻是凹的.曲线上凹与凸的分

界点，称为曲线的拐点.

2必要条件：/〃(x)=0或/(x)不存在。

充分条件：去心邻域二阶可导，/"(X)在x=x0左右变号。

题型二：推断凹凸性和拐点

例5设/(x)有二阶连续导数且/(())=0,又也彳乎=1,则()

(A)/(0)是/(x)的极大值(B)/(0)是/⑴的微小值

(0(OJ(O))是曲线y=/(x)的拐点

(D)/(0)不是/(x)的极值，(0,/(0))不是曲线y=/(x)的拐点

例6设/(x)在连续，且在(TO,0)5。,”)内有二阶连续导数，/(x)

的图形如右，则y=/(尤)的驻点、极值点、拐点的个数为()

(A)4,4,4(B)4,4,3(C)4,3,4(D)5,4,4

六渐进线

1垂直渐近线x=c：lim/(x)=8或lim/(x)=℃.

X->C-XTC+

2有斜率的渐近线：lim(/(x)-依+。)=0或lim(/(x)-or+b)=0,

,r—>-H»A—>-O0

其中Q=lim区。力=lim(/(x)-ox)或〃=lim"^,b=lim(/(%)-ar)

Xf+OOXXf+00XT-00XX->-00

题型三求渐近线方程

1垂直渐进线：先求可能点(定义域的端点)+定义推断

2有斜率的渐近线：先求工一物的情形，再求xf-oo的情形

例7设/(x)=(1口一也，求/(x)的渐近线.

(x-1)arctanx

例8/(%)=arctanx+—X—»则/(x)具有渐近性的条数为()

1-e

(A)1(B)2(C)3(D)4

题型四方程根的探讨

1写出方程对应的函数/(x).

2求/(幻的驻点,利用图表法将函数分解成几个小的单调区间.

3作了(幻草图，分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数

例9试探讨方程lnx=±-l的实根个数.

e

例10试确定方程x=ae，(a>0)的实根个数.

题型四中值定理的等式证明

情形一：一个中值点、一阶导数

1参数放在等式右边，左边为了⑸二△曳或了⑷二的形式,干脆利用拉格

b-ag(b)_g(a)

朗日或者柯西中值定理.

2协助函数法

注：特殊要留意变上限函数的情形.

例11证明：*€(a,b)使得,aeh-bea=(1-4)*(a-b)

例12设/（x）在［a,勿连续，在（a,b）可导，证明：使得

［妙⑷一af（b）］=+/（初.

b-a

\_

例13/（九）在连续，在（0,1）可导，/⑴=3jei"（x）公，证明

0

至G（（M）使得/c）=2〉e）

例14/（x）在［0,1］连续，在（0,1）可导，且满意了（0X/⑴=0"（；）=1,证明

1）存在〃eg,1），/（〃）=〃；

2）V4存在＜，/G）-4）=1.

例15/（X）在［0,1］连续，在（0,1）可导，且］7（x）公=0,证明:

0

三4e(0,1)使得］7(幻公=苫/C)

0

情形二女阶导数一个中值点

方法：多次利用洛尔定理.

例16/(元)在［0,1］上有三阶连续导数，/(0)=〃1)=0,F(X)=X3/(X),

证明：*e(0,l)使得尸"(9=0.

情形三1阶导数2个中值点

1三个点，用二次Lagrange中值定理.本状况下的中值点必定是相异的.

2将两个参变量分别在等式的两边，与形式作对比,确

g©h\Tj)g(b)-g(a)

定g(x),〃(x),利用柯西中值定理即得.

例17设/(x)在&句连续，在(a,。)可导，证明：

变力式a,b)使得f迂)=詈f⑺.

例18设/(x)在口,勿连续，在(a/)可导，/(x)w0,证明

三小谢使得凭h.“

例19设/(x)在［0,1］连续，在(0,1)可导，且满意/(0)=0,/⑴=1,,证明

⑴存在央(O,1)"C)=1Y；

⑵存在不同的点4&仅。』),。'(幻尸4)=1・

题型五不等式的证明

情形一：不含中值点

方法1参数放在等式右边，左边为/(力二八/或F3)二的形式,

b-agS)-g(a)

干脆利用拉格朗日或柯西中值定理.

例20若0</7<a<工，证明：a<tana-tanp.

2cos2p

例21设e<a<Z?</,证明：In2/?-In2a>^(b-d).

方法2：协助函数法

1设置一个自变量,构造自变量的函数；

2对函数求导，通过探讨导数求最值，

(1)详细而言，要么求出广(x)=0的根设法证明其中一个根为最值点;

要么证明/(x)>0或/(x)<0,得到单调性.

⑵假如无法把，⑴探讨清晰，就通过探讨尸'(X)得到广⑶的性质.

3将最值和要证明的值做比较

例22若x>0,证明(x2—l)lnxN(x—l)2.

例23若x>—l,证明(l+x)"Nl+〃x。

例24证明：当0<%<军时，—>—

2xsinx

情形二：含中值点或者maxf")(x)

核心点：Lagrange中值定理和泰勒定理，在导数和高阶导数信息最多的点绽开.

例25若/(幻在侬,加上二阶可导，f\a)=f\b)=Q,证明：

至«〃力)使得I/'WI>4"(?二?加•

例26若f(x)在［0,1］上二阶连续可导，且f(O)=/(l)=O,min/(%)=-1,证明:

至«区。)使得maxf'\x)>8..

三积分及其应用

§1不定积分

一不定积分的基本概念

1定义：尸(x)=/(x)在区间/上成立，则称F(x)为/(X)在区间/的原函数./(X)

在区间/中的全体原函数称为J,(x)在区间/的不定积分，记为J/(@Zr=Mx)+C.

2充分条件：若/(x)连续则必有原函数.

注：sinRcosV,如，吧,-L,e*等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示.

xxInx

3不定积分的性质J/(x)必;=E(x)+C

(1)jF(x>ir=F(x)+C(2)=/(x)

(3)^kf^x)dx=k^(左wO)(4)士g(x)}ir=Jf[x}dx+^g[x}dx

二第一类类换元法

1公式：设jf(u)du=F(M)+C,又°(x)可导，则Jf\g)^x^'(x)dx=Jf\(p{x^fl(p{x}.

2常用的凑微分

(1)cbc=-d(ax+b)(2)sinxdx=-dcosx,cosxdx=Jsinx

a

(3)sec2xdx=dtanx,secxtanxdx=Jsecx(4)exdx=de\axdx=dax

Ina

(5)/dx-darcsinx,----彳cbc=darctanx

71^7i+f

1〃工一]i

(6)xadx^\^\',特殊的。=1,一上,一2要记处.

2

d\n\x\,a=-1

.1

1sin一

例求[二——-dx,[―^dx

练习：f——dx

J7777

注：fr■二公和f/1—2很有用要记住.

"+尤2JVa2-%2

二其次类类换元法

1公式：若夕⑺可导、单调且e")00则J/oa=力.

2常见代换模式

⑴yJa2—x2,令x=asinf,

22

⑵yla2+x2,令x=atanf,fw[-3，勺

22

⑶yjx2-a2，令x=asect,f6[055€弓,乃]

(4)f(x,yjax+b)或/(x,t回+与),令，=Nax+b或t=J""'

\ex+a\ex+d

3说明：其次类换元法并不局限于上面的代换模式，其他类型的困难

函数也可尝试此法.

1

例求Jdx.

xyJx2-1

三分部积分法

1公式：设“(X)，v(x)均有连续的导数，则J〃(xWv(x)=〃(x)v(x)—Jv(xM〃(x)。

2在选用分部积分法时，选取U的依次为三角、指、幕、有理、反对数、反三角.

例求J(arccosxydx.

四特殊函数的积分

1有理函数积分

(1)特型方法：除、拆.

(2)一般情形下，低次问题才会用特型方法，高次问题用第一类换元法.

1丫3〃-1

例求［------------dx和f----—dx

Jx~(x-l)(x-2)•"1+x

2三角函数的积分

/=tan—c12c

(1)万能公式法：J/(sinx,cosx)t/x=J/(—一

(2)一般情形下，式子比较简洁才会用万能公式,其他用凑微分.

例求j—码——

Jsinx+cosx

题型一求解不定积分

^.^arctanx

例1求/=J

Tdx

(l+f)2

arctanx

2Je

例求/=,2xdx.

例3计算不定积分

dx

例4设Jxf(x)dx=arcsinx+C,则J

/(x)

dx和.小了

例5求解JJ

X4-X8Jsinxcosx

题型二求分段函数的不定积分

1在各段先求出不定积分

2分界点的连续性（少数时候用到可导性），得到一系列方程并求解.

例6设|皿sin2xx,+xl<）0,x,>0,求〃x）的_原函数?⑸

§2不定积分

一定积分的基本概念

1定义:ff(x)dx=limS-

adfOi=\1

特殊的：£/(皿TimW》或。(%39加力打(?).

〃n—>00j=\，，，，ft〃f8/=]ri，，

2充分条件：函数在[a,句连续或函数在小句有界且仅有有限个间断点.

必要条件：函数有界

3定积分的重要性质

(1)[\Af{x)±Bg{x)]dx=f(x)dx±g(x)dx.

JaJaJa

(2)J*f(x)dx=-£f(x)dx,fftf(.x)dx=[f(x)dx+fAf(.x)dx.

JaJbJaJaJc

(3)若/(x)〈g(x),xe[a,b],则ff(x)dx<fg(x)dx.特殊的：

JaJa

又有/(x),g(x)连续，但两个函数不全相等，则\hf(x)dx<「g(x)公.

JaJa

(4)中值定理.设/(x)在上连续，则存在使得

j'f(x)dx=f(^b-a).

(5)定积分是一个数

题型一定积分的概念和基本性质

例1limsin—Vcos2-=_________.

〃->+°°nM几

例2设〃力为连续函数，且/(x)=x+2j；J(k〃，求/(x).

二微积分基本定理

1设/(x)在［a,可上连续，则

推广：=/［02(X)］。；(X)-(X)］/(X)o

注：我们只能计算被积函数为/⑺的变上限函数的导数，若为/(f,x)必需通过

提取X或变量代换将积分函数化成只和/有关的函数。

2(N—L)/⑺在［a㈤上可积，尸⑴为一原函数，则1)&如=从《=尸⑸一尸⑷.

3不定积分与定积分的转换

b叭b)

(1)Jf((p(x))(p\x)dx=Jf(u)duo

奴a)

(2)£f(x)dx=f［(p(t^p'(t)dt(x=0(。在［a,/7］单调，(p(a)=a,(p(0)=b)；

(3)fu{x}v'(x)dx=M(%)V(X］—［。

\aJ"

注：无论是哪一种换元在计算中肯定要变换积分限。

题型二关于变上限函数的求导

例3设/(x)在(F,”)连续且3(x)=，s'"(x"-s")ds,求①'(x).

例4设/(x)在(-oo,+oo)连续，又。(%)=；［；。-/)"«)山，求。(x),O"(x).

例5设。(x)=£(/詈7出妙，求。"(x).

三反常积分

1无穷区间上的广义积分

⑴定义：若极限存在，则称广义积分是

Jaft—>4<oJaJa

收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的.

⑵其他类型：ff[x}dx=limf/f{x}dx

J-ooiT-ooJa

J二Ax)dx=Lf(9+ff［x}dx=bm£Mdx+&ff(x)dx

+00-J收敛,P>1

(3)一个结论：［—dx=<

iI、发散，p<\

2无界区间上的广义积分(瑕积分)

⑴定义：设/(X)在[a㈤内连续，且limf(x)=00,则称6为f(x)的瑕点。定义

x—>b

lim若极限存在，则称广义积分工/(x"x收敛，且它的

值就是极限值，若极限不存