5.1.2导数的概念及其几何意义（教学设计）（人教A版2019选择性必修第二册）

.1.2导数的概念及其几何意义（教学设计）课时教学内容导数的概念及其几何意义.课时教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.（2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.教学重点、难点1.教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.2.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.教学过程设计环节一创设情境，引入课题前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到．这时，的变化量为，的变化量为．我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率．问题1：如果研究更一般的问题，对于函数在处的瞬时变化率如何表示？如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即．教师引言：其实函数在处的瞬时变化率就称为函数在处的导数，这就是导数的概念.【师生活动】教师提问，学生回答.教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程和研究方法.教师板书，如下：对于函数对于函数在处的瞬时变化率为：【设计意图】让学生深刻体会概念的建构过程.问题2：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在时的瞬时速度？如何用导数表示抛物线在点处的切线的斜率？它们的意义是什么？由导数的定义可知，问题1中运动员在时的瞬时速度，就是函数在处的导数；问题2中抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数．实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线这两类问题直接促使了导数的产生．环节二观察分析，感知概念例1设，求．解：．例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第时，原油的温度(单位：)为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．根据导数的定义，所以．同理可得．=1\*GB3①（请同学们自己完成具体运算过程．）在第6h时，，所以．在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与，说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升．一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．环节三抽象概括，形成概念例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：m/s)为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，．解析：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．根据导数的定义，所以．同理可得．在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为与．说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加，在第附近，汽车的速度每秒大约减少．练习（第66页）1．在例2中，计算第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．1．【解析】在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是和．根据导数的定义，第3h时，，所以．在第5h时，，所以．所以在第3h附近，原油温度大约以的速率下降；在5h附近，原油温度大约以的速度上升．2．设，求．2．【解析】．3．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，求质点在时的瞬时速度．3．【解析】质点在时的瞬时速度．故质点A在时的瞬时速度为．4．设函数．求：（1）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率；（2）函数在处的导数．【解析】（1）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为；（2）函数在处的导数．环节四辨析理解深化概念我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况．那么导数的几何意义是什么？思考：观察函数的图象（图5.1-3），平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？容易发现，平均变化率表示割线的斜率．如图5.1-4，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线（tangentline）．此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？利用信息技术工具，演示图5.1-4中的动态变化效果，做一做，看一看！与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，容易知道，割线的斜率．记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数．因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即，这就导数的几何意义．继续观察图5.1-4，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(图5.1-5)，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替．➊➊数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲．环节五概念应用，巩固内化例4图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，请描述，比较曲线在，，附近的变化情况．为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致．解：我们用曲线在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，．这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．例5图5.1-7是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象．根据图象，估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图5.1-7．画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率，所以．表5.1-3给出另外药物浓度的瞬时变化率的估计值．表5.1-30.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率0.40－0.7－1.4从求函数在处的导数的过程可以看出，当时，是一个唯一确定的数．这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（derivedfunction）（简称导数）．的导数有时也记作，即．环节六归纳总结,反思提升问题：请同学们从知识和方法两个方面谈谈本节课你的收获和感受吧！【师生活动】教师着重引导学生从“知识”和“方法”两个方面进行小结.让学生梳理本节课的知识收获：导数的概念、导数的几何意义、切线的定义.让学生感受应用的思想方法和研究方法：极限思想、以直代曲思想、数形结合思想、类比归纳方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充，教师板书，如下：1．知识清单：(1)导数的几何意义．(2)导函数的概念．(3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、数形结合．（1）“极限”思想（2）“以直代曲”思想（3）“数形结合”思想（4）类比3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．【设计意图】培养学生归纳总结的能力.让学生回味本节课生成的知识和应用的方法,积累数学知识和活动经验.感知导数的意义，为下一分讲用导数研究函数的性质奠定基础.环节七 目标检测，作业布置完成教材：第69页练习第1，2，3,4题练习（第69页）1．根据图，描述曲线在，附近增(减)以及增(减)快慢的情况．1．【解析】曲线在，附近都递增，且在附近比在附近增加得快．2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A． B．C． D． 2．【答案】A3．求曲线在点处的切线方程．3．【解析】由题意得，切线斜率，∴切线方程为，即．4．吹气球时，气球的半径(单位：)与体积(单位：L)之间的函数关系是．利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，与球的瞬时膨胀率．4．【解析】函数图象如下所示：，则，，习题5.1（第70页）1．一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m)为．求该物体在时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况．1．【解析】物体在时的瞬时速度为．物体在附近以的速度下降．2．圆的面积(单位：)与半径(单位：)的关系为．求时面积关于半径的瞬时变化率．2．【解析】，当时，面积关于半径的瞬时变化率为．3．某质点沿直线运动，位移(单位：)与时间(单位：)之间的关系为．求：（1）这段时间内的平均速度；（2）时的瞬时速度．3．【解析】（1）当时，；当时，；所以这段时间内的平均速度为．（2）时的瞬时速度．4．已知车轮旋转的角度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为．求车轮转动开始后第时的瞬时角速度．【解析】车轮转动开始后第时的瞬时角速度5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）5．【答案】C6．如图，试描述函数在附近的变化情况．【解析】由图可知：函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增；函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增；函数在处的斜率，即函数值在附近几乎没有变化；函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减．7．求曲线在点处的切线的倾斜角．7．【解析】由题意得，，所以曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为．8．一个质量为的物体做直线运动，设位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，并且物体的动能．求物体开始运动后第时的动能．8．【解析】该质点在秒的瞬时速度为，所以物体开始运动后第5s时的动能为．9．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．9．【解析】（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程关于时间的函数图象如下