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文档简介
2024届河北省承德市第一中学高三下学期第二次模拟考试(数学试题理)试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.2.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.3.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种5.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.46.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.7.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.8.已知向量,,若,则()A. B. C. D.9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.8410.若复数满足,复数的共轭复数是,则()A.1 B.0 C. D.11.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知均为非负实数,且,则的取值范围为______.14.已知变量x,y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,则15.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.16.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为40,则+的最小值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(),是的导数.(1)当时,令,为的导数.证明:在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求的取值范围.18.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.19.(12分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.20.(12分)已知等差数列满足,.(l)求等差数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.22.(10分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【题目点拨】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.2、C【解题分析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【题目详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.3、B【解题分析】
判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【题目详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【题目点拨】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.4、B【解题分析】
根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可.【题目详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种,故选:B.【题目点拨】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.5、C【解题分析】
设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,M三点共线时,即可得答案.【题目详解】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选:C.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.6、B【解题分析】
设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【题目详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.【题目点拨】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.7、A【解题分析】
依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【题目详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【题目点拨】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.8、A【解题分析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【题目详解】由题意得,,,,解得.故选A.【题目点拨】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.9、B【解题分析】
画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.【题目详解】该几何体的直观图如图所示:故.故选:.【题目点拨】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10、C【解题分析】
根据复数代数形式的运算法则求出,再根据共轭复数的概念求解即可.【题目详解】解:∵,∴,则,∴,故选:C.【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的运算法则,考查共轭复数的概念,属于基础题.11、C【解题分析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【题目详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.12、A【解题分析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【题目详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和,把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.【题目详解】因为,,令,则,因为,当且仅当时等号成立,所以,,即,令则函数的对称轴为,所以当时函数有最大值为,即.当且,即,或,时取等号;因为,当且仅当时等号成立,所以,令,则函数的对称轴为,所以当时,函数有最小值为,即,当,且时取等号,所以.故答案为:【题目点拨】本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.14、-5【解题分析】
画出x,y满足的可行域,当目标函数z=x-2y经过点A时,z最小,求解即可。【题目详解】画出x,y满足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,当目标函数z=x-2y经过点A【题目点拨】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。15、8(写为也得分)【解题分析】
由,得,.当时,,所以,所以的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列;其偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列.则,.16、【解题分析】不等式表示的平面区域阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而当且仅当时取等号,则的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解题分析】
(1)设,,注意到在上单增,再利用零点存在性定理即可解决;(2)函数在上单调递减,则在恒成立,即在上恒成立,构造函数,求导讨论的最值即可.【题目详解】(1)由已知,,所以,设,,当时,单调递增,而,,且在上图象连续不断.所以在上有唯一零点,当时,;当时,;∴在单调递减,在单调递增,故在区间上存在唯一的极小值点,即在区间上存在唯一的极小值点;(2)设,,,∴在单调递增,,即,从而,因为函数在上单调递减,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上单调递减,,当时,,则在上单调递减,,符合题意.当时,在上单调递减,所以一定存在,当时,,在上单调递增,与题意不符,舍去.综上,的取值范围是【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题,在处理恒成立问题时,通常是构造函数,转化成函数的最值来处理,本题是一道较难的题.18、(1)见证明;(2)【解题分析】
(1)取PD中点G,可证EFGA是平行四边形,从而,得证线面平行;(2)取AD中点O,连结PO,可得面,连交于,可证是二面角的平面角,再在中求解即得.【题目详解】(1)证明:取PD中点G,连结为的中位线,且,又且,且,∴EFGA是平行四边形,则,又面,面,面;(2)解:取AD中点O,连结PO,∵面面,为正三角形,面,且,连交于,可得,,则,即.连,又,可得平面,则,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值为.【题目点拨】本题考查线面平行证明,考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角,然后证明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中计算.19、≤x≤【解题分析】由题知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)·(a-b)≥0时取等号,∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.20、(1);(2).【解题分析】试题分析:(1)设等差数列满的首项为,公差为,代入两等式可解。(2)由(1),代入得,所以通过裂项求和可求得。试题解析:(1)设等差数列的公差为,则由题意可得,解得.所以.(2)因为,所以.所以.21、(1)(2)【解题分析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【题目详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.22、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表见解析;(2)理由见解析【解题分析】
(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,家长的排序有种等可能结果,利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,由此能求出他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率.
(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,由此能求出X的分布列.
(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,在一轮游
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