专题23 三角函数的定义及诱导公式（3知识点3题型3考法）（解析版）

专题23：三角函数的定义及诱导公式（3知识点+3题型+3考法）三角函数的定义及诱导公式常考题型三角函数的定义及诱导公式常考题型诱导公式三角函数值在各象限的符号三角函数的定义题型一：利用三角函数的定义求三角函数值题型二：三角函数值的符号判定题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值考法二：给值(或式)求值考法三：利用诱导公式证明恒等式知识点一：三角函数的定义（1）任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα＝y；②点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα＝x；③点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．知识点二：三角函数值在各象限的符号（1）设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).知识点三：诱导公式公式终边关系图示公式公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α与角α的终边关于x轴对称sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α与角α的终边关于eq\a\vs4\al(y)轴对称sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“偶”当k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶数时（－π±α，π±α，±α），三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定；②“奇”当k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇数时（，±eq\f(π,2)±α），三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；题型一：利用三角函数的定义求三角函数值解题思路：设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．例1．已知是角的终边上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知:，所以.故选：A.例2．如果角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得.【详解】由题可得，因为所以.故选：D例3．已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值.【详解】因为点是角终边上一点，且，由三角函数的定义可得，则，解得.故选：B.变式训练4．若角的终边经过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数定义可得.【详解】因为角的终边经过点，则，所以，所以.故选：A5．已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.【详解】设直线上任意一点P的坐标为（），则（O为坐标原点），根据正弦函数的定义得：，时，；时，，所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D.6．已知角的终边经过点，且，则．【答案】【分析】由题意结合三角函数的定义求出点坐标，再求出即可求解【详解】因为角的终边经过点，且，所以，解得或，因为点的纵坐标为，且，所以角的终边落在第三象限，所以，即，所以，所以.故答案为：7．已知角的终边经过点，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据三角函数的概念求解，即可得的值.【详解】已知角的终边经过点所以，则当时，，此时；当时，，此时；所以的值可能为或.故选：CD.题型二：三角函数值的符号判定解题思路：设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).要考查两类题：第一类通过角所在象限确定三角函数的符号；第二类：通过三角函数的符号来确定角所在象限。例1．已知，，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角的终边位于第四象限.故选：D.例2．“”是“为第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为时，则，所以为第一或第三象限角，反之，当为第一或第三象限角时，，所以，综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C例3．若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，得到的终边在第一象限或第三象限讨论求解.【详解】解：由知的终边在第一象限或第三象限，当的终边在第一象限时，，，，，符号不确定；当的终边在第三象限时，，，，，符号不确定；故选：C变式训练4．已知，，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据所给条件得到、，，即可判断.【详解】因为，即，又，所以，即，所以，所以角的终边在第三象限.故选：C5．已知为第二象限角，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.【详解】因为为第二象限角，所以，，，则，，，而的取值不确定.故选：C.6．若，则可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【分析】对角的终边的位置进行分类讨论，求出的值，即可得出结论.【详解】当是第一象限角时，，故一定不是第一象限角；当是第二象限角时，，即可以是第二象限角；当是第三象限角时，，即可以是第三象限角；当是第四象限角时，，即可以是第四象限角．故选：BCD.题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】.故选：B例2．化简（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】直接利用诱导公式化简得解.【详解】.故选：D.例3．化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】利用诱导公式，化简求值.【详解】（1）原式．（2）原式．变式训练4．已知．(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得；（2）根据角的范围将代入计算即可得.【详解】（1）即（2）由，可得．因为为第三象限角，因此，故.5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的终边经过点，求出角的余弦值，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：A6．已知角的终边经过点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数定义得到，再利用诱导公式求出答案.【详解】因为角的终边经过点，所以，.故选：A7．已知.(1)化简；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式和化弦为切化简函数；（2）利用同角三角函数的平方关系列式计算即可.【详解】（1）；（2）因为，所以，则，所以，解得，所以.考法二：给值(或式)求值解题思路：（1）设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1．已知，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解.【详解】因为，且，，所以.故选：B.例2．已知为第二象限角，若则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.【详解】由，则，由为第二象限角，则，所以.故选：A.例3．已知，且，化简并求的值.【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】解：因为，且，则，所以，，故.变式训练4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得，，故选：C.5．（多选题）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，，所以D错误．故选：ABC.6．已知，则下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解.【详解】由，所以A正确；由，所以B不正确；由，所以C正确；由，所以D不正确.故选：AC.7．若、是关于的方程的两个根，则.【答案】/【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】由题意得，，则或，又，即，解得或（舍去），则，所以.故答案为：.8．已知是第三象限角，，则.【答案】【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为是第三象限角，，所以，所以，故答案为：.考法三：利用诱导公式证明恒等式解题思路：利用诱导公式化简和证明恒等式例1．求证：当或3时，.【答案】证明见解析【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.【详解】当时，左边=；当时，左边=；综上，或有原等式恒成立.例2．（1）求证：；（2）设，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【详解】（1）左边=

=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=

===右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边====右边，等式成立.变式训练3．求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.【详解】左边==–tanα=右边，∴等式成立．4．若，求证：.【答案】证明见解析【解析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；【详解】证明：若为偶数，则左边；若为奇数，则左边；左边=右边，所以原式成立.【点睛】本题考查利用诱导公式化简证明，注意对的奇偶的讨论，是中档题.一、单选题1．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得，故选：B.2．在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】B【分析】由诱导公式结合对选项一一化简即可得出答案.【详解】①因为在中，，所以；②因为在中，，；③；④.故选：B.3．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得.【详解】由角的终边经过点，得该点到原点距离，，所以.故选：C4．已知角的终边过点，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.【详解】由角的终边过点，得，，所以.故选：A5．已知，则函数的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】分若为第一、二、三、四象限角，求出的值.【详解】若为第一象限角，则，故，若为第二象限角，则，故，若为第三象限角，则，故，B正确；若为第四象限角，则，故.故选：B6．若角满足，，则是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角【答案】D【分析】首先根据三角函数值的正负，确定角所在的象限，即可求解所在的象限.【详解】，，所以是第三象限角，则，，，，则角是第二或者第四象限角.故选：D7．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式以及三角函数定义即可得解.【详解】由诱导公式可得，，且注意到，，所以；又为角的终边上一点，结合三角函数定义知角的最小正值为.故选：B.二、多选题8．若，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】BC【分析】利用三角函数的定义即可解答．【详解】因为，则或，若，，此时的终边位于第三象限，若，，此时的终边位于第二象限，综上可得的终边位于第二象限或第三