高等数学课件

矩陣2.1

矩陣的運算

2.2

可逆矩陣矩陣乘積的行列式2.3

矩陣的分塊

宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁，無處不用數學。

——

華羅庚2.1矩陣的運算一、內容分佈2.1.1認識矩陣2.1.2矩陣的運算2.1.3矩陣的運算性質2.1.4方陣的多項式2.1.5矩陣的轉置

二、教學目的

掌握矩陣的加法、乘法以及數與矩陣的乘法運算法則及其基本性質，並能熟練地對矩陣進行運算。掌握轉置矩陣及其運算性質。 掌握方陣的冪、方陣的多項式。三、重點、難點

矩陣的乘法運算法則及其基本性質，轉置矩陣及其運算性質。

2.1.1認識矩陣稱為F上

矩陣,簡寫:

矩陣的產生有豐富的背景:線形方程組的係數矩陣…..,矩陣的應用非常廣泛.

設F是數域,用F的元素排成的m行n列的數表

2.1.2矩陣的運算定義1

(矩陣的數乘)給定數域F中的一個數k與矩陣A的乘積定義為

定義2（矩陣的加法）給定兩個

矩陣

A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個

矩陣和一個

矩陣A和B的乘法定義為注意:相加的兩個矩陣必須同型,結果也同型;相乘的兩個矩陣必須:第一個的列數等於第二個的行數,試問:結果的形狀?2.1.3矩陣的運算性質

矩陣和定義在矩陣上的運算滿足如下運算規律（其中A，B，C均為F上的矩陣，k，l為數域F中的數）(1)加法交換律

(2)加法結合律

(3)零矩陣

(4)負矩陣

(5)數乘結合律

(6)數乘分配律

(7)乘法結合律

(8)乘法分配律

注意:

矩陣的乘法不滿足交換律,

消去律:也不滿足.滿足:

的兩個矩陣稱為可交換的.

2.1.4方陣的多項式單位矩陣:主對角線上全是1,其餘元素全是0的方陣稱為單位矩陣,記為

或單位矩陣也可以記為

.它有如下性質:

方陣A的方冪:

規定:

設多項式

那麼,在多項式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩陣等式.2.1.5矩陣的轉置

設把矩陣的行與列互換之後，得到的矩陣稱為矩陣

的轉置矩陣,

記為

或轉置有下麵的性質:(9)(10)(11)2.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內容分佈

2．2．1可逆矩陣的定義

2．2．2可逆矩陣的性質

2．2．3初等矩陣的定義、性質

2．2．4矩陣可逆的判別

2．2．5逆矩陣的求法

2．2．6矩陣乘積的行列式二、教學目的

1掌握逆矩陣的概念及矩陣可逆的判別

2掌握求逆矩陣的方法,尤其是能熟練利用矩陣的行初等變

換求逆矩陣。

3瞭解初等矩陣與初等變換的關係三、重點、難點

逆矩陣的求法矩陣可逆的判別2.2.1可逆矩陣的定義定義1A為F上n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=I稱A為可逆矩陣（非奇異矩陣），B稱為A的逆矩陣.例：A與B互為逆矩陣.注1有零行或零列的矩陣不可逆.

2.2.2可逆矩陣的性質①A可逆，則A的逆矩陣唯一。證設B,C均為A的逆矩陣，則

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

證注意到即得.證注意到

即得.④A可逆，則②A可逆，則可逆，且

由

有.證③A，B可逆，則AB也可逆，且.2.2.3初等矩陣的定義、性質定義2

由單位矩陣經過一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣.n=4定理1

對A作初等行變換相當於用同類型的初等矩陣左乘A;對A作初等列變換相當於用同類型的初等矩陣右乘A。如1、交換A的i

，j行相當於用.如2、把A的第i行乘以數k相當於用.3、把A的第j

行乘以k後加到第i行相當於用.即.定理2

初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且引理1

，則.（初等變換不改變可逆性）.定理3

任一m×n矩陣A總可以通過初等變換化為證由定理2.1.2，A可通過行及列變換化為對（*）作第三種列變換即可化為2.2.4矩陣可逆的判別n階矩陣A可逆證明：①A可逆,則可逆，無零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.②A→I，即I→A

即存在初等矩陣使注A可逆,則A可經初等行變換化為I.③由①A→I，④2.2.5逆矩陣的求法①行初等變換法

A可逆，由，即存在初等矩陣，使即例1解：②公式法設令稱

則由行列式的依行依列展開公式，有即若A可逆，則|A|≠0，從而即

例2：

故例3：求矩陣的逆矩陣.解法一利用公式因為計算每個元素的代數餘子式所以,解法二行初等變換法.所以例4

解矩陣方程其中解顯然A是可逆的.先求出再在原方程兩邊左乘得所以注：當n>3時，求的計算量較大，因此公式（*）常用於理論的證明.2.2.6矩陣乘積的行列式引理2.2.6：n階矩陣A總可以通過第三種行和列的初等變換化為對角矩陣①若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元素不為零.②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有的形式，同理，可以把化為繼續作第三種初等變換，則可將A化為對角形矩陣，且定理：設A，B為n階矩陣，則

|AB|=|A||B|證①若A為對角矩陣②對一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三種變換化為對角矩陣，即存在初等矩陣使從而推廣

相當於對作第三種行初等變換.故定理

A，B為m×n及n×p階矩陣，則秩（AB）≤秩A，秩（AB）≤秩B.特別當A可逆時，秩（AB）=秩B.推論：

例5

A可逆，則存在n階可逆矩陣P，Q，使

PAQ=I證：A可逆，則一、內容分佈

2.3.1分塊矩陣的概念

2.3.2分塊矩陣的運算

2.3.3特殊的分塊矩陣二、教學目的

1掌握分塊矩陣的概念及分塊矩陣的運算2掌握分塊准對角,分塊三角陣,分塊次對角等特殊的分塊矩陣及相關公式三、重點、難點

利用矩陣的分塊作乘法運算及如何利用分塊矩陣解題

2.3分塊矩陣

在行列式中任意取定了行.由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數餘子式的乘積的和等於行列式.復習:拉普拉斯(Laplace)定理一、分塊矩陣的概念定義

將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣),以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。1.線性運算

（加法與數乘）二.分塊矩陣的運算2.乘法運算符合乘法的要求例1

設為了求乘積AB，我們可以對A，B如下地分塊這裏I是二階單位矩陣，O是二階零矩陣.按照分塊矩陣的乘法，我們有這裏3.轉置運算1.准對角陣則三.特殊的分塊陣求A的行列式及逆。解

將矩陣分塊例22.分塊三角陣證明:解：將矩陣分塊例3解：將矩陣分塊例33.分塊次對角陣小結:一.分塊矩陣的概念將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣),以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。注意：分塊矩陣是以子塊為元素形成的矩陣，且子塊也是矩陣。作用：①簡化高階矩陣運算②簡化運算的表達形式二.分塊矩陣的運算:1.線性運算2.乘法運算將矩陣的子塊視為元素時，矩陣應符合運算的要求相應的子塊間也應符合運算的要求3.轉置運算.注意：大塊小塊一起轉三.特殊的分塊矩陣准對角,分塊三角陣分塊次對角一些重要公式

線性方程組3.1消元法3.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法3.3線性方程組的公式解3.4結式和判別式偉大的數學家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應用視為同等重要而緊密相關。——克萊因（KleinF，1849－1925）3.1消元法1.內容分佈

3.1.1線性方程組的初等變換

3.1.2矩陣的初等變換階梯形矩陣

3.1.3線性方程組有解的判別2.教學目的:會用消元法解線性方程組3.重點難點:線性方程組的消元解法

前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個數的方程和未知量，並且方程組的係數行列式不等於零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：在實際的解線性方程組時，比較方便的方法是消元法.

（1）例1

解線性方程組：從第一和第三個方程分別減去第二個方程的1/2倍和2倍，來消去這兩個方程中的未知量（2）得到：為了計算的方便，把第一個方程乘以-2後，與第二個方程交換，得：把第二個方程的2倍加到第三個方程，消去後一方程中的未知量

，得到現在很容易求出方程組（2）的解.從第一個方程減去第三個方程的3倍，再從第二個方程減去第三個方程，得再從第一個方程減去第二個方程的5/3倍，得：這樣我們就求出方程組的解.①交換兩個方程的位置；②用一個不等於零的數某一個方程；③用一個數乘某一個方程後加到另一個方程.3.1.1線性方程組的初等變換線性方程的初等變換：對方程組施行下麵三種變換：這三種變換叫作線性方程組的初等變換.定理3.1.1

初等變換把一個線性方程組變為一個與它同解的線性方程組線性方程組的（1）的係數可以排成下麵的一個表：而利用（1）的係數和常數項又可以排成下表：（3）（4）

3.1.2矩陣的初等變換定義1

由st個數排成一個s行t列的表

叫做一個s行t列（或s×t）的矩陣，

叫做這個矩陣的元素.

注意：矩陣和行列式在形式上有些類似，但有完全不同的意義，一個行列式是一些數的代數和，而一個矩陣僅僅是一個表.

矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數矩陣和增廣矩陣.一個線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個方程組.

定義2

矩陣的行（列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換：3)用某一數乘矩陣的某一行（列）後加到另一行（列），即用某一數乘矩陣的某一行（列）的每一個元素後加到另一行（列）的對應元素上.1)交換矩陣的兩行（列）2)用一個不等於零的數乘矩陣的某一行（列），即用一個不等於零的數乘矩陣的某一行（列）的每一個元素；顯然，對一個線性方程組施行一個初等變換，相當於對它的增廣矩陣施行一個對應的行初等變換，而化簡線性方程組相當於用行初等變換化簡它的增廣矩陣.因此我們將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題.下我們給出一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次把未知量寫出.

在對於一個線性方程組施行初等變換時，我們的目的是消去未知量，也就是說，把方程組的左端化簡.因此我們先來研究，利用三種行初等變換來化簡一個線性方程組的係數矩陣的問題.在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換.後一種初等變換相當於交換方程組中未知量的位置，這不影響對方程組的研究.在例1中，我們曾把方程組（2）的係數矩陣

先化為

然後，進一步化為

定理3.1.2

設A是一個m行n列的矩陣：通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5)這裏*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.證若是矩陣A的元素都等於零，那麼A已有（5）的形式進而化為以下形式，

（6）

乘第一行，然後由其餘各行分別減去第一行的適當倍數，矩陣A化為設某一不等於零，必要時交換矩陣的行和列，可以使這個元素位在矩陣的左上角.若B中，除第一行外，其餘各行的元素都是零，

那麼B已有（5）的形式.設B的後m

–1行中有一個元素b

不為零，把b

換到第二行第二列的交點位置，然後用上面同樣的方法，可把B化為如此繼續下去，最後可以得出一個形如（5）的矩陣.

形如（5）的矩陣可以進一步化為形如（6）的矩陣是

顯然的.只要把由第一，第二，…，第r

–1行分別減去第r行的適當倍數，再由第一，第二，…，第r–2行分別減去第r

–1行的適當倍數，等等.3.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4）.由定理4.1.2，我們可以對（1）的係數矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）.對增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那麼（4）化為以下形式的矩陣：(7)與（7）相當的線性方程組是（8）

由於方程組（8）可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解.因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）.但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出.

這裏是1，2，…，n的一個全排列.情形1，

這時方程組（8）無解，因為它的後m–r個方程中至少有一個無解.因此方程組（1）也無解.

不全為零，情形2，當r=n時，方程組（9）有唯一解，就是這也是方程組（1）的唯一解.全為零，這時方程組（8）方程組

同解.

(9)當r<n時，方程組（9）可以改寫成

(10)於是，給予未知量以任意一組數值，就得到（9）的一個解：這也是（1）的一個解.由於可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無窮多解.另一方面，由於（9）的任一解都必須滿足（10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出.我們把未知量叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的一般解.

例2

解線性方程組這樣，線性方程組（1）有沒有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（7）看出.因此，我們完全可以就方程組（9）的增廣矩陣來解這個方程組.

施行行初等變換，並且注意，我們是要把其中所含的係數矩陣先化為（5），再化為（6）的形式.由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，然後把第三行換到第一行的位置，得

解：對增廣矩陣由第二行減去第三行的2倍，得

雖然我們還沒有把增廣矩陣化成（5）的形式，但已可看出，相當於最後矩陣的線性方程組中的一個方程是

0=5所以原方程無解.例3

解線性方程組

解：這裏的增廣矩陣是繼續施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個矩陣本質上已有（5）的形式，這一點只要交換矩陣的第二和第三兩列就可以看出.進一步由第一行減去第二行的三倍，得出相當於（6）型的矩陣把第一行的適當倍數加到其他各行，得對應的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數，得原方程組的一般解：3.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內容分佈3.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩

陣的秩3.2.2線性方程組可解的判別法2.教學目的:1)理解矩陣秩的定義2)會用初等變換求矩陣的秩3)會用消元法解線性方程組3.重點難點:矩陣秩的定義線性方程組的可解的判別法3.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的秩

在上一節課講述了用消元法來解線性方程組：(1)這個方法在實際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個問題沒解決。簡化為以下形式一個矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的係數矩陣（2）（3）並且看到，在矩陣（3）中出現的整數r在討論中佔有重要的地位.但是我們對這個整數還沒有什麼瞭解.r和係數矩陣（2）究竟有什麼關係？它是由係數矩陣（2）所唯一決定的，還是依賴於所用的初等變換？因為我們可以用不同的初等變換，把係數矩陣（2）化為形如（3）的矩陣.（乙）方程組（1）有解時，它的係數應該滿足什麼條件？（丙）我們沒有得出，用方程組的係數和常數項來表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義.矩陣的秩利用一個矩陣的元素可以構成一系列的行列式..位於這些行列交點處的元素（不改變元素相對的位置）所構成的k

階行列式叫作這個矩陣的一個k階子式.我們看一看，在矩陣（3）中出現的整數r和這個矩陣的子式之間有些什麼關係.假定r>0.這時，矩陣（3）含有一個r階的子式：定義1

在一個s行t列的矩陣中，任取k行k列定義2

一個矩陣中不等於零的子式的最大階數叫做這個矩陣的秩.若一個矩陣沒有不等於零的子式，就認為這個矩陣的秩是零.

按照定義，一個矩陣的秩的不能超過這個矩陣的行的個數，也不能超過它的列的個數.一個矩陣A的秩用秩A來表示.

顯然，只有當一個矩陣的元素都為零是，這個矩陣的秩才能是零.這個子式不等於零.但矩陣（3）不含階數高於r的不等於零的子式.這是因為；在r=m或r=n時，矩陣（3）根本不含階數高於r的子式；而當r<m，r<n時，矩陣（3）的任何一個階數高於r的了式都至少含有一個元素全為零的行，因而必然等於零.這樣，r等於矩陣（3）中的不等於零的子式的最大階數.

證明我們先說明以下事實：若是對一個矩陣A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣B，那麼對B施行同一種初等變換又可以得到A.事實上，若是交換A的第i行與第j行而得到B，那麼交換B的第i行與第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等於零的數a而得到B，那麼將B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以數k加到第i行得到B，那麼B的第j行乘以–k加到第i行就得到A.列的初等變換的情形顯然完全一樣.現在我們就用第三種行初等變換來證明定理.定理3.2.1

初等變換不改變矩陣的秩.

並且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，B的秩不超過r.設矩陣B有s階子式D，而s>r.那麼有三種可能的情形:D不含第i行的元素，這時D也是矩陣A的一個s階子式，而s大於A的秩r

，因此D=0.

設把一矩陣的第j行乘以k加到第i行而得到矩陣B：因為後一行列式是矩陣A的一個s階子式.

②D含第i行的元素，也含第j行的元素.這時，由命題3.3.10這裏由於是矩陣A的一個s階的子式，而

與A的一個s階子式最多差一個符號，所以這兩個行列式都等於零，從而D=0.

D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時但我們也可以對矩陣B施行第三種行初等變換而得到矩陣A.因此，也有因此，在矩陣B有階數大於r的子式的情形，B的任何這樣的子式都等於零，而B的秩也不超過r.這樣，在任何情形，都有這樣，我們也就證明了，秩A=秩B

，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩.對於其他的初等變換來說，我們可以完全類似地證明定理成立.這樣，我們就解決了前面的第一個問題（甲）.定理3.2.1給了一種方法，不必計算一個矩陣A的子式就能求出A的秩來.我們只需利用初等變換把A化成4.1中（5）型的矩陣，然後數一數，在化得的矩陣有幾個含有非零的元素的行.這樣，問題（乙）也就容易解決.3.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣：證定理3.2.2

（線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的係數矩陣與增廣矩陣有相同的秩.那麼的前n

列作成的矩陣A就是（1）的係數矩陣.利用定理3.1.2所指出的那種初等變換把化為並且用B表示的前n列作成的矩陣.那麼由定理3.2.1得：（4）

故定理得證.

現在設線性方程組（1）有解.那麼或者r=m，或者r<m

，而，這兩種情形都有秩.於是由（4）得，.反過來，設，那麼由（4）得，的秩也是r

，由此得，或者r=m

，或者r<m

而，因而方程組（1）有解.

定理3.2.3

設線性方程組的係數矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那麼當r

等於方程組所含的未知量的個數n時，方程組有唯一解；當r<n

時，方程組有無窮多解.1.內容分佈

3.3.1線性方程組的公式解

3.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念

3.3.3齊次線性方程組有非零解的條件2.教學目的1)會用公式解法解線性方程組2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件3.重點難點齊次線性方程組有非零解的充要條件3.3線性方程組的公式解3.3.1線性方程組的公式解例1

考察線性方程組

(1)(2)考慮線性方程組我們把這三個方程依次用來表示，

那麼在這三個方程間有以下關係：這就是說，第三個方程是前兩個方程的結果。因此由中學代數知道，第三個方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個方程所組成的方程組同解。來表示。若是在這m個方程中，某一個方程t個方程,使關係式同樣，把方程組（1）的m個方程依次用是其他的結果，也就是說，若是存在t個數成立,那麼我們可以在方程組（1）中舍去方程而把方程組（1）化簡。

定理3.3.1

設方程組（1）有解，它的係數矩陣A和增廣矩陣的共同秩是，那麼可以在（1）的m個方程中選出r個方程，使得剩下的m–r個方程中的每一個都是這r個方程的結果，因而解方程組（1）可以歸結為解由這r個方程所組成的線性方程組。

證由於方程組（1）的係數矩陣A的秩是r，所以A至少含有一個r階子式。為了敘述方便，

不妨假定D位在A的左上角，因而也位在增廣矩陣:的左上角：

現在我們證明，方程組（1）的後m-r個方程中的每一個都是（1）的前r個方程

(3)的結果.看（1）的後m-r個方程中的任一個，例如第個方程

我們需要證明，存在r個數，使得亦即使(4)為此我們先把看作是未知量，而來證明線性方程組（4）有解,方程組（4）的增廣矩陣是而的前r列作成（4）的係數矩陣B，我們要計算矩陣B和的秩。注意，的列剛好是方程組（1）的增廣矩陣的某些行。這樣，矩陣的左上角的

r階子式剛好是子式D的轉置行列式，因而不等於零：由於也是矩陣B的子式，所以矩陣B和的秩都至少是r，另一方面，矩陣的任一個r+1階子式都是的某一個r+1階子式的轉置行列式。由於的秩是r，所以的所有r+1階子式都等於零，由此得

必然等於零。但沒有階數高於r+1的子式，所以B和的秩都是r，而方程組（4）有解。這樣我們就證明了，方程組（1）的後m-r個方程都是（1）的前r個方程的結果，而解方程組（1）歸結為解方程組（3）。

假定方程組（1）滿足定理3.3.1的條件，於是由定理3.3.1，解方程組（1），只需解方程組（3）。我們分別看的情形。方程組（1）的公式解：

若是，那麼(3)就是方程個數等於未知量個數的一個線性方程組，並且它的係數行列式,所以(3)有唯一解，這個解可由克拉默規則給出，這個解也是方程組(1)的唯一解。

現在設,這時方程組(3)的前r個未知量的係數所構成的行列式，在方程組（3）中把含未知量的項移到右邊，方程組（3）可以寫成：(3’)暫時假定是數，那麼（3’）變成r個未知量的r個方程。用克拉默規則解出得(5)這裏

把（5）中的行列式展開，（5）可以寫成(6)這裏都是可以由方程組（1）的係數和常數項表示的數。現仍舊把（6）中看成未知量，那麼（6）是一個線性方程組，從以上的討論容易看出，方程組（6）與方程組（3’）同解，因而和方程組（1）同解。正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組（6）給出方程組（1）的一般解，而是自由未知量，要求方程組（1）的一個解，只需給予自由未知量任意一組數值，然後由（6）算出未知量的對應值，並且（1）的所有解都可以這樣得到。

由於（6）的係數和常數項都可以由方程組（1）的係數和常數項表出，所以（6）或它的前身（5）都給出求方程組（1）的解的公式。

例2

已知線性方程組的係數矩陣和增廣矩陣的秩都是2，並且行列式(7)求解這個方程組的公式，並求出一個解。由定理3.3.1，解方程組（7）只需解前兩個方程，把作為自由未知量，移到右邊，得用克拉默規則解出得即：令，我們就得到方程組的一個解：用公式來求數字線性方程組的解是比較麻煩的，因為需要計算許多行列式。因此在實際求線性方程組的解的時候，一般總是用消元法。但是在數學問題中遇到線性方程組時，常常不需要真正求出它們的解，而是需要對它們進行討論，在這種情況下，我們有時要用到（5）式或（6）式。3.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個線性方程組的常數項都等於零，那麼這個方程組叫做一個齊次線性方程組.我們來看一個齊次線性方程組(8)

這個方程組永遠有解：顯然就是方程組（8）的一個解，這個解叫做零解。如果方程組（8）還有其他解，那麼這些解就叫作非零解。齊次線性方程組永遠有解.3.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理3.3.2

一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的係數矩陣的秩r小於它的未知量的個數n。證當時，方程組只有唯一解，它只能是零解。當時，方程組有無窮多解，因而它除零解

外，必然還有非零解。

推論3.3.3

含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的係數行列式等於零。

因為在這一種情況，方程組係數行列式等於零就是說，方程組的係數矩陣的秩小於n.

推論3.3.4

若在一個齊次線性方程組中，方程的個數m小於未知量的個數n，那麼這個方程組一定有解。因為在這一情況，方程組的係數矩陣的秩r不能超過m，因而一定小於n.

1.內容分佈

3.4.1結式與多項式的公根

3.4.2多項式的判別式2.教學目的:

瞭解多項式有公根的判別瞭解多項式的判別式的定義3.重點難點:

多項式有公根的判別3.4結式和判別式3.4.1結式與多項式的公根

假設在C內有公根依次用乘第一個等式,用乘第二個等式,我們得到以下個等式:這就表明,是一個含有個未知量,個方程的齊次線性方程組的非零解,因此係數行列式:必須等於零.

行列式D叫做多項式的結式,並且用符號

來表示.

結式不但有公根時等於零,而且當時顯然也等於零.於是就得到

定理3.4.1

如果多項式

定理3.4.2

設

(i)如果而的全部根,那麼(1)有公根,或者,那麼它們的結式等於零.

是複數域C上多項式.是它們的結式.(ii)如果,而的全部根,那麼(2)證我們對m作數學歸納法來證明公式(1)。先看m=1的情形，這時的根是。而把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，…，最後，把新的第n列乘以加到第n+1列上，這時行列式中元素都被消去，而最後一行的元素依次等於因此假設當時公式（1）成立。我們看的情形，這時令的全部根。那麼

這裏是一個k次多項式，它的根是比較的係數，我們有

因此把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，……，最後,把第n+k列乘以加到第n+k+1列上，並且注到我們得到把這個行列式依最後一列展開，我們有

再依次把第n+2行乘以加到第n+1行，把第n+3行乘以加到第n+2行，……最後，把第n+k+1行乘以

加到第n+k行，於是這裏是位於最後的行列式左上角的n+k階行列式，它恰是多項式的結式，因此由歸納法的假設，於是公式（1）被證明。

容易看出，通過適當對調行列式D的行，可以得到（3）

因此，如果而是的全部根，那麼由（1）可得（2）。定理3.4.3

如果多項式的結式等於零，那麼或者它們的最高次項係數都等於零，或者這兩個多項式有公根。證設，如果，那麼由（1），一定有某一，從而是的一個公根，如果那麼由（2）也可以推出有公根。

例1

多項式的結式是如果。以乘第一行加到第三行，然後按第一列展開，得如果，同樣的計算也可以得到上面的等式。當

時，上面的展開式的右端等於零，不論在任何情形，上面的展開式都成立。例如，沒有公根，因為這時。

如果，那麼

，从而有公根。实际上，5是這兩個多項式的公根。

現在利用結式來討論兩個二元多項式的公共零點問題。

設是兩個複係數二元多項式，我們按x的降冪寫出這兩個多項式：把分別看成f中和g中的係數，然後求出f

和g的結式，記作

，是y的一個多項式：如果多項式有公共零點，那麼以代替中的文字y，所得到的一元多項式有公根，由定理4.4.1，它們的結式，這就是說，是多項式的一個根。反過來，如果結式有根，那麼以

代替多項式中的文字y，我們得到x的多項式的結式，因而由定理4.4.3，或者或者有公根。這樣，求兩個未知量兩個方程的公共解可以歸結為求一個未知量的一個方程的根，也就是說，可以用從兩個方程中消去一個未知量，所以這個過程通常叫做未知量的消去法。例2

求方程組（4）

的解。我們要消去未知量x，先把多項式f與g寫成以下形式：解：求出f與g的結式這個結式有根。以代替中的文字y，所得的關於x的多項式的最高次項係數都不等於零，所以對於每一，都可以得出方程組（4）的解。實際上，以代替y，我們得到這兩個多項式有公根，所以是方程組（4）的一個解，另一方面，以代替y，所得的多項式有公根，所以也是方程組（4）的一個解，因此，方程組（4）有兩個解：;；3.4.2多項式的判別式

最後，我們介紹一下多項式的判別式的概念，並且指出判別式與結式之間的關係。設

……………

是複數域C上一個n（n>1）次多項式，

令的全部根（重根按重數計算）。乘積叫做多項式的判別式（這裏Π表示求積的符號）。由判別式的定義很容易看出，多項式有重根的充分且必要條件是它的判別式等於零。

由定理2.5.2容易推出，多項式有重根必要且只要與它的導數有公根，因為，所以由定理3.4.1和3.4.3，有重根必要且只要與的結式，由此可見，的判別式與結式

之間有密切的關係，下麵我們將導出這個關係，根據定理4.4.2，公式（1），我們有在C[x]裏，求導數，我們有所以這樣，

………………

在這個乘積裏，對於任意i和j（i>j）都出現兩個因式：

和，它們的乘積等於，由於滿足條件的指標i和j一共有對，所以D是多項式的判別式

從表示的行列式的第一列顯然可以提出因數，因此多項式的判別式D可以表成由係數

所組成的一個行列式，因而是的多項式。於是

所以判別式是

例3

求二次多項式的判別式。先求出

解:

多項式

4.1一元多項式的定義和運算4.2多項式的整除性4.3多項式的最大公因式4.4多項式的分解4.5重因式4.6多項式函數多項式的根4.7複數和實數域上多項式4.8有理數域上多項式4.9多元多項式4.10對稱多項式代數是搞清楚世界上數量關係的工具。――懷特黑德（1961－1947）當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優美的曲調等等一樣而得到充分的快樂。--柯普寧(前蘇聯哲學家)快樂地學習數學，優雅地欣賞數學。――匿名者

4.1一元多項式的定義和運算一、內容分佈4.1.4多項式的運算二、教學目的

掌握一元多項式的定義,有關概念和基本運算性質.三、重點、難點

一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質。4.1.1認識多項式4.1.2相等多項式4.1.3多項式的次數4.1.5多項式加法和乘法的運算規則4.1.6多項式的運算性質4.1.1認識多項式多項式令R是一個含有數1的數環.R上一個文字x的多項式或一元多項式指的是形式運算式

這裏n是非負整數而

都是R中的數.

一元多項式常用符號

來表示.

注1：在多項式(1)中,叫做零次項或常數項,叫做i次項,

叫做i次項的係數.

2：在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系數為零的項；若是某一個i次項的係數是1，那麼這個係數可以省略不寫。4.1.2相等多項式

定義若是數環R上兩個一元多項式,f(x)和g(x)有完全相同的項,或者只差一些係數為零的項,那麼f(x)和g(x)就說是相等.

f(x)=g(x)4.1.3多項式的次數叫做多項式

的最高次項,非負整數n叫做多項式

的次數.記作注：係數全為零的多項式沒有次數,這個多項式叫做零多項式，記為0.

4.1.4多項式的運算

多項式的加法

給定數環R上兩個多項式且m≤n,f(x)和g(x)的加法定義為這裏當m<n

時，多項式的乘法

給定數環R上兩個多項式f(x)和g(x)的乘法定義為這裏多項式的減法

4.1.5多項式加法和乘法的運算規則

（1）加法交換律:（2）加法結合律:

（3）乘法交換律:（4）乘法結合律:（5）乘法對加法的分配律:

注意：要把一個多項式按“降冪”書寫當

時，

叫做多項式的首項.4.1.6多項式的運算性質

定理是數環R上兩個多項式,並且.那麼

（i）當

時,

（ii）

證:

且

那麼（1）

（2）

由（1），的次數顯然不超過n，另一方面，，所以由(2)得的次數是n+m.推論2

證

由得

。但

所以由推論1必有,即

證若是

中有一個是零多項式，那麼由多項.若是

那麼由上面定理的證明得式乘法定義得

或推論1

當

是什麼數時，多項式

（1）是零多項式？（2）是零次多項式？例4.2多項式的整除性一、內容分佈4.2.1多項式的整除概念4.2.2多項式整除性的一些基本性質4.2.3多項式的帶餘除法定理4.2.4係數所在範圍對整除性的影響

二、教學目的

1．掌握一元多項式整除的概念及其性質。2．熟練運用帶餘除法。三、重點、難點

多項式的整除概念，帶餘除法定理4.2.1多項式的整除概念設F是一個數域.F[x]是F上一元多項式環.

定義1

，如果存在

，使得

，則稱整除，記為

，此時稱

是的因式，否則稱不能整除，記為

4.2.2多項式整除性的一些基本性質（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

4.2.3多項式的帶餘除法定理定理

，且

，則存在使得這裏，或者並且滿足上述條件的

只有一對。注1：

分別稱為

所得的商式和餘式注2：

證：

先證定理的前一部分.（i）若

,或

.則可以取（ii）若,且

按降冪書寫:這裏,並且，並記有以下性質：或者

若是.則對重複上面的過程。如此進行，我們得出一列多項式：使得而由於多項式的次數是遞降的,故存在k使，於是便給出了所說的表示。現在證明定理的後一部分．假設f

(x)有兩種符合定理中要求的表示法：那麼上式右邊或者為零，或者次數小於而左邊或者是零，或者次數不小於因此必須兩邊均為零，從而4.2.4係數所在範圍對整除性的影響是兩個數域，並且，那麼多項式環含有多項式環F[x]．因此Ｆ上的一個多項式也是上的一個多項式．，則如果在F[x]裏不能整除，那麼在裏

也不能整除事實上，若，那麼由於在F[x]裏不能整除不能等於0．因此在裏

顯然仍不能整除假定，那麼在Ｆ[x]裏，以下等式成立：並且．但是F[x]的多項式都是的多項式，因而在裏，這一等式仍然成立．於是由的唯一性得出，在裏也不能整除例1確定m

，使例2設適合什麼條件時，整除。問4.3多項式的最大公因式一.內容分佈

4.3.1多項式公因式,最大公因式,互素概念4.3.2用輾轉相除法求最大公因式.二.教學目的

1.掌握最大公因式,互素概念.2.熟練掌握輾轉相除法3.會應用互素的性質證明整除問題三.重點,難點

輾轉相除法求最大公因式.證明整除問題令和是F[x]的兩個多項式，若是F[x]的一個多項式同時整除和，那麼叫做

與的一個公因式.定義2

設是多項式與的一個公因式.若是能被與的每一個公因式整除,那麼叫做

與的一個最大公因式.定義1

的任意兩個多項式與一定有最大公因式.除一個零次因式外,與的最大公因式是唯一確定的,這就是說，若是與的一個最大公因式，那麼數域F的任何一個不為零的數c與的乘積，而且當與不全為零多項式時，只有這樣的乘積是與的最大公因式.定理4.3.1解：對施行輾轉相除法.為了避免分數係數，在做除法時，可以用F的一個不等於零的數乘被除式或除式.而且不僅在每一次除法開始時可以這樣做，就是在進行除法的過程中也可以這樣做.這樣商式自然會受到影響，但每次求得的餘式與正確的餘式只能差一個零次因式.這對求最大公因式來說是沒有什麼關係的.令F是有理數域.求F[x]的多項式的最大公因式.例1把先乘以2，再用來除：乘以2這樣，得到第一餘式把g(x)乘以3，再用來除：乘以3約去公因數56後，得出第二餘式再以除.計算結果被整除所以就是與的最大公因式：定理4.3.2

若是的多項式與的最大公因式，那麼在裏可以求得多項式與，使以下等式成立:例2

令F是有理數域.求出的多項式的最大公因式以及滿足等式的多項式與.對與施行輾轉相除法.但是現在不允許用一個零次多項式乘被除式或除式.因為在求多項式

與時，不僅要用到餘式，同時也要用到商式.施行除法的結果，我們得到以下一串等式：由此得出，是與的最大公因式，而定理4.3.3

的兩個多項式與互素的充分且必要條件是：在中可以求得多項式與，使如果的兩個多項式除零次多項式外不再有其他的公因式，我們就說，這兩個多項式互素.定義3從這個定理我們可以推出關於互素多項式的以下重要事實.若多項式和都與多項式互素，也與互素.那麼乘積2.若多項式整除多項式與的乘積，而與互素.那麼一定整除3.若多項式與都整除多項式，而與互素.那麼乘積也整除4.4多項式的分解

一.內容分佈

4.4.1不可約多項式的概念及性質4.4.2唯一因式分解定理二.教學目的

1.掌握不可約多項式及性質2.掌握唯一因式分解定理,會用兩個多項式的典型分解求出最大公因式3.掌握求典型分解式三.重點.難點

唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式定義

令是的一個次數大於零的多項式.若是在中只有平凡因式，就說是在數域F上（或在中）不可約.若除平凡因式外，在中還有其他因式，就說是在F上（或在中）可約.這個定義的條件也可以用另一種形式來敘述

若多項式有一個非平凡因式而，那麼與的次數顯然都小於的次數.反之，若能寫成兩個這樣的多項式的乘積，那麼有非平凡因式.因此我們可以說：如果的一個次多項能夠分解成中兩個次數都小於n的多項式與的積：（1）那麼在F上可約.若是在中的任一個形如（1）的分解式總含有一個零次因式，那麼在F上不可約.（a）如果多項式不可約，那麼F中任一不為零的元素c與的乘積也不可約.（b）設p(x)是一個不可約多項式而f(x)是一個任意多項式，那麼p(x)或者與f(x)互素，或者p(x)整除f(x).（c）如果多項式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項式p(x)整除，那麼至少有一個因式被p(x)整除.性質（c）很容易推廣到任意s（s≥2)個多項式的乘積的情形.我們有（）如果多項式的乘積能被不可約多項式p(x)整除，那麼至少有一個因式被p(x)整除.此處是F的不為零的元素.即，如果不計零次因式的差異，多項式f(x)分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的.F[x]的每一個n(n>0)次多項式f(x)都可以分解成F[x]的不可約多項式的乘積.定理4.4.1令f(x)是F[x]的一個次數大於零的多項式，並且此處定理4.4.2例在有理數域上分解多項式

為不可約因式的乘積.容易看出（2）

一次因式x+1自然在有理數域上不可約.我們證明，二次因式也在有理數域上不可約.不然的話,

將能寫成有理數域上兩個次數小於2的因式

的乘積，因此將能寫成（3）的形式，這裏a和b是有理數.把等式（3）的右端乘開，並且比較兩端的係數，將得a+b=0,ab=-b，由此將得.這與a是有理數的假定矛盾.這樣，（2）給出多項式的一個不可約因式分解.我們還可以如下證明在有理數域上不可約.如果（3）式成立，那麼它也給出的實數域上的一個不可約因式分解.但在實數域上因此由唯一分解定理就得出的矛盾.4.5重因式一.內容分佈

4.5.1重因式概念4.5.2沒有重因式的判斷二.教學目的

1.掌握重因式概念,多項式的K階導數概念.

2.掌握有無重因式判斷的充要條件.三.重點難點

重因式概念及用一階導數判斷多項式有無重因式.

根據以上定義不難直接驗證，關於和與積的導數公式仍然成立：（1）（2）（3）F[x]的多項式的導數或一階導數指的是F[x]的多項式一階導數的導數叫做的二階導數，記作，的導數叫做的三階導數，記作，等等.的k階導數也記作.定義設p(x)是多項式f(x)的一個k(k≥1)重因式.那麼p(x)是f(x)的導數的一個k-1重因式.定理4.5.1多項式f(x)沒有重因式的充分且必要條件是f

(x)與它的導數互素.定理4.5.24.6多項式函數多項式的根

一.內容分佈

4.6.1多項式的根概念4.6.2綜合除法二.教學目的

1.掌握多項式函數多項式的根的概念2.掌握餘式定理及運用綜合除法3.熟悉理解拉格朗日插值公式三.重點、難點

綜合除法，拉格朗日插值公式設給定R[x]的一個多項式和一個數c∈R.那麼在的表示式裏,把x用c來代替,就得到R的一個數這個數叫當x=c時f(x)的值,並且用f(c)來表示.這樣,對於R的每一個數c,就有R中唯一確定的數

f(c)與它對應.於是就得到R到R的一個映射.這個映射是由多項式f(x)所確定的,叫做R上一個多項式函數.綜合除法

,並且設(1)其中比較等式(1)中兩端同次項的係數,我們得到設用x–c

除f(x)所得的餘式等於當x=c時f(x)的值f(c).定理4.6.1由此得出這樣,欲求係數,只要把前一係數乘以c再加上對應係數,而餘式的r

也可以按照類似的規律求出.因此按照下所指出的演算法就可以很快地陸續求出商式的係數和餘式:表中的加號通常略去不寫.例1

用x

+3除作綜合除法:所以商式是而餘式是定理4.6.2

數c是多項式f(x)的根的充分且必要條件是f(x)能x–c能整除.定理4.6.3

設f(x)是R[x]中一個n≥0次多項式.那麼f(x)在R中至多有n個不同的根.令f(x)是R

[x]的一個多項式而c的R的一個數.若是當x

=

c時f(x)的值f(c)

=

0,那麼c叫做f(x)在數環R中的一個根.定義證如果f(x)是零次多項式,那麼f(x)是R中一個不等於零的數,所以沒有根.因此定理對於n=0成立.於是我們可以對n作數學歸納法來證明這一定理.設c∈R是f(x)的一個根.那麼

f(x)=(x–c)g(x)這裏g(x)∈R[x]是一個n–1次多項式.如果d∈R是f(x)另一個根,d≠c那麼

0=f(d)=(d–c)g(d)因為d–c≠0,所以g(d)=0.因為g(x)的次數是n–1,由歸納法假設,g(x)在R內至多有n–1個不同的根.因此f(x)在R中至多有n個不同的根.

令

u(x)=f(x)–g(x)若f(x)≠g(x),換一句話說,u(x)≠0,那麼u(x)是一個次數不超過n的多項式,並且R中有n+1個或更多的根.這與定理4.6.3矛盾.證設f(x)與g(x)是R[x]的兩個多項式,它們的次數都不大於n.若是以R中n+1個或更多的不同的數來代替x時,每次所得f(x)與g(x)的值都相等,那麼

f(x)=g(x).定理4.6.4證設f(x)=g(x)那麼它們有完全相同的項,因而對R的任何c都有f(c)=g(c)這就是說,f(x)和g(x)所確定的函數相等.反過來設f(x)和g(x)所確定的函數相等.令

u(x)=f(x)–g(x)那麼對R的任何c都有u(c)=f(c)–g(c)=0這就是說,R中的每一個數都是多項式u(x)的根.但R有無窮多個數,因此u(x)有無窮多個根.根據定理2.6.3只有零多項式才有這個性質.因此有

u(x)=f(x)–g(x)=0,f(x)=g(x).

R[x]的兩個多項式f(x)與g(x)相等,當且僅當它們所定義的R上的多項式函數相等.定理4.6.5這個公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.給了一個數環R裏n+1個互不相同的數以及任意n+1個不全為0的數後,至多存在R[x]的一個次數不超過n的多項式f(x)能使

如果R還是一個數域,那麼這樣一個多項式是存在的,因為容易看出,由以下公式給出的多項式f(x)就具有上述性質:拉格朗日(Lagrange)插值公式由拉格朗日插值公式得求次數小於3的多項式f(x)使例24.7複數和實數域上多項式一.內容分佈4.7.1代數基本定理4.7.2實係數多項式分解定理二.教學目的1.理解代數基本定理、重根2.掌握實係數多項式的性質三.重點、難點代數基本定理,根與係數關係.實係數多項式性質.證設f(x)是一個次多項式,那麼由定理4.7.1,它在複數域C中有一個根因此在C[x]中這裏是C上的一個n–1次多項式.若n–1>0,那麼在C中有一個根因而在C[x]中任何n