第06讲 有理数的乘方（解析版）

第06讲有理数的乘方课程标准学习目标①有理数的乘方运算②偶次方的非负性③科学计数法表示较大的数④近似数以及有效数字掌握乘方的定义与运算。掌握偶次方的非负性，结合绝对值的非负性解题。掌握科学计数法的表示方法，能够对一个较大的数用科学计数法表示。掌握近似数及其有效数字解决相关题目。知识点01乘方的定义与计算乘方的意义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作：，读作：的次方。当把看做的次方的结果时，也可读作：的次幂，所以乘方的结果叫做幂，其中是底数，是指数。特别提示：当指数是1时，指数可以省略不写。即直接写成。底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成；的四次方写成。任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作：立方。题型考点：①乘方的意义。②幂的认识。【即学即练1】1．43表示的意义是（）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3【解答】解：43＝4×4×4．故选：B．【即学即练2】2．代数式可以表示为（）A．2+n B．2n C．2 D．n2【解答】解：代数式可以表示为2n．故选：B．【即学即练3】3．中，底数是，指数是．【解答】解：（﹣）5中，底数是﹣，指数是5，故答案为：﹣，5．【即学即练4】4．对于式子（﹣2）3，下列说法不正确的是（）A．指数是3 B．底数是﹣2 C．幂为﹣6 D．表示3个﹣2相乘【解答】解：该式子的指数为3，底数为﹣2，幂为﹣8，表示3个（﹣2）相乘，故选：C．知识点02乘方的计算乘方的计算：（个）。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。特别提示：正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。0的任何正整数次方（除0外）都得0。1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。题型考点：乘方的计算。【即学即练1】5．计算：（1）（﹣4）3；（2）（﹣2）4；（3）．【解答】解：（1）（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64；（2）（﹣2）4＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝16；（3）＝＝﹣．【即学即练2】6．（﹣1）2021的相反数是（）A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021【解答】解：∵（﹣1）2021＝﹣1，∴（﹣1）2021的相反数是1，故选：A．【即学即练3】7．（﹣1）2020等于（）A．1 B．﹣2020 C．2020 D．﹣1【解答】解：（﹣1）2020＝1，故选：A．知识点03有理数的偶次方有理数的偶次方：由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都大于等于0，即任何数的偶次方（常见的平方）都是非负数，都具有非负性，几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。即，则0。题型考点：①有理数的乘法计算。②乘法运算定律的应用。【即学即练1】8．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝．【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【即学即练2】9．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．知识点04的区别与联系三者的意义：表示的意义是个相乘的积，即（个），底数是。表示的意义是个相乘的积的相反数，即，底数是。表示的意义是相乘的积，即，底数是。三者的联系当为奇数时，和相等，他们与互为相反数。当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。题型考点：求倒数。【即学即练1】10．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和﹣【解答】解：A、23＝8，32＝9，不相等；B、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等；D、﹣（）3＝﹣，﹣＝﹣，不相等，故选：B．【即学即练2】11．对于式子（﹣3）6与﹣36，下列说法中，正确的是（）A．它们的意义相同 B．它们的结果相同 C．它们的意义不同，结果相等 D．它们的意义不同，结果也不相等【解答】解：（﹣3）6与表示﹣3的6次幂，结果是729，﹣36表示3的6次幂的相反数，结果是﹣729．故选：D．【即学即练3】12．下列说法中正确的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定是互为相反数 B．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等 C．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等【解答】解：当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等，当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n一定互为相反数．故选：B．知识点05科学计数法科学计数法：把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中1≤＜10。为正整数。方法技巧：确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。确定：小数点移动了几位就是几。特别提示：当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。科学计数法还原：还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。题型考点：①用科学计数法表示数。【即学即练1】13．2022年冬奥会即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1560000000用科学记数法表示为（）A．1.56×109 B．1.56×108 C．15.6×108 D．0.156×1010【解答】解：1560000000用科学记数法表示为1.56×109．故选：A．【即学即练2】14．在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为（）A．5.5×103 B．5.5×106 C．5.5×107 D．5.5×1010【解答】解：5500万＝55000000＝5.5×107，故选：C．知识点06近似数与有效数字相关概念：准确数：确切的反映实际的数。近似数：与实际接近但有差别的数。近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度叫做精确度。一个近似数四舍五入到哪一位就说这个说精确到哪一位。精确度的表示方法：①用数位表示，如精确到个位、十位、百分位等；②用小数表示，如精确到0.1或0.01等。特别提示：求一个科学计数法表示的数的精确度时应先将其还原，看科学计数法中的的最后一位在哪一位就是精确到哪一位。求一个后面有级数单位的数的精确度时也应先将其还原，看原数最后一位在哪个位置就精确到哪一位。题型考点：①精确度的判断。【即学即练1】15．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确；B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确；C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误；D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确；本题选择错误的，故选：C．【即学即练2】16．由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位【解答】解：由四舍五入得到的近似数88.35万，精确到百位，故选：C．【即学即练3】17．近似数3.14×104的精确到（）A．个位 B．百位 C．百分位 D．千位【解答】解：近似数3.14×104的精确到百位．故选：B．题型01有理数的混合运算法则：先算乘方，在算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，能简便运算的简便运算。【典例1】计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1+＝；（2）原式＝﹣4+3﹣＝﹣．【典例2】计算（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）；（2）﹣9÷3+（﹣）×12+（﹣3）2；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣32）]；（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2．【解答】解：（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）＝﹣20﹣5+18＝﹣7（2）＝﹣3+6﹣8+9＝4（3）＝﹣1﹣××（2+9）＝﹣1﹣×11＝﹣1﹣＝﹣；（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2＝﹣49+2×9+（﹣6）×9＝﹣49+18﹣54＝﹣85题型02【典例1】下列各组数中，相等的一组是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．（﹣2）3与﹣23 C．23与32 D．与【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，故选项错误；B、（﹣2）3＝﹣8﹣23＝﹣8，故选项正确；C、23＝8，32＝9，故选项错误；D、＝，＝，故选项错误．故选：B．【典例2】下列各式中，不相等的是（）A．（﹣5）2和52 B．（﹣5）2和﹣52 C．（﹣5）3和﹣53 D．|﹣5|3和|﹣53|【解答】解：A、（﹣5）2＝25，52＝25，所以（﹣5）2＝52；B、（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，所以（﹣5）2≠﹣52；C、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，所以（﹣5）3＝﹣53；D、|﹣5|3＝125，|﹣53|＝125，所以|﹣5|3＝|﹣53|，故选：B．题型03有理数的偶次方【典例1】已知（a+3）2+|b﹣2|＝0，则ab＝．【解答】解：由题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣3，b＝2，则ab＝9，故答案为：9．【典例2】若x、y为有理数，且（5﹣x）2+|y+5|＝0，则（）2021＝．【解答】解：∵（5﹣x）2+|y+5|＝0，∴5﹣x＝0，y+5＝0，解得：x＝5，y＝﹣5，则（）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【典例3】若有理数a、b、c满足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，b+4＝0，4c﹣1＝0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝，则（abc）250÷（a6×b4×c3）＝[1×（﹣4）×]250÷[16×（﹣4）4×（）3]＝（﹣1）250÷4＝．即（abc）250÷（a6×b4×c3）的值是．题型04科学计数法【典例1】港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（）A．5.5×104 B．55×103 C．5.5×103 D．0.55×105【解答】解：55000＝5.5×104．故选：A．【典例2】电影《长津湖之水门桥》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日单日票房为113000000元，113000000用科学记数法可表示为（）A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．113×107【解答】解：113000000＝1.13×108．故选：B．【典例3】国家统计局于2021年5月11日发布了第七次全国人口普查主要数据情况的公告，全国人口共计141178万人，与2010年的133972万人相比，增加7206万人．其中数据7206万用科学记数法可表示为（）A．7.206×103 B．72.06×106 C．7.206×105 D．7.206×107【解答】解：7206万＝72060000＝7.206×107．故选：D．题型05精确度的判断【典例1】将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（）A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05【解答】解：34.945取近似数精确到十分位是34.9；故选：A．【典例2】用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位） C．0.061（精确到千分位） D．0.0605（精确到0.0001）【解答】解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；故选：C．【典例3】据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位【解答】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．1．下列数值中，（﹣4）2的计算结果是（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【解答】解：（﹣4）2＝﹣4×（﹣4）＝16．故选：C．2．2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加1.4亿、覆盖10.5亿人，基本医保水平稳步提高．将“10.5亿”用科学记数法可表示为（）A．10.5×109 B．1.05×1010 C．0.105×1011 D．1.05×109【解答】解：10.5亿＝1050000000＝1.05×109，故选：D．3．计算（﹣1）2022+（﹣1）2023等于（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：原式＝1﹣1＝0．故选：B．4．下列等式成立的是（）A．22×23＝25 B．22×23＝26 C．22×23＝28 D．22×23＝29【解答】解：22×23＝22+3＝25，故选：A．5．某平台发布2022卡塔尔世界杯观赛报告称，2022世界杯累计直播观看人次达106.253亿，用户直播总互动达13.67亿．将数据106.253按照四舍五入精确到十分位，其结果是（）A．106.0 B．106.2 C．106.25 D．106.3【解答】解：106.253按照四舍五入精确到十分位，其结果是106.3．故选：D．6．下列各对数中，数值相等的是（）A．+23与+32 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．3×22和（3×2）2【解答】解：A、32＝9，23＝8，9≠8，本选项错误，不符合题意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9≠9，本选项错误，不符合题意；C、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，本选项正确，符合题意；D、3×22＝3×4＝12，（3×2）2＝62＝36，12≠36，本选项错误，不符合题意．故选：C．7．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（）A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3【解答】解：由题意可得：（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）2﹣|﹣1|＝4﹣1＝3．故选：D．8．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2009 D．2009【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2009＝（﹣2+1）2009＝﹣1，故选：A．9．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为mL．【解答】解：1890mL≈2×103（精确到1000mL）．故答案为：2×103．10．已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是．【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴（a+b）2022＝（3﹣2）2022＝1．故答案为：1．11．若34＝3a，34+34+34＝3b，则a+b＝．【解答】解：∵34＝3a，∴a＝4，∵34+34+34＝34×3＝35＝3b，∴b＝5，则a+b＝4+5＝9，故答案为：9．12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新运算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2＝﹣1．其中正确的是．【解答】解：由表格可得：①log216＝log224＝4，原计算正确，②log525＝log552＝2，原计算错误，③＝log22﹣1＝﹣1，原计算正确．故答案为：①③．13．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，当x＝2时，x3+cdx2﹣＝