第02讲 解一元一次方程（解析版）

第02讲解一元一次方程课程标准学习目标①解方程的几个基本步骤掌握解方程的五个基本步骤，并能够用其熟练的解相关的方程。注意解方程的步骤中的关键细节点。不能忽略。知识点01解方程——合并、系数化为1具体步骤：①合并：按照合并同类项的方法进行合并。②系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。考点题型：①系数化为1解方程；②对含有未知数的项进行合并。【即学即练1】1．方程3x＝﹣6的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣6 C．x＝2 D．x＝﹣12【解答】解：3x＝﹣6两边同时除以3，得x＝﹣2故选：A．【即学即练2】2．对方程8x+6x﹣10x＝8合并同类项正确的是（）A．3x＝8 B．4x＝8 C．8x＝8 D．2x＝8【解答】解：方程8x+6x﹣10x＝8，合并同类项得：4x＝8，故选：B．【即学即练3】3．判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因：（1）﹣6x+3x＝﹣1﹣8．解：合并同类项，得﹣9x＝﹣9．系数化为1，得x＝1．（2）5x+4x＝18．解：合并同类项，得9x＝18．系数化为1，得x＝．【解答】解：（1）不正确，理由是：∵﹣6x+3x＝﹣1﹣8，合并同类项得：﹣3x＝﹣9，系数化成1得：x＝3．（2）不正确，理由是：5x+4x＝18，合并同类项得：9x＝18，系数化成1得：x＝2．知识点02解方程——移项、合并、系数化为1具体步骤：：①移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。注意移动过的项一定要改变符号。②合并：按照合并同类项的方法进行合并。③系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。题型考点：①熟悉解方程的过程；②利用移项、合并以及系数化为1解方程。【即学即练1】4．方程4x﹣2＝3﹣x解答过程的顺序是（）①合并，得5x＝5②移项，得4x+x＝3+2③系数化为1，得x＝1．A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①②【解答】解：根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，最后系数化为1；故选：C．【即学即练2】5．解方程：2+6x＝3x﹣13．解：移项，得6x﹣3x＝﹣13﹣2．合并同类项，得3x＝﹣15．方程两边同除以3，得x＝﹣5．【解答】解：方程2+6x＝3x﹣13，移项，得6x﹣3x＝﹣13﹣2，合并同类项，得3x＝﹣15，方程两边同除以3，得x＝﹣5．故答案为：6x﹣3x＝﹣13﹣2；3x＝﹣15；3；﹣5．【即学即练3】6．完成下面解方程，并在相应括号内指明该步骤的依据：解方程：5x+2＝7x﹣8解：移项，得2+8＝7x﹣5x．（等式的性质1）合并，得10＝2x．（合并同类项）即2x＝10系数化为1，得x＝5．（等式的性质2）【解答】解：移项，得2+8＝7x﹣5x．（等式的性质1）合并，得10＝2x．（合并同类项）即2x＝10系数化为1，得x＝5．（等式的性质2）知识点03解方程——去括号、移项、合并、系数化为1具体步骤：①去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。②移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。注意移动过的项一定要改变符号。③合并：按照合并同类项的方法进行合并。④系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。题型考点：①步骤的熟悉。②利用步骤解方程。【即学即练1】7．解方程2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1），步骤如下：去括号，得2x﹣x﹣10＝5x+2x﹣2第一步移项，得2x﹣x﹣5x+2x＝﹣2+10第二步合并同类项，得﹣2x＝8第三步系数化为1，得x＝﹣4第四步以上解方程步骤中，开始出现错误的是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【解答】解：解方程2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1），步骤如下：去括号，得2x﹣x﹣10＝5x+2x﹣2第一步移项，得2x﹣x﹣5x﹣2x＝﹣2+10第二步合并同类项，得﹣6x＝8第三步系数化为1，得x＝﹣第四步以上解方程步骤中，开始出现错误的是第二步．故选：B．【即学即练2】8．解方程：4（x﹣2）＝2（x+3）．去括号，得4x﹣8＝2x+6．移项，得4x﹣2x＝6+8．合并同类项，得2x＝14．方程两边同除以2，得x＝7．【解答】解：4（x﹣2）＝2（x+3）．去括号，得4x﹣8＝2x+6．移项，得4x﹣2x＝6+8．合并同类项，得2x＝14．方程两边同除以2，得x＝7．故答案为：4x﹣8＝2x+6，4x﹣2x＝6+8，2x＝14，2，x＝7．知识点04解方程——去分母、去括号、移项、合并、系数化为1具体步骤：①去分母：方程左右两边每一项乘以分母的最小公倍数。①去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。②移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。注意移动过的项一定要改变符号。③合并：按照合并同类项的方法进行合并。④系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。题型考点：①步骤的熟悉。②利用步骤解方程。【即学即练1】9．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是林林同学的解题过程：解方程＝1解：方程两边同时乘以6，得：×6＝1×6…………第①步去分母，得：2（2x+1）﹣x+2＝6………………第②步去括号，得：4x+2﹣x+2＝6…第③步移项，得：4x﹣x＝6﹣2﹣2…第④步合并同类项，得：3x＝2…………第⑤步系数化1，得：x＝…………第⑥步上述林林的解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号．请你帮林林改正错误，写出完整的解题过程．【解答】解：上述林林解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号；故答案为：②；去分母没有加括号；正确解题过程为：去分母得：2（2x+1）﹣（x+2）＝6，去括号得：4x+2﹣x﹣2＝6，移项合并得：3x＝6，解得：x＝2．【即学即练2】10．解方程：﹣＝1﹣．解：方程两边同乘12，得4（3x﹣4）﹣3（x﹣1）＝12﹣（x﹣1）．去括号，得12x﹣16﹣3x+3＝12﹣x+1．移项，得12x﹣3x+x＝12+1+16﹣3．合并同类项，得10x＝26．两边同除以10，得x＝．【解答】解方程：﹣＝1﹣．解：方程两边同乘12，得4（3x﹣4）﹣3（x﹣1）＝12﹣（x﹣1）．去括号，得12x﹣16﹣3x+3＝12﹣x+1．移项，得12x﹣3x+x＝12+1+16﹣3．合并同类项，得10x＝26．两边同除以10，得x＝．故答案为12，12，（x﹣1）；（12﹣x+1）；+x，+16﹣3；10x，26；10．=题型01解方程【典例1】解方程：（1）3x+7＝32﹣2x；（2）4x﹣3（20﹣x）+4＝0；（3）；（4）＝2﹣．【解答】解：（1）3x+7＝32﹣2x，3x+2x＝32﹣7，5x＝25，x＝5；（2）4x﹣3（20﹣x）+4＝0，4x﹣60+3x+4＝0，4x+3x＝60﹣4，7x＝56，x＝8；（3）去分母得：3（3x+5）＝2（2x﹣1），9x+15＝4x﹣2，9x﹣4x＝﹣2﹣15，5x＝﹣17，x＝﹣3.4；（4）去分母得：4（5y+4）+3（y﹣1）＝24﹣（5y﹣3），20y+16+3y﹣3＝24﹣5y+3，20y+3y+5y＝24+3﹣16+3，28y＝14，y＝【典例2】解方程：（1）＝1；（2）．【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6，去括号，得3x﹣9﹣4x﹣2＝6，合并同类项，得﹣x＝17，系数化为1，得x＝﹣17；（2）去分母，得5（3x+1）﹣10＝3x﹣2﹣2（2x+3），去括号，得15x+5﹣20＝3x﹣2﹣4x﹣6，移项，得15x﹣3x+4x＝﹣2﹣6﹣5+20，合并同类项，得16x＝7，系数化为1，得x＝．【典例3】解方程：①2﹣＝x﹣；②﹣1＝．【解答】解：（1）12﹣（x+5）＝6x﹣2（x﹣1）12﹣x﹣5＝6x﹣2x+2﹣x﹣6x+2x＝2﹣12+5﹣5x＝﹣5x＝1；（2）4（10﹣20x）﹣12＝3（7﹣10x）40﹣80x﹣12＝21﹣30x﹣80x+30x＝21﹣40+12﹣50x＝﹣7．【典例4】解下列方程（1）﹣1（2）【解答】解：（1），3x＝2（x+1）﹣6，3x＝2x+2﹣6，3x﹣2x＝﹣4，x＝﹣4；（2）2x+＝x﹣，12x+x+2＝6x﹣4，12x+x﹣6x＝﹣4﹣2，7x＝﹣6，x＝﹣．【典例5】解下列方程：（1）2（2x﹣1）＝3x﹣1（2）＝（3）﹣＝1.5（4）﹣x＝1﹣．【解答】解：（1）去括号得：4x﹣2＝3x﹣1，4x﹣3x＝2﹣1，∴x＝1；（2）去分母得：3（3x+4）＝2（2x+1）9x+12＝4x+2，∴x＝﹣2；（3）化简得：5x﹣15+10x＝1.5，∴x＝1.1；（4）去分母得：2（3x﹣1）﹣6x＝6﹣（4x﹣1），6x﹣2﹣6x＝6﹣4x+1，∴x＝．题型02方程的特殊解【典例1】已知关于x的方程x﹣＝﹣2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34【解答】解：x﹣＝﹣2，则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，故6x﹣2+ax＝2x﹣12，（4+a）x＝﹣10，解得：x＝﹣，∵﹣是非负整数，∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数，则﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34．故选：C．【典例2】已知方程（2a+3）x＝3ax﹣6有正整数解，求奇数a的值．【解答】解：（2a+3）x＝3ax﹣6，整理得：（3﹣a）x＝﹣6，x＝，∵方程（2a+3）x＝3ax﹣6有正整数解，∴a﹣3的值是1或6或2或3，解得：a＝4或9或5或6，∵a为奇数，∴a＝9或5．【典例3】已知关于y的方程＝的解比关于x的方程3a﹣x＝+3的解小3，求a的值．【解答】解：解方程＝得，y＝5a，解方程3a﹣x＝+3得，x＝2a﹣2，∵关于y的方程＝的解比关于x的方程3a﹣x＝+3的解小3，∴5a+3＝2a﹣2，解得a＝﹣．【典例4】若方程3（2x﹣1）＝2+x的解与关于x的方程＝2（x+3）的解互为相反数，则k的值是﹣3【解答】解：解3（2x﹣1）＝2+x，得x＝1，∵两方程的解互为相反数，∴将x＝﹣1代入＝2（x+3）得＝4，解得k＝﹣3．故答案为：﹣3．【典例5】方程1﹣2（x+1）＝0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．【解答】解：解方程1﹣2（x+1）＝0得：x＝﹣，则关于x的方程的解是x＝﹣2，把x＝﹣2代入方程得：﹣3k﹣2＝﹣4，解得：k＝．题型03错解方程求正解【典例1】王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，解得：a＝2，即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．故选：A．【典例2】2a﹣3x＝12是关于x的方程．在解这个方程时，粗心的小虎误将﹣3x看作3x，得方程的解为x＝3．请你帮助小虎求出原方程的解．【解答】解：由题意，得2a+3×3＝12，解得，a＝，则2×﹣3x＝12，解得，x＝﹣3．即原方程的解是x＝﹣3．【典例3】小琪在解关于x的方程“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘以12，她求得的解为x＝﹣1，则k的值为（）A． B．2 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：把x＝﹣1代入4（x+4）﹣3（x+k）＝2，得4×（﹣1+4）﹣3（﹣1+k）＝2．解得k＝．故选：A．【典例4】某同学在解方程＝﹣1进行去分母变形时，方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝﹣2，请你求出a的值，并求方程的正确解．【解答】解：解＝﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘6，则所得的方程是2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1，把x＝﹣2代入方程得2（﹣4﹣1）＝3（﹣2+a）﹣1，解得a＝﹣1．把a＝﹣1代入方程得＝﹣1，去分母得2（2x﹣1）＝3（x﹣1）﹣6，去括号得4x﹣2＝3x﹣3﹣6，移项合并同类项得x＝﹣7，【典例5】聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）②，因而求得的解是x＝，试求m的值，并求方程的正确解．【解答】解：把x＝代入方程②得：2（+3）﹣m﹣1＝3（5﹣），解得：m＝1，把m＝1代入方程①得：﹣＝，去分母得：2（x+3）﹣x+1＝3（5﹣x），去括号得：2x+6﹣x+1＝15﹣3x，移项合并得：4x＝8，解得：x＝2，则方程的正确解为x＝2．题型04新定义运算解方程【典例1】用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），3※4的值为20，∴3×4+a（3+4）+1＝20，解得a＝1，故选：D．【典例2】定义：“*”运算为“a*b＝ab+2a”，若（3*x）+（x*3）＝22，则x的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【解答】解：根据题中的新定义化简得：3x+6+3x+2x＝22，移项合并得：8x＝16，解得：x＝2，故选：D．【典例3】若对于任意实数a，b，c，d，定义，按照定义，若，则x的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5【解答】解：∵，∴3（x+1）﹣2（x﹣1）＝0，∴3x+3﹣2x+2＝0，解得x＝﹣5．故选：C．【典例4】定义a⊗b＝（a﹣2）（b+1），例如2⊗3＝（2﹣2）×（3+1）＝0×4＝0，则方程﹣4⊗（x+3）＝6的解为x＝﹣5．【解答】解：由﹣4⊗（x+3）＝6，可得：（﹣4﹣2）（x+3+1）＝6，即：﹣6x﹣24＝6，解得：x＝﹣5，故答案为：x＝﹣5．【典例5】定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为1或4．【解答】解：由题意可得：﹣5+3x+2m﹣1＝5，化简得：3x+2m＝11，解得：，∴11﹣2m＝3或11﹣2m＝9或11﹣2m＝6，由x、m都是正整数，解得m＝4或m＝1或（舍去），故答案为：1或4．1．下列解方程的过程中，移项错误的是（）A．方程2x+6＝﹣3变形为2x＝﹣6+3 B．方程2x﹣6＝﹣3变形为2x＝﹣3+6 C．方程3x＝4﹣x变形为3x+x＝4 D．方程4﹣x＝3x变形为x+3x＝4【解答】解：A、方程2x+6＝﹣3变形为2x＝﹣3﹣6，符合题意；B、方程2x﹣6＝﹣3变形为2x＝﹣3+6，不符合题意；C、方程3x＝4﹣x变形为3x+x＝4，不符合题意；D、方程4﹣x＝3x变形为x+3x＝4，不符合题意．故选：A．2．代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（）A． B．2 C．﹣2 D．无法计算【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，∴5x﹣7+13﹣2x＝0，∴3x+6＝0，∴x＝﹣2，故选：C．3．某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：把x＝﹣2代入原方程，得﹣4﹣3＝﹣2a+3，解得a＝5，故选：A．4．若关于x的方程3x+6＝0的解是关于x的方程3x+3k＝1的解的2倍，则k＝（）A． B． C． D．﹣2【解答】解：3x+6＝0，移项得：3x＝﹣6，系数化为1得：x＝﹣2，∵关于x的方程3x+6＝0的解是关于x的方程3x+3k＝1的解的2倍，∴方程3x+3k＝1的解为x＝﹣1，∴﹣3+3k＝1，解得，故选：C．5．对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【解答】解：根据题中的新定义化简得：3（2x﹣1）﹣2（x﹣2）＝﹣3，去括号得：6x﹣3﹣2x+4＝﹣3，移项得：6x﹣2x＝﹣3+3﹣4，合并同类项得：4x＝﹣4，系数化为1，得：x＝﹣1．故选：C．6．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，﹣4}＝﹣4，则方程min{x，﹣x}＝3x+4的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1或x＝﹣2 D．x＝1或x＝2【解答】解：（1）x≥0时，x≥﹣x，∵min{x，﹣x}＝3x+4，∴﹣x＝3x+4，解得x＝﹣1（﹣1＜0，舍去）．（2）x＜0时，x＜﹣x，∵min{x，﹣x}＝3x+4，∴x＝3x+4，解得x＝﹣2．综上，可得方程min{x，﹣x}＝3x+4的解为x＝﹣2．故选：A．7．下列变形正确的是（）A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得【解答】解：A．5x＝2x﹣3，移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意；B．＝1+，去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意；C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意；D．﹣＝1，﹣＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．已知关于x的方程ax＝b，当a≠0，b取任意实数时，方程有唯一解；当a＝0，b＝0时，方程有无数解；当a＝0，b≠0时，方程无解．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【解答】解：，2ax＝3x﹣x+6，2ax＝2x+6，2ax﹣2x＝6，（2a﹣2）x＝6，∵方程无解，∴2a﹣2＝0，解得a＝1，故选：A．9．若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝﹣5的解互为相反数，则a的值为﹣5．【解答】解：3x﹣7＝2x+a，∴x＝7+a，4x+3＝﹣5，∴4x＝﹣8，∴x＝﹣2，∵关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝﹣5的解互为相反数，∴7+a＝2，∴a＝﹣5．故答案为：﹣5．10．一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程是，解为x＝110．【解答】解：第1个方程是x+＝3，解为x＝2×1＝2；第2个方程是，解为x＝2×3＝6；第3个方程是，解为x＝3×4＝12；…可以发现，第n个方程为+＝2n+1解为n（n+1）．∴第10个方程是+＝21，解为：x＝10×11＝110．故答案为：+＝21；x＝110．11．当a≥b时，a△b＝（a﹣b）÷2；当a＜b时，a△b＝（b﹣a）÷2．例如：5△5＝（5﹣5）÷2＝0，12△24＝（24﹣12）÷2＝6．若2△（20△x）＝1，那么x的所有可能的值是20或12或28．【解答】解：当x≤20时，20△x＝（20﹣x）÷2，∴2△＝1，当，所以x≥16，即16≤x≤20时，，解得x＝20；当，即x＜16时，，解得x＝12；当x＞20时，20△x＝（x﹣20）÷2，当，x≤24，即20＜x≤24时，，解得x＝20（舍去）；当，即x＞24时，，解得x＝28；综上，原式的值为：20或12或28，故答案为：20或12或28．12．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程＝