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文档简介

對面積的曲面積分

一、概念的引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續移動時,切平面也連續轉動.二、對面積的曲面積分的定義1.定義2.對面積的曲面積分的性質三、計算法則按照曲面的不同情況分為以下三種:則則例1解解依對稱性知:例3解(左右兩片投影相同)例4解四、小結2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.如投影到XOY平面上,則有1、對面積的曲面積分的概念;(另兩種情況是將曲面分別投影到XOZ及YOZ座標面上,可寫出相應的計算公式。具體計算前盡可能先用對稱性簡化)3。物理意義:表示曲面狀物體的品質。思考題

在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因數,試說明這個因數的幾何意義.思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數.練習題第4題答案為:第5題答案為:在第二。2題中,曲面對稱於XOZ座標面,因此原積分解:P。1913。P。1914。(1)P。1918。

對坐標的曲面積分一、基本概念觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側(非封閉曲面)(封閉曲面)決定了側的曲面稱為有向曲面.有向曲面的側是由曲面法向量的指向決定的.曲面的投影問題:(計算對坐標的曲面積分時要把曲面積分化成二重積分,涉及曲面在座標面上的投影問題)分別是曲面在點(x,y,z)的法線向量與X,Y,Z軸正向的夾角類似地有:其中二、概念的引入實例:流向曲面一側的流量.1.分割則該點流速為.法向量為.2.求和3.取極限被積函數積分曲面類似可定義常用的形式是組合形式:對坐標的曲面積分存在的充分條件:對坐標的曲面積分的物理意義:的穩定的密度為1的不可壓縮流體在單位時間內流向指定側的流量表示流速為性質:計算時把曲面積分化成二重積分:一。將曲面投影到XOY座標面上;二。將被積函數中的z用曲面方程代替。如果是曲面的下側,則有:例:教材P.2032.四、計算法注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.(前側為正,後側為負)(右側為正,左側為負)解五、兩類曲面積分之間的聯繫如果設曲面過點(x,y,z)的法線向量與x,y,z軸正向的夾角分別為則有:兩類曲面積分之間的聯繫為與兩類曲線積分之間的聯糸:相比較,兩者有什麼不同?兩類曲面積分之間的聯繫:複合形式應如何計算?

逐個計算當然可以,但要將曲面投影在三個不同的座標面上,比較麻煩。注意到:且當時,(因此有:時變號)這樣可將三個曲面積分簡化成一個曲面積分統一計算同理還有:原式解:原式====例:P.2033.(3)例:P.2033.(4)對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分,一般不用變數的奇偶性和區域的對稱性來簡化計算。本題涉及的是另一種形式的對稱性,各變數在曲面積分的被積函數和積分區域中處於同等的地位,可以用對稱性簡化。例:記分作業計算:在第一掛限部分的上側。

多元複合函數的求導法則

二階常糸數線性微分方程一、定義n階常係數線性微分方程的標準形式二階常係數齊次線性方程的標準形式二階常係數非齊次線性方程的標準形式二、二階常係數齊次線性方程解法-----特徵方程法將其代入上方程,得故有特徵方程特徵根

有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特徵根為

有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特徵根為

有一對共軛複根重新組合得齊次方程的通解為特徵根為定義由常係數齊次線性方程的特徵方程的根確定其通解的方法稱為特徵方程法.解特徵方程為解得故所求通解為例1解特徵方程為解得故所求通解為例2三、n階常係數齊次線性方程解法特徵方程為特徵方程的根通解中的對應項注意n次代數方程有n個根,而特徵方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各一個任意常數.特徵根為故所求通解為解特徵方程為例3四、小結二階常係數齊次微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應的特徵方程;(2)求出特徵根;(3)根據特徵根的不同情況,得到相應的通解.

(見下表)練習題三。作一個常糸數齊次線性微分方程,使1,都是該方程的解。解:x軸向下為正。則按題意浮筒的運動是無阻尼自由振動,其運動方程為:二階常糸數齊次線性微分方程的求解是本章的重點之一,另兩個重點是可分離變數方程和一階線性微分方程的求解

二重積分的計算法如果積分區域為:其中函數、在區間上連續.一、利用直角坐標系計算二重積分[X-型]X型區域的特點:

穿過區域且平行於y軸的直線與區域邊界相交不多於兩個交點.應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區域為:[Y-型]Y型區域的特點:穿過區域且平行於x軸的直線與區域邊界相交不多於兩個交點.若區域既不是X型區域又不是Y型區域(如圖),在分割後的三個區域上分別使用積分公式則必須對圖形作分割.具體計算的步驟:1。按題意畫出積分區域的草圖;2。判定積分區域是X型,Y型或必須分塊處理;3。將二重積分化為二次積分(即兩個定積分);值得關注的兩點:1。是否需要改變積分次序?(要掌握改變積分次序的方法)2。是否能用對稱性簡化計算?(要掌握用對稱性簡化計算的方法)解積分區域如圖解積分區域如圖解原式解解解解二重積分的計算(2)用極座標計算二重積分一、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式(1)區域特徵如圖區域特徵如圖二重積分化為二次積分的公式(2)區域特徵如圖極坐標系下區域的面積二重積分化為二次積分的公式(3)區域特徵如圖解解解解解解二重積分的應用1.設曲面的方程為:如圖,曲面面積公式為:一。曲面的面積3.設曲面的方程為:曲面面積公式為:2.設曲面的方程為:曲面面積公式為:同理可得二。平面薄片的重心當薄片是均勻的,重心稱為形心.由元素法三。平面薄片的轉動慣量薄片對於

軸的轉動慣量薄片對於

軸的轉動慣量一、利用柱面座標計算三重積分規定:

柱面座標與直角坐標的關係為如圖,三座標面分別為圓柱面;半平面;平面.如圖,柱面坐標系中的體積元素為二、利用球面座標計算三重積分球面座標與直角坐標的關係為規定:如圖,三座標面分別為圓錐面;球面;半平面.球面坐標系中的體積元素為如圖,

方向導數和梯度

多元函數的極值及其求法2.必要條件一階導數等於零或一階導數不存在的點是可能的極值點;兩個一階偏導數同時為零(稱為函數的駐點)或一階偏導數不存在的點是可能的極值點。下麵討論如何求多元函數的最大值和最小值?三.條件極值拉格朗日乘數法這種求解條件極值的可能極值點的方法(必要條件)叫做拉格朗日乘數法。拉格朗日乘數法可推廣到引數多於兩個,約束條件多於一個的情況。例4.求內接於半徑為R的球且有最大體積的長方體。第7章習題課本章的重點是第二至六節。要掌握的內容包括:1。多元函數極限和連續的定義2。多元函數偏導數的定義及計算3。多元函數可微的定義及全微分和全增量的計算4。多元函數在某點極限存在,連續,可微,偏導數存在,偏導數連續等概念的區別和聯繫5。多元複合函數的求導,隱函數的求導6。求過曲線上已知點的切線方程和法平面方程,求過曲面上已知點的切平面方程和法線方程7。方向導數的定義和計算,梯度的定義和計算。梯度方向是方向導數最大的方向,也是函數等高線的法線方向8。多元函數無條件極值的必要條件和充分條件,條件極值的必要條件9。多元函數無條件極值和條件極值的計算,簡單應用題的最大值和最小值的計算(條件極值中設置輔助函數的技巧)設z=xy+xF(u),而u=,F(u)為可導函數,證明:x+y=z+xy證:設2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,證明解法1:解法2:

傅裏葉級數一、問題的提出非正弦週期函數:矩形波可看成如下各不同頻率正弦波的逐個疊加疊加過程如下:它的物理意義是很明確的:可以把一個比較複雜的週期運動看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加。二、三角級數三角函數系的正交性1.三角級數這種展開稱諧波分析這是三角級數的實用形式2.三角函數系的正交性三角函數系在區間上正交。

其含義是三角函數糸中任何不同的兩個函數的乘積在區間上的積分等於零。即注意:三、函數展開成傅裏葉級數問題:1.若能展開,是什麼?2.展開的條件是什麼?1.傅裏葉係數傅裏葉係數通過上面傅裏葉糸數的計算,可以寫出傅裏葉級數:現在的問題是:那就是說,滿足什麼條件傅裏葉級數才收斂於函數f(x)?

此時函數f(x)才能展開成傅裏葉級數。2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)注意:函數展開成傅裏葉級數的條件比展開成冪級數的條件低的多.解所給函數滿足狄利克雷充分條件.和函數圖象為所求函數的傅氏展開式為注意:對於非週期函數,如果函數只在區間上有定義,並且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級數.作法:將f(x)延拓成為週期的週期函數F(x),將F(x)按上面的方法展開成傅氏級數,最後將展開式限制在區間內。展開式的解所給函數滿足狄利克雷充分條件.

拓廣的週期函數的傅氏級數展開式在收斂於.所求函數的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級數的和思考題思考題解答

高階線性微分方程一、概念的引入解受力分析物體自由振動的微分方程強迫振動的方程串聯電路的振盪方程二階線性微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程的一般形式二、線性微分方程的解的結構1.二階齊次方程解的結構:問題:例如線性無關線性相關P.375.1.判定題中的各函數組哪些是線性無關的?特別地:例如2.二階非齊次線性方程的解的結構:解的疊加原理三、降階法與常數變易法1.由齊次線性方程的一個非零特解求與它線性無關的另一特解,進而求其通解的方法------降階法代入(1)式,得則有解得劉維爾公式齊次方程通解為降階法的一階方程2.由齊次線性方程的通解求非齊次線性方程通解的方法------常數變易法設對應齊次方程通解為(3)設非齊次方程通解為設(4)在非齊次線性方程的通解中有兩個待定函數,應有兩個約束才能使其確定,公式(4)設定了其中的一個,另一個將在下頁導出。(5)(4),(5)聯立方程組積分可得非齊次方程通解為解對應齊方一特解為由劉維爾公式對應齊方通解為例設原方程的通解為解得原方程的通解為四、小結主要內容線性方程解的結構;線性相關與線性無關;降階法與常數變易法;補充內容可觀察出一個特解作業題以下兩題是打*內容的習題(可以不做):第三題是解決:如何從齊次線性方程的一個特解出發,去求它的通解?第四題是解決:如何從齊次線性方程的通解出發,去求對應非齊次線性方程的通解?

格林公式及其應用一、區域連通性的分類

設D為平面區域,如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬於D,則稱D為平面單連通區域,否則稱為複連通區域.複連通區域單連通區域DD

設空間區域G,如果G內任一閉曲面所圍成的區域全屬於G,則稱G是空間二維單連通域;

如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬於G的曲面,則稱G為空間一維單連通區域.GGG一維單連通二維單連通一維單連通二維不連通一維不連通二維單連通二、格林公式定理1邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區域D總在它的左邊.那就是說,對於平面單連通區域,邊界曲線的逆時針方向為正向;對於平面複連通區域,邊界曲線的外圈,逆時針方向為正向,邊界曲線的裏圈,順時針方向為正向。證明(1)yxoabDcdABCE同理可證yxodDcCE證明(2)D兩式相加得GDFCEAB證明(3)由(2)知1。分段光滑的閉曲線L是區域D的取正向的邊界曲線;2。函數P(x,y)及Q(x,y)在D的每一點上都具有一階連續偏導數。格林公式不要求區域D是單連通的。注意格林公式的條件:如果閉曲線L是區域D的取反向的邊界曲線,則有:

注意:如果L不是閉曲線或函數P(x,y),Q(x,y)在區域D的個別點上一階偏導數不連續,格林公式不能直接使用,此時往往需添加輔助線,然後再作計算。三、格林公式的簡單應用1.在閉曲線上的對坐標的曲線積分和二重積分可以相互轉化,從而可在兩者中選擇較簡便的方法進行計算。2.可用曲線積分計算平面區域的面積解xyoLyxoxyo

若區域

如圖為複連通域,試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題思考題解答由兩部分組成外邊界:內邊界:計算曲線積分其中L為園周L的方向為逆時針方向解:作輔助園:其邊界曲線取為順時針方向,記為L1,則第三節

格林公式及其應用(2)Gyxo一、平面曲線積分與路徑無關的定義BA如果在區域G內有二、平面曲線積分與路徑無關的條件定理2在此條件下,如果在G內有平面的曲線積分與路徑無關,有兩個基本前提必須滿足:那麼,曲線積分與路徑無關三、二元函數的全微分求積定理3要滿足什麼條件,在G內才是某一函數的全微分?

在此條件下,如果在G內有那麼,是某一函數的全微分,由此可見,它與平面曲線積分與路徑無關應滿足的是條件完全一致的。du=即存在函數u(x,y),使可以證明由公式確定的函數,就滿足du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy證:同理,(只需證明)具體計算xyo可採用如右圖的路徑:

這裏起點可任意取,但必須在單連通的開區域G內。

為計算方便起見,如G為全平面,可取=(0,0);如G為右半平面,可取=(1,0)如G為上半平面,可取=(0,1)

如果平面曲線積分與路徑無關的條件被滿足,原來給定的積分路徑又比較複雜,那麼,可用右圖所示的路徑進行替代解解四、小結與路徑無關的四個等價命題條件等價命題

函數的冪級數展開式

一、泰勒級數上節告訴我們:

冪級數在其收斂域內有一個和函數,把這句話反過來說,就是這個和函數在收斂域內可以展開成冪級數。我們的問題是:任意給定的函數f(x)2.如果能展開,是什麼?3.展開式是否唯一?1.在什麼條件下才能展開成冪級數?證明(定理1回答了問題2和問題3)泰勒係數是唯一的,逐項求導任意次,得泰勒係數定義只要函數f(x)在已知點任意階可導,f(x)在該點的泰勒級數總是可以寫出的,那末這個泰勒級數在收斂區間內是否一定收斂於f(x)呢?不一定.即問題:可見在x=0點任意可導,比如證明必要性充分性二、函數展開成冪級數1.直接法(泰勒級數法)步驟:如條件滿足,(2)判定是否成立?例1解例2解例3解:注意:有如下牛頓二項式展開式(展開過程略)雙階乘2.間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變數代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.例如例4解常用函數的冪級數展開式:(3)(1)(2)(4)(5)(6)(7)本章要掌握的主要內容二。求冪級數的收斂半徑與收斂區間三。求冪級數的和函數(經常要通過逐項微分和逐項積分來處理,冪級數通過逐項微分和逐項積分以後收斂半徑不變,但端點的收斂性可能改變),求常數項級數的和函數,要通過一個恰當的冪級數的和函數作過渡。四。將函數展開成冪級數(要寫出展開式與收斂區間)應掌握展開條件和兩種方法。直接法要記住六個基本公式,實際處理問題時一般用間接法。一。常數項級數(正項級數,交錯級數,任意項級數)的收斂性的判定

可分離變數的微分方程一、可分離變數的微分方程的方程稱為可分離變數的微分方程.為微分方程的解.分離變數法形如解法:例1

求解微分方程解分離變數兩端積分二、典型例題例2:求解微分方程解:兩邊積分,得解:解由題設條件衰變規律例4

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方釐米(如圖).開始時容器內盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器裏水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規律.解由力學知識得,水從孔口流出的流量為流量係數孔口截面面積重力加速度設在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:即為未知函數的微分方程.可分離變數所求規律為解例5

某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的,為了降低車間內空氣中的含量,用一颱風量為每秒2000立方米的鼓風機通入含的的新鮮空氣,同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出,問鼓風機開動6分鐘後,車間內的百分比降低到多少?設鼓風機開動後時刻的含量為在內,的通入量的排出量的通入量的排出量的改變量6分鐘後,車間內的百分比降低到例6:P。3347。取O為原點,河岸朝順水方向為x軸,y軸指向對岸。並設小船的航行路線為y=y(x),則小船的航行速度為:代入初始條件y(0)=0,得C=0,則所求航線為:

空間曲線及其方程一。空間曲線方程的兩種形式:一般方程:理解成兩曲面的交線。參數方程:消去空間曲線參數方程中的參數t,可將參數方程化為一般方程;在空間曲線一般方程中引入參數t,可將一般方程化為參數方程,因引入的參數可以不同,一般方程對應的參數方程不是唯一的。曲面方程也可以寫成參數方程:比較空間曲線的參數方程和曲面的參數方程,空間曲線的參數方程中只有一個參數;曲面的參數方程中包含兩個參數。例:將曲線的一般方程化為參數方程。空間曲線的參數方程可以看出:例1

方程組表示怎樣的曲線?解表示圓柱面,表示平面,交線為橢圓.例2

方程組表示怎樣的曲線?解上半球面,圓柱面,交線如圖.

動點從A點出發,經過t時間,運動到M點螺旋線的參數方程取時間t為參數,解螺旋線的參數方程還可以寫為旋轉一圈上升的高度稱為螺距消去參數可得螺旋線的一般方程:二。空間曲線在座標面上的投影設有空間曲線C:以C為准線,母線平行於z軸的柱面被稱為C關於XOY座標面的投影柱面;投影柱面與XOY面的交線稱為C在XOY面上的投影。(1)在(1)中消去z,得母線平行於z軸的柱面注意到如果x,y,z滿足(1)必有x,y滿足(2),因此C必定在(2)上。(1)是包含C在XOY面上的投影曲線。C:類似地:可定義包含C在其他座標面上的投影曲線面上的投影曲線,面上的投影曲線,那就是說(2)是包含空間曲線C關於XOY的投影柱面的一個柱面,從而曲線如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面截線方程為解如圖,P。4166。求螺旋線在三個座標面上的投影曲線的直角坐標方程。解:消去在XOY面上的投影曲線方程為:因此,在XOZ面上的投影曲線方程為:在YOZ面上的投影曲線方程為:得:三。空間立體或曲面在座標面上的投影空間立體曲面例6解半球面和錐面的交線為一個圓,P.4177.求上半球與園柱體的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解:曲面的交線在XOY面上的投影為所圍立體在XOY面上的投影為由消去y,可得交線在XOZ面上的投影為:因此,所圍立體在XOZ面上的投影為:P。4178。求旋轉拋物面在三個座標面上的投影。解:旋轉拋物面在XOY面上的投影為:旋轉拋物面在XOZ面上的投影為:由旋轉拋物面的空間圖形可知:旋轉拋物面在YOZ面上的投影為:四。簡單的立體或曲面的作圖1。畫出兩園柱面和所圍立體的圖形。2。畫出園錐面及旋轉拋物面所圍立體的圖形。

空間直線及其方程一。空間直線方程的幾種形式:一般方程:對稱式方程:稱為直線的方向向量參數方程:兩點式方程:(重要)(重要)二。如何將直線的一般方程化為對稱式方程?一般方程:可得對稱式方程:(1)(2)設平面(1)和(2)的法線向量分別為:直線的方向向量為:則有:再在直線上取定一點許多習題都涉及求(用一般方程表示的)直線的方向向量的問題,這是直線問題中最基本的運算之一。三。兩直線的位置關係設有直線其方向向量分別為分別在上1。異面2。共面其中:相交平行重合3。垂直兩直線的夾角(指銳角):四。直線與平面的位置關係設有:平面和直線直線與平面平行:直線在平面上:直線與平面相交:直線與平面垂直:五。平面束方程過直線L:的平面方程的全體稱平面方程束。記為:其中為任意常數,它包括了過L的除(2)以外的所有平面。當=0,(3)為(1),當,(3)為(2)。講解記分作業:P。26八。本節必須掌握的問題:一。平面方程三元一次方程二。平面方程常用的四種形式:點法式(重要),一般式(重要),三點式,截距式。三。如何表示特殊位置的平面方程?四。兩平面的位置關係:相交(包括垂直),平行或重合;兩平面的夾角公式;空間一點到平面的距離公式。五。在討論平面的問題時,平面的法線向量是特別重要的。平面的法線向量的表示形式不是唯一的,通常用最簡形式來表示。比如,XOY平面的法線向量常表示成{0,0,1}。

如果一非零向量垂直於一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.法線向量的特徵:垂直於平面內的任一向量.已知設平面上的任一點為必有一、平面的點法式方程平面的點法式方程

平面上的點都滿足上列方程,不在平面上的點都不滿足上列方程。其中法向量已知點由平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程由此可以證明:平面與三元一次方程一一對應。平面一般方程的幾種特殊情況:平面通過座標原點;平面通過軸;平面平行於軸;平面平行於座標面;類似地可討論情形.類似地可討論情形.設是平面上的已知三點,求平面方程。解:三。平面的三點式方程得所求平面的方程用此公式驗證P。418例2。在平面上任取一點由四。平面的截距式方程將代入平面的一般方程,Ax+By+Cz+D=0得平面的截距式方程:五。兩平面的位置關係平行:重合:相交:垂直:六。兩平面的夾角(指銳角)七。空間一點到平面的距離

冪級數一、函數項級數的一般概念1.定義:2.收斂點與收斂域:函數項級數的部分和記為餘項記為那末在收斂域上,注意函數項級數在某點x的收斂問題,實質上是常數項級數的收斂問題.3.和函數:(定義域是?)解由達朗貝爾判別法原級數絕對收斂.原級數發散.收斂;發散;(續)二、冪級數及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明(如果數列的極限存在,則該數列有界)由(1)結論幾何說明收斂區域發散區域發散區域推論定義:正數R稱為冪級數的收斂半徑.冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區間.規定問題如何求冪級數的收斂半徑?冪級數的收斂區間有以下四種可能的情況:證明由比值審斂法,綜上所述,級數的定理證畢.例2

求下列冪級數的收斂區間:解該級數收斂該級數發散發散收斂故收斂區間為(0,1].解缺少偶次冪的項級數收斂,級數發散,級數發散,級數發散,原級數的收斂區間為注意:在求缺少偶次冪或奇次冪項的冪級數的收斂半徑時,不能直接用P。257的定理2,應從常數項正項級數的比值判定法出發求收斂半徑三、冪級數的運算1.代數運算性質:(1)加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除後的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多)2.和函數的分析運算性質:(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)解兩邊積分得P.3188.(3)解收斂區間(-1,1),思考題

冪級數逐項求導後,收斂半徑不變,那麼它的收斂域是否也不變?思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是判定下列級數的收斂性:原級數發散是常數項級數是函數項級數

偏導數一.偏導數的定義及其計算法由於在多元函數偏導數的計算中,實際上只有一個引數在變動,其餘引數都是固定的,所以求偏導數時只要把其餘的引數暫時看成常量,具體方法是與一元函數的求導完全類似的。三.化對於一元函數,如果在某點可導,必定在該點連續。下面討論對於二元函數,函數在某點“偏導數存在”與在該點“連續“兩者之間有沒有必然聯繫?因此二元函數在某點連續與二元函數在某點偏導數存在是兩個互不關聯的概念。究其原因,可以這樣分析:由一元函數的討論可知,函數可導比函數連續的要求高,因此函數在某點連續不能保證函數在該點的偏導數存在;由二元函數的討論可知,連續是某點鄰域內各方位共有的性質,而偏導數存在,只是x軸和y軸方向的性質。因此,函數在某點偏導數存在也不能保證函數在該點連續。

平面及其方程本節必須掌握的問題:一。平面方程三元一次方程二。平面方程常用的四種形式:點法式(重要),一般式(重要),三點式,截距式。三。如何表示特殊位置的平面方程?四。兩平面的位置關係:相交(包括垂直),平行或重合;兩平面的夾角公式;空間一點到平面的距離公式。五。在討論平面的問題時,平面的法線向量是特別重要的。平面的法線向量的表示形式不是唯一的,通常用最簡形式來表示。比如,XOY平面的法線向量常表示成{0,0,1}。

如果一非零向量垂直於一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.法線向量的特徵:垂直於平面內的任一向量.已知設平面上的任一點為必有一、平面的點法式方程平面的點法式方程

平面上的點都滿足上列方程,不在平面上的點都不滿足上列方程。其中法向量已知點由平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程由此可以證明:平面與三元一次方程一一對應。平面一般方程的幾種特殊情況:平面通過座標原點;平面通過軸;平面平行於軸;平面平行於座標面;類似地可討論情形.類似地可討論情形.設是平面上的已知三點,求平面方程。解:口答P.4234.P。4238。三。平面的三點式方程得所求平面的方程在平面上任取一點由四。平面的截距式方程將代入平面的一般方程,Ax+By+Cz+D=0得平面的截距式方程:五。兩平面的位置關係平行:重合:相交:垂直:六。兩平面的夾角(指銳角)七。空間一點到平面的距離在討論平面問題時,平面的法線向量特別重要。

齊次方程一、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變數代換代入原式可分離變數的方程1.定義齊次方程可以通過變數代換化成可分離變數的方程例1

求解微分方程微分方程的解為解例2

求解微分方程解用部分分式法對左端的因式作分解微分方程的解為例3

拋物線的光學性質(P。336)實例:車燈的反射鏡面------旋轉拋物面LXYOPNMTLSA解:OM=OA=AP-OP是以y為引數以x為末知函數的齊次方程利用變數代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為求解微分方程常用的方法之一是通過變數代換將給定的微分方程化成可求解的形式。思考題方程是否為齊次方程?思考題解答方程兩邊同時對求導:原方程是齊次方程.

曲面及其方程一。曲面是動點在空間的幾何規跡。曲面與三元方程F(x,y,z)=0一一對應。平面曲線即曲面即

主要討論兩類問題:1。曲面作為點的幾何規跡,如何建立這個曲面的方程?2。已知方程F(x,y,z)=0,研究這個方程所表示的曲面的形狀。通過常見曲面的舉例來討論這兩類問題。例1。求球心在點半徑為R的球面方程。例2。求以為端點的線段AB的垂直平分面的方程。例3。方程表示怎樣的曲面?方程的特點是:

1。是三元二次方程;2。平方項糸數相等;3。缺非平方二次項。經配方得:如果為球面。為一點。無點的實軌跡。二。旋轉曲面及其方程平面上的一條曲線(稱母線)繞其上的一條定直線(稱旋轉軸)旋轉一周所得的曲面稱旋轉曲面。為使方程形式簡單,常取定直線作為坐標軸(比如Z軸)。旋轉曲面的形成(如圖):將代入將代入得方程例如,園繞z軸旋轉一周所得的旋轉曲面方程為球面:例將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周,求生成的旋轉曲面的方程.旋轉雙曲面旋轉橢球面旋轉拋物面

圓錐面方程或寫成:三。柱面及其方程平行於定直線並沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.稱定直線L為柱面的母線,稱定曲線C為柱面的准線。柱面舉例拋物柱面平面注意柱面方程的特徵:(其他類推)實例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸

曲線積分和曲面積分

對弧長的曲線積分一、問題的提出實例:曲線形構件的品質勻質之品質分割求和取極限近似值精確值二、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數積分弧段積分和式曲線形構件的品質2.存在條件(充分條件):3.推廣(將平面曲線推廣到空間曲線)注意:注意:4.性質三、對弧長曲線積分的計算定理其中弧微分注意:特殊情形(L的參數方程確定了一條平面曲線)推廣:由此可見,關於弧長的曲線積分的計算公式,是先導出用參數方程表示的平面曲線的公式,然後再將它推廣到用直角坐標方程表示的平面曲線和用參數方程表示的空間曲線例1。計算解:例2解例3解(分部積分)例4解由對稱性,知

對於用一般方程表示的空間曲線,要計算函數對弧長的曲線積分是比較困難的,有時要結合一些小的技巧才能使計算較為簡易四、幾何與物理意義下麵再分析幾個例題:解:=9補充:計算,其中L:由對稱性可知為雙紐線解:思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負嗎?思考題解答的符號永遠為正,它表示弧段的長度.對弧長的曲線積分與重積分進行比較:相同點:1。物理意義都是表示品質

2。化成定積分後的積分下限都小於積分上限不同點:重積分:不能代入,如線積分:可以代入,如這裏,對坐標的曲線積分

一、問題的提出實例:

變力沿曲線所作的功常力F沿直線AB所作的功分割求和取極限近似值精確值二、對坐標的曲線積分的概念1.定義類似地定義2.存在條件:3.組合形式4.推廣5.性質即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.三、對坐標的曲線積分的計算定理特殊情形(4)兩類曲線積分之間的聯繫:其中(可以推廣到空間曲線上)可用向量表示有向曲線元;例1解例2解問題:被積函數相同,起點和終點也相同,但路徑不同積分結果不同.例3解問題:被積函數相同,起點和終點也相同,但路徑不同而積分結果相同.四、小結1、對坐標曲線積分的概念2、對坐標曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯繫思考題解答曲線方向由參數的變化方向而定.思考題練習題

全微分方程一、全微分方程及其求法1.定義:則稱若有全微分形式例如為全微分方程或恰當方程因此,方程是全微分方程.2.解法:方法1:應用曲線積分與路徑無關.可求出方法2:用直接湊全微分的方法.全微分方程因此,方程的通解為:比如,全微分方程因此,方程的通解為:解是全微分方程,原方程的通解為例1解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例2二、積分因數法定義:問題:如何求方程的積分因數?這個問題難度較大,技巧性很強經常被選作積分因數的有下列函數:通常採用觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分運算式有:解將方程左端重新組合,有例3求微分方程原方程的通解為解1整理得A常數變易法:B公式法:例5解2整理得A用曲線積分法:B湊微分法:C不定積分法:原方程的通解為

全微分及其應用

一。

全微分的定義函數在點(x,y)連續,偏導數存在,可微及偏導數連續之間有如下的關係:偏導數連續→可微↗連續

↘偏導數存在反之不成立(對於一元函數,可導和可微是等價的)由此可見,函數在某點可微保證了函數在該點的一階偏導數必定存在;反之,函數在某點的一階偏導數存在,不能保證函數在該點可微。

由例1和例2的結論可見,二元函數即使在某點連續,偏導數也存在,還是不能肯定函數在該點可微。

數量積和向量積實例定義一、兩向量的數量積由定義可知,兩向量的數量積是一個數量.數量積也稱為“點積”、“內積”.結論兩向量的數量積等於其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.關於數量積的說明:數量積符合下列運算規律:(1)交換律:(2)分配律:(3)若為數:若、為數:設數量積的座標運算式兩向量夾角余弦的座標表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為解證實例二、兩向量的向量積定義向量積也稱為“叉積”、“外積”.因此,兩向量的向量積是一個向量。向量積符合下列運算規律:(1)(2)分配律:(3)若為數:關於向量積的說明://設向量積的座標運算式向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出補充例如,解解三角形ABC的面積為解

微分方程解一、問題的提出解

設制動t秒鐘後列車才能仃住,在此期間列車又行駛了s=s(t)米,因此有:代入條件後知故開始制動到列車完全停住共需由v=0可知,微分方程:凡含有未知函數的導數或未知函數的微分的方程叫微分方程.例

因此微分方程是聯繫引數,未知函數以及未知函數的導數(或微分)之間的關係式.二、微分方程的定義分類1:常微分方程,偏微分方程.微分方程的階:微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階.一階微分方程高階(n)微分方程分類2:分類3:線性與非線性微分方程.末知函數及末知函數的導數都是引數x的一次函數是線性微分方程的必要條件(但不是充分條件).

形如的微分方程,稱為線性微分方程。否則,稱為非線性微分方程。線性微分方程:非線性微分方程:分類4:微分方程與微分方程組.微分方程組:微分方程:微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱為微分方程的解.微分方程的解的分類:三、關於微分方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數相同.因此,是微分方程=0的解。(2)特解:確定了通解中任意常數以後的解.解的圖象:微分方程的積分曲線.通解的圖象:

積分曲線族.初始條件:用來確定任意常數的條件.其解是過定點的一條積分曲線;一階:二階:其解是過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.解所求特解為解:例題:P(x,y)QOxxyY=f(x)解:例題:解:例題:為所求的微分方程。本章的重點:方程的求解求解方程的一般方法:1。判定方程的類型:是一階方程,二階方程還是更高階的方程?是一階方程或二階方程中的哪種標準類型?2。根據方程的類型確定合適的求解方法。3。有時要通過適當的變數代換以後,才能使方程變換到可求解的標準形式。題目的類型主要有三大類:1。求方程的通解;2。求方程滿足初始條件的特解;3。應用題—按題意,建立方程並求解。

無窮級數

1。單調有界數列必收斂;2。如果一數列收斂於S,那麼,其任一子數列均收斂於S。3。一、無窮級數的概念1.級數的定義:一般項其中級數的前n項的和稱為級數的部分和:

如果級數中的每一項都是常數,稱該級數為常數項級數

無窮級數簡稱級數,它總是無窮項的和。有限項之和不能稱為級數稱為部分和數列,記作2.級數的收斂與發散:

對於給定的常數項級數,判定它是收斂還是發散?稱為級數收斂性的判定。判定級數的收斂性是研究級數的首要問題。觀察如下級數:(1)(2)(3)(4)級數(1),(2)有確定的值,分別為2和0,級數(3),(4)無確定的值。因此,稱級數(1),(2)是收斂的,級數(3),(4)是發散的。從而,常數項級數收斂(或發散)注意到:因此,存在或不存在。=解

收斂

發散

發散

發散

綜上等比級數是一個常用的級數解

在用級數收斂的定義來判定級數的斂散性時,“拆項”是常用的方法之一。三、基本性質結論:級數的每一項同乘一個不為零的常數,斂散性不變.結論:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.注意:1。由性質2。可知,兩收斂級數的和或差是收斂級數2。兩發散級數的和或差可能收斂也可能發散,如3。一收斂級數和一發散級數的和或差必發散用反證法:證明:設

這說明在級數前面減去有限項不影響級數的斂散性,類似地可以證明在級數前面加上有限項也不影響級數的斂散性.證明注意收斂級數去括弧後所成的級數不一定收斂.

收斂

發散四、收斂的必要條件證明級數收斂的必要條件:級數收斂的必要條件只能用於判定級數是否發散?不能用於判定級數是否收斂?注意1.如果級數的一般項不趨於零,則級數發散;

發散2.必要條件不充分.討論調和級數

也是一個常用的級數,它是發散的。一、正項級數及其審斂法1.定義:這種級數稱為正項級數.2.正項級數收斂的充要條件:由極限存在準則:單調有界數列的極限必存在。即因此,正項級數收斂有如下的定理證明即部分和數列有界3.比較審斂法不是有界數列定理證畢.

比較審斂法的不便之處是必須有一個斂散性已知的級數作為參考級數.解由圖可知重要參考級數:幾何級數(等比級數),P-級數,調和級數(實際上就是P=1的P-級數).證明4.比較審斂法的極限形式:設å¥=1nnu與å¥=1nnv都是正項級數,如果則(1)當時,二級數有相同的斂散性;(2)當時,若收斂,則收斂;(3)當時,若å¥=1nnv發散,則å¥=1nnu發散;其中是斂散性已知的用作比較的參考級數證明由比較審斂法的推論,得證.推論:解原級數發散.故原級數收斂.已用到羅必得法則P.2521.用比較審斂法判別下列級數的收斂性:(4)比較審斂法和極限形式的比較審斂法,有如下特點:1。只適用於判定正項級數的收斂性;2。必須有一個已知收斂性的用於比較的正項級數;常用的是等比級數和P級數。3。技巧性較強。

向量的座標一、向量在軸上的投影與投影定理則有總有:證於是空間兩向量的夾角的概念:類似地,可

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